Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Обратные и некорректные задачи. Учебник
.pdf
или
l
ϕ
ϕ
ϕ+ϕρ=ϕρ
ϕ
v
=
∈
ξ
ω
3.13. Определение формы приповерхностной полости
0
,
l
xkk
∫∫
l
00
oo
k
,
0
),()(),()()(
−ξ+ξ−=ξ
dlnxUxudlnxUxww
xk
(3.13.11)
o
∫
l
,
ξ−
k
.),()(
dlnxUxu
xk
Считая контуры
,
l
звездными относительно начала координат, пе-
0
рейдем, соответственно, к полярной системе координат:
ϕρϕϕρ=x
01
),cos)((cos)(
(3.13.12)
ρw
)(
0
).sin)((sin)(
и по
и, сохраняя в (3.13.11) ли-
),()()(
0
),(
210
v
получим следующее соотношение:
;),()(),())(()(
ϕξϕϕ+ξϕϕρ−=ξ
dKvKww
(3.13.13)
ϕρϕϕρ=x
02
Далее, будем считать, что
нейные слагаемые по
2
π
[]
∫
0
ядра интегральных операторов приведены в [9].
На основании (3.13.13) сформулируем итерационный процесс. На начальном этапе будем считать
w
и найдем v из интегрального уравнения
0
Фредгольма 1-го рода с гладким ядром
2
π
10110
)0(
∫
0
12
,)0,,()()()()(
ϕξϕϕ−=ξ−ξ=ξ dKvffg
].,[1ba
(3.13.14)
)(
ξf
где
10
есть граничное поле в среде с полостью
10
эт
1
Найдя из (3.13.14)
считываем поле
o
∂
0
−ξ=ξ
∫
l
U
xuuf
∂
n
)0(
],[
ωω∈
21
ξ
1
),(
ϕv
строим новое положение контура
в среде с полостью, ограниченной контуром
.)0,,()()0,()(
dlx
l
:
0
l
и рас-
1
l
1
на основании уравнения типа (3.13.7). Затем процедура линеаризации осуществляется в окрестности нового положения контура
,1l
и процесс про-
должается до тех пор, пока с нужной точностью не будет выполнено граничное условие по границе полуплоскости. Заметим, что процедура решения (3.13.14) представляет собой некорректную задачу, регуляризация которой осуществляется обычно на основе метода Тихонова. Важной особенностью при его реализации является то, что ядро интегрального оператора
201
Модуль 3. Нелинейные обратные задачи
v
∈
и правая часть в (3.13.14) — комплексные функции, а неизвестная функция
с учетом этого обстоятельства.
нельзя ограничиться постоянными элементами, необходимо использовать
как минимум линейные для построения нового положения контура).
Замечание 1
чение фантомных решений; использование информации о граничном поле
перемещений при
чисел) позволяет скорректировать ситуацию и найти параметры полости
единственным образом.
Замечание 2
се гладких полостей, характеризуемых конечным числом параметров, например эллипсов, для которых размер конечномерного подпространства
)(ϕ
вещественна. Стабилизирующий функционал необходимо строить
Численное решение (3.13.14) производится на основе МГЭ [5] (при этом
При реконструкции полости на фиксированной частоте возможно полу-
(или даже хотя бы для нескольких волновых
],[21kkk
Можно сразу ограничиться некоторым простым подмножеством в клас-
равен 5. Найденная таким образом конфигурация во многих ситуациях
вполне достаточна для практических целей. Для уточнения конфигурации
можно использовать найденное решение в качестве начального приближения при реализации итерационного
процесса.
3.14. Идентификация трещины в упругой среде
Как отмечалось в начале раздела 3, задачи идентификации в однородной
среде в первую очередь приводят к двум типам задач: к ОЗ об определении
геометрии полостей и к ОЗ об определении формы трещин. И для полостей,
и для трещин операторные уравнения в ОЗ формулируются обычно на основе метода ГИУ, но имеют свою
дут обсуждены отличия, возникающие при решении этих двух типов задач.
При этом следует отметить, что экспериментальные данные акустического
зондирования свидетельствуют о том, что если полости являются линейными дефектами, то реальные трещины при колебаниях проявляют себя
специфику. В настоящем параграфе бу-
как нелинейные объекты, для которых не выполняется принцип суперпозиции.
