Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Обратные и некорректные задачи. Учебник
.pdf
1.1. Математические модели процессов в естествознании. Прямая и обратная задача
лись свои гипотезы, строилась система движения звезд, планет, Солнца,
Земли и Луны.
Предположим, что необходимо описать поведение некоторого процесса
или явления, которые в дальнейшем будем именовать объектами исследования (ОИ). При этом для понимания основных закономерностей поведения ОИ и прогнозирования дальнейшего его поведения необходимо абстрагироваться от реального процесса
, заменяя его упрощенным — идеальным,
т. е. учитывать один или несколько факторов, в основном определяющих
его поведение. Работа не с самим ОИ, а с его моделью дает возможность
относительно быстро и без больших затрат исследовать его свойства и поведение в любых ситуациях и для широкого спектра воздействий. Современные вычислительные
технологии позволяют проводить вычислитель-
ные эксперименты, изучать ОИ подробно и глубоко.
Создатель модели всегда стоит перед дилеммой — использовать простейшую модель или более сложную по числу учитываемых факторов.
Для простейшей модели можно получить аналитическое решение, изучить
влияние одного или нескольких параметров, выявить некоторые качественные характеристики поведения ОИ. Для более сложной
модели часто аналитическое исследование невозможно, ее необходимо анализировать численно; кроме того, в описание более сложной модели входит достаточно
большое количество параметров, требующих определения на основе наблюдений или экспериментов. При этом во внимание принимаются различные соображения; главное же правило математического моделирования — это адекватность модели изучаемому процессу.
Основными источниками информации, на основании которых формулируются содержательные гипотезы о влиянии того или иного фактора
на поведение ОИ и предлагается некоторое упрощенное его описание, являются наблюдение и эксперимент, статистический анализ влияния факторов. Если при наблюдении просто фиксируются некоторые характеристики
поведения ОИ, то в эксперименте можно активно воздействовать на
ОИ
при помощи некоторых полей (вход) и регистрировать его отклик на это
воздействие (выход). Так, первые модели Солнечной системы опирались
на результаты многогодовых астрономических наблюдений. В современной
практике познания эксперименту принадлежит решающее значение на пути
оценки адекватности различных математических моделей, отличающихся
11
Модуль 1. Прямые и обратные задачи. Понятие о некорректных задачах
t
f
f
A
U
A
A
степенью детализации. Установление связи между входом и выходом ОИ
и прогнозирование поведения ОИ при изменении внешних факторов составляет главную задачу математического моделирования.
Технические, экологические, экономические и другие системы, изучае-
мые различными отраслями знаний, не поддаются с необходимой полнотой
и точностью исследованиям обычными теоретическими методами. Прямой
натурный эксперимент либо долог,
либо дорог, либо вообще невозможен.
Цена ошибок в управлении такими системами очень высока. Поэтому математическое моделирование является важнейшей составляющей современного научно-технического прогресса.
Математической моделью ОИ называется абстрактное средство его
приближенного отображения при помощи математического описания существенных факторов ОИ с сохранением взаимосвязей между ними.
Наиболее часто модели естествознания
описываются при помощи
функциональных или дифференциальных уравнений (часто дифференциальных уравнений в частных производных или интегро-дифференциальных).
Постановка вопроса о математическом моделировании порождает следующую последовательность действий, условно состоящую из трех этапов:
модель — алгоритм — программа.
Для построения математической модели ОИ на основании установления
связи между входом и выходом необходимо
выбрать вид этой связи или
определить структуру оператора, осуществляющего отображение входа
)(tu на выход ).(
Фактически исследователь всегда при составлении мо-
дели решает проблему «черного ящика», на который можно действовать,
регистрируя отклик на различного типа воздействия. При этом отметим,
что одному ОИ может быть поставлено в соответствие несколько математических моделей, отличающихся числом и степенью учета различных
факторов и порождающих некоторую иерархию моделей.
Пусть
u = — математическая модель ОИ, где F
рый оператор,
ния оператора
,U
F — функциональные пространства. Задача определе-
(идентификация ОИ) может быть разделена на два этапа:
→: — некото-
1 этап — структурная идентификация,
2 этап — параметрическая идентификация.
12
1.1. Математические модели процессов в естествознании. Прямая и обратная задача
A
f
A
=
A
На первом этапе
структурной идентификации
бирается) структура оператора
,
которая зависит как от самого ОИ,
определяется (или вы-
так и от целей моделирования. На этапе структурной идентификации ис-
пользуются фундаментальные законы природы, изучаемые той или иной
областью естественных наук, вариационные принципы, статистические за-
кономерности, причем одному и тому же ОИ можно сопоставить целую
иерархию математических моделей. Например, при описании движения
твердого тела (
стрелы, ракеты) можно использовать следующие уровни
моделирования и соответствующие операторы, определяющие структуру
модели:
а)
материальную точку, абсолютно твердое тело (модели теоретической
механики);
б)
стержень, балку, пластину (модели сопротивления материалов);
в)
трехмерное упругое тело (модели теории упругости);
г)
упругое тело с неупругими элементами (модели механики сплошной
среды).
При этом наиболее часто в моделировании используются следующие
основные виды операторов:
1.
Конечномерный оператор (A — матрица,
u
— система линей-
ных алгебраических уравнений).
2.
Дифференциальный оператор (или матричный дифференциальный
оператор).
3.
Дифференциальный оператор в частных производных.
4.
Более сложные операторы — интегральные, интегро-дифференциальные, интегро-функциональные.
На втором этапе
словые параметры, или функции, входящие в описание оператора
параметрической идентификации
определяются чи-
(эле-
менты матриц, коэффициенты дифференциальных операторов и граничные
условия).
В качестве примеров рассмотрим следующие проблемы определения
параметров модели или функций при известной структуре оператора.
13
Модуль 1. Прямые и обратные задачи. Понятие о некорректных задачах
x
t
x
t
t
Пример 1
Рассмотрим уравнение движения материальной точки под действием
:)(tF
силы
&&
m =
Обратная задача динамики состоит в определении
).(tF
)(tF
, если известно
(1.1.1)
в некотором наборе точек.
Пример 2
Идентификация сил внутреннего трения в материале [18].
В качестве модели деформирования с внутренним трением, пропорцио-
нальным скорости, часто используется дифференциальное уравнение
2
где
&&&
2
p
— квадрат собственной частоты колебаний системы при отсутствии
,02
=++ ypyny
(1.1.2)
вязкого сопротивления. Требуется определить параметр ,n характеризу-
ющий затухание, при наблюдении нескольких циклов колебаний.
Пример 3
Идентификация закона состояния полимерного материала при одноос-
)()(
ε→σ
ном растяжении
(рис. 1.1).
)(
Рис. 1.1.
Эксперимент на одноосное растяжение
В качестве математической модели, описывающей поведение этого ОИ,
наиболее часто используется модель стандартного вязкоупругого тела
[4, 18]. При этом в качестве соотношения, связывающего вход и выход,
на этапе структурной идентификации используется операторное уравнение,
в правой и левой части которого присутствуют линейные дифференциальные операторы первого порядка:
&
&
.
ε+ε=σ+σ bbaa
1010
(1.1.3)
14
1.1. Математические модели процессов в естествознании. Прямая и обратная задача
l
E
J
t
A
t
B
=
В этой модели неизвестны три параметра (один из параметров, напри-
,1a
мер
можно положить равным 1), их определение на основании данных
эксперимента (по заданному виду напряженного состояния и измерению
деформации как функции времени — эксперимент на ползучесть) составляет суть этапа параметрической идентификации.
Пример 4
Идентификация предварительного напряженного состояния при изгиб-
ных колебаниях балки длины
Требуется определить предварительное напряжение
.
0
)(
xσ
из следу-
11
ющей задачи:
σ+ FwwFwJЕ
′
=
ww
σ+
=
′′
flw
где
— модуль Юнга,
сечения балки,
′′′′
σ−
′′
1111
,0)0()0(
[]
ωω∈ωω=ω
21
ω
— частота колебаний.
200
σ+=
,0)())((
=ρω−
000
′′′
′
σ−
111111
,)())()((,0)()(
−=
pwFlwJЕlwJЕ
(1.1.4)
,,),(),(
,
F — момент инерции и площадь поперечного
Пример 5
Идентификация ростовых коэффициентов в простейшей биомеханической модели поверхностного роста трубчатой кости, занимающей кольцевую область с радиусами
)(ta
и
).(tb
Требуется определить ростовые функции
)(
и
)(
из задачи Коши
для системы дифференциальных уравнений первого порядка
db
dt
da
dt
+=
)()(
tBtA
−−=
,)0(
aa =
0
P
,
22
ab
−π
)(
(1.1.5)
P
)()(
tBtA
−π
,)0(
bb
0
,
22
ab
)(
при наличии дополнительной информации, в качестве которой могут выступать значения радиусов, измеренных в дискретном наборе времен:
),(
taa =
kk
).(
tbb =
kk
Перечень задач идентификации различных ОИ, возникающих в различных областях естествознания и техники, можно было бы продолжать до-
15
Модуль 1. Прямые и обратные задачи. Понятие о некорректных задачах
вольно долго. В то же время отметим, что с точки зрения соотношения
«причина — следствие» все задачи математического моделирования можно
разбить на два больших класса: прямые задачи и обратные задачи. Остановимся на различиях в этих двух классах задач.