202
3.14. Идентификация трещины в упругой среде
V
V
±
−
±
±
При решении ОЗ теории трещин необходим строгий подход, базирующийся на достаточно точном решении соответствующих краевых задач
динамической теории упругости. Наиболее популярной моделью трещины
в настоящее время является математический разрез, на берегах которого
перемещения терпят конечные скачки, причем берега трещины раскрыты
и не взаимодействуют. Эти скачки обычно определяются из условия
отсутствия напряжений на берегах. Для дефектов типа плоских трещин идеология сведения прямых задач к системам ГИУ приводит обычно к системам
гиперсингулярных интегральных уравнений, в отличие от задач идентификации полостей.
Введем в рассмотрение установившиеся колебания с частотой
гого анизотропного тела
,
SSS ∪=
колебания в котором вызываются нагрузкой
21
на части границы
что тело
ослаблено трещиной, расположенной на гладкой внутренней
двусторонней поверхности
ний терпят скачки
,
ограниченного кусочно-гладкой поверхностью
p
а часть границы
,
SS ⊂
220
,
S
на которой компоненты вектора перемеще-
0
=χ
ii
S
;
uu примем также, что в процессе колеба-
−+
i
S
00
закреплена. Будем считать,
S
1
, приложенной
i
ω
упру-
ний берега трещины не взаимодействуют. Рассматривается установившийся режим колебаний, что позволяет отделить временной множитель и пред-
ti
ставить компоненты вектора перемещений в виде
=
jj
ω−
,)(
exuu
где ω —
частота колебаний. Краевая задача имеет следующий вид:
2
,
u
,0
=ρω+σ
ijij
(3.14.1)
,
uc=σ
,lkijklij
,
jij
pn =σ
S
2
u
i
причем нагрузки
,0
=
i
S
1
p
отличны от нуля на
i
±
n
jij
S
,0
=σ
±
0
.
S
Поскольку рассматриваемая
20
(3.14.2)
область содержит бесконечно удаленную точку, то замыкают постановку
задачи условия излучения волн на бесконечности, при формулировке которых используется принцип предельного поглощения. Здесь
c
— компо-
ijkl
ненты тензора упругих постоянных, удовлетворяющие обычным условиям
симметрии и положительной определенности,
ных векторов нормалей к поверхностям
S
0
n
— компоненты единич-
j
.
ОЗ об идентификации трещи-
203
Модуль 3. Нелинейные обратные задачи
∅=∩
ωω∈
ω
V
+
+
V
V
V
∈
ξ
ны состоит в том, чтобы по заданному (измеренному) полю смещений
на части границы
+
поверхности
,
gu =
i
S
21
i
из условия
S
0
,
S
свободной от нагрузок (
21
].,[
ωω∈ω
21
SS
2120
), найти форму
(3.14.3)
Справедлива следующая теорема.
Теорема 5 [19]
Пусть в условиях постановки ОЗ (3.14.1)–(3.14.2) данные (3.14.3) извест-
ны на некотором отрезке изменения
+
S
Тогда задача о нахождении
имеет единственное решение в классе
0
гладких поверхностей с гладким краем, содержащихся строго внутри
],[
в нерезонансной области.
21
.
2
C
Доказательство этого утверждения приведено в [9].
На первом этапе исследования проблемы идентификации строится ре-
шение прямой задачи о расчете волновых полей в упругом теле, ослабленном трещиной известной конфигурации
Для этого используются ос-
.
S
0
новные идеи теории потенциала, позволяющие свести исходную краевую
задачу к системе интегральных уравнений относительно введенных выше
скачков перемещений на трещине. Наиболее эффективный подход связан
с предварительным сведением исходной задачи (3.14.1)–(3.14.2) для тела
с трещиной в рамках теории дислокаций к системе уравнений теории упру-
гости с фиктивными массовыми
родного тела
.
Далее, на основании теоремы взаимности для упругого
анизотропного тела, поле упругих смещений внутри
силами
ncf
)]([ ξδχ−=
для одно-
jlkijkli
,
)(
может быть
найдено при помощи формул Сомильяны [9]:
m
)()(
ij
∫∫
S
+ξσ−ξσ=ξ
dSunxdSxUnu ),(),()(
xij
m
)(
ξ+
i
∫
V
dVfxU
,),(
xi
(3.14.4)
где
m
ijijm
S
)(
m
i
),,(
ξxU
)(
m
ij
x
),(
ξσ x
— соответственно фундаментальные и сингуляр-
ные решения для анизотропной среды; их явные представления построить
нельзя, однако возможно построить их интегральные представления, что
оказывается вполне достаточным при численной реализации МГЭ. Учиты-
вая выражение для
f
и выбирая в (3.14.4) в качестве
i
m
i
),(
ξxU
матричную
)(
204
3.14. Идентификация трещины в упругой среде
V
+
χ
=
=
j
+
функцию