Прямые задачи
Для этого класса задач известны причины, требуется найти следствия.
В качестве причин в математических моделях, описываемых при помощи
наиболее общих дифференциальных операторов в частных производных,
могут фигурировать следующие факторы:
1.
Начальные условия для модели.
2.
Коэффициенты дифференциальных операторов, моделирующих ОИ.
3.
Граничные условия для модели.
4.
Область, занятая ОИ (геометрия области).
В качестве следствий в математической физике обычно используются
компоненты физических полей (перемещения, напряжения, деформации,
температура, электрический потенциал).
Прямые задачи составляют суть современной классической математи-
ческой физики, которая формировалась на протяжении более 200 последних лет благодаря усилиям многих поколений математиков. Для этих задач
детально разработаны аналитические и
заны теоремы существования и единственности. На сегодняшний день наиболее популярными численными методами при моделировании в математической физике являются метод конечных разностей, методы конечных
и граничных элементов, которым посвящена обширная научная литература.
Эти вычислительные технологии стали в настоящее время мощным инструментом исследования различных прикладных
поведения изучаемых ОИ.
численные методы решения, дока-
задач и прогнозирования
Обратные задачи и их классификация
Для этого класса задач известны следствия, требуется найти причины
и определить факторы 1–4 (либо один из них) по некоторой дополнительной информации об ОИ. Эти задачи стали предметом исследований в математике относительно недавно, первые работы в этом направлении относят-
16
1.1. Математические модели процессов в естествознании. Прямая и обратная задача
x
x
x
=
ω
p
ся к началу XX в., а более интенсивно разработки в этой области математического моделирования начали проводиться в 70–80х гг. прошлого века.
В последние годы интерес к задачам подобного рода значительно возрос,
что продиктовано как потребностями практики, совершенствованием
и развитием математического моделирования в новых областях знания,
так и развитием новых разделов
математики.
К настоящему времени сложилась следующая условная классификация
обратных задач (ОЗ) [1, 4].
1. Ретроспективные ОЗ, или задачи с обращенным временем
Задачи об определении начального состояния ОИ (начальных условий)
по некоторой информации о решении.
Пример 6 [9]
Задача определения начального распределения температуры в стержне
),(
ϕ
торцы которого теплоизолированы, из следующей начально-краевой
задачи:
u ϕ=
,
auu =
xxt
),()0,(
xx
==
).(),(,0),(,0),0( tgtlutlutu
2. Коэффициентные ОЗ
(1.1.6)
Задачи определения коэффициентов дифференциальных операторов
по измеренным граничным полям физических полей.
Пример 7
Задача о нахождении закона изменения модуля сдвига μ, зависящего
от координат в односвязной области
RS ⊂
с гладкой границей l описыва-
2
ется следующей краевой задачей:
∂
μ
∂
l
σ
где
kk
,,
2
u
n
l
σ
ω=
xfu
0
l
есть носитель нагрузки
σ
0
,0)(
=ρω+μ uu
,,0,
∪===
lllup
σ
l
u
u
,],[),,(
ωω∈
21
.
(1.1.7)
17
Модуль 1. Прямые и обратные задачи. Понятие о некорректных задачах
=
=
l
l
3. Граничные ОЗ
Задачи об определении граничных условий
и нагрузок.
Пример 8 [4]
Упругое тело V с границей
колеб-
SSS U
21
лется под действием некоторых нагрузок, которые недоступны для непосредственного измерения.
На
S
Рис. 1.2
и компоненты вектора напряжений
ти компоненты неизвестных полей смещений и нагрузки на
известны компоненты вектора смещений
1
,
uu
i
S
01i
jij
S
1
Требуется най-
.
pn =σ
i
S
(рис. 1.2).
2
4. Геометрические ОЗ
Задачи об определении области, занятой ОИ.
Пример 9
Требуется восстановить форму трехмерного тела по набору его ортого-
нальных проекций на различные плоскости (задача компьютерной томографии) [14, 21].
Пример 10
Задача об установившихся колебаниях упругой полуплоскости с поло-
стью
описывается уравнениями Ляме [4, 23]
2
,
u
,0
=ρω+σ
ijij
(1.1.8)
)(
uuu +μ+δλ=σ
,,,
ijjiijkkij
с граничными условиями
,0
=x
2
=σ
ОЗ состоит в определении формы полости
),(
xfu
i
=
0
x
=
2
1
i
),(12xp
ii
1
];,[
bax ∈
.0=σ
n
jij
l
по известной информации
1
].,[
dcx ∈
Задачи практической дефектоскопии об определении размеров и формы
дефектов (полостей, трещин, включений) по полю упругих смещений
на поверхности упругого тела представляют один из важнейших классов
обратных геометрических задач.
18
1.1. Математические модели процессов в естествознании. Прямая и обратная задача
5. Смешанные типы ОЗ
Неизвестными являются несколько из факторов 1–4, например коэффициенты дифференциальных операторов и область, занятая ОИ.
Следует отметить, что вышеприведенная классификация ОЗ является
весьма условной и постановки задач легко трансформируются одна в другую. Например, задача об определении дефекта в упругом теле в общей постановке относится к геометрическим ОЗ; в случае когда
геометрия тела
такова, что для описания его поведения используется упрощенная стержневая модель, такая задача сводится к коэффициентной ОЗ, а эта, в свою очередь, — в рамках линеаризованной постановки — в задачу об определении
правой части дифференциального оператора.
С основными принципами и подходами в исследовании ОЗ, которых
на сегодняшний день уже
достаточно много, можно познакомиться в отече-
ственной и зарубежной литературе [1–5, 9, 11, 15–16, 20, 24, 27–29, 33–33].
Отметим, что ОЗ имеют постоянно расширяющиеся области приложе-
ния в инженерной практике, среди которых выделим следующие:
Определение свойств материалов (механических, теплофизических),
1.
идентификация полимерных и композитных материалов, пьезокерамик, биологических тканей (твердых — костная ткань — и мягких —
мышцы, сухожилия, кожа).
Задачи сейсморазведки (определение расположения и мощности за-
2.
лежей полезных ископаемых по отраженным от месторождения звуковым сигналам) [4], прогнозирование землетрясений.
Проблемы неразрушающего контроля [9, 13] (определение располо-
3.
жения и конфигурации дефекта по измеренному полю упругих смещений на поверхности тела или по резонансным частотам).
Моделирование явления акустической эмиссии и определение связи
4.
основных характеристик эмиссии с характеристиками напряженного
состояния; прогнозирование поведения тела с дефектами.
Задачи рентгеновской и акустической томографии [14, 21], часто при-
5.
меняемые в технической и медицинской диагностике ОИ.
Заметим, что ОЗ обладают рядом неприятных с точки зрения обработки
информации свойств. Во-первых, как правило, ОЗ являются нелинейными
(линейными являются ретроспективные задачи и ряд граничных задач). Во-
19
Модуль 1. Прямые и обратные задачи. Понятие о некорректных задачах
C
x
x
=
x
x
∈
λ
x
вторых, возможна неединственность при решении ОЗ, и, соответственно,
возможно восстановление нескольких различных объектов, отвечающих
одной и той же входной информации. В-третьих, наиболее неприятным
свойством ОЗ является их неустойчивость по отношению к малым изменениям входной информации. Это означает, что погрешность, присущая всем
измерениям, может оказывать очень сильное влияние на
становления ОИ, причем снижение уровня погрешности за счет совершенствования методики проведения эксперимента и повышения чувствительности измерительной аппаратуры не обязательно приводит к более точной
реконструкции ОИ. Задачи, обладающие такими свойствами, принято называть некорректными. Строгое определение некорректной задачи будет
приведено ниже, однако для этого требуется некоторый математический
аппарат
дующем разделе.
, с минимальным объемом которого читатель познакомится в сле-
погрешность вос-
1.2. Некоторые сведения из функционального анализа
и теории операторов
Для строгого исследования проблем, возникающих при анализе различ-
ных ситуаций при изучении ОЗ, которые сводятся к проблеме обращения
некоторых линейных и нелинейных операторов, требуются некоторые сведения из функционального анализа и теории операторов. Приведем эти
сведения в настоящем параграфе. (Читатель, знакомый с основами функционального анализа, этот раздел может опустить, а
мацию см. в работах [5–7, 17, 22, 25, 30–31]).
Определение 1
Линейное пространство X над множеством вещественных чисел R
(комплексных чисел
X
∈
каждому
зываемое нормой ,
1.
0=x
xx λ=λ
2.
yxyx +≤+
3.
поставлено в соответствие неотрицательное число
тогда и только тогда, когда
∀
) называется нормированным пространством, если
так что выполнены следующие три аксиомы:
.0
и любого вещественного (комплексного) числа
X
., Xy
∈∀
более полную инфор-
,x
на-
.
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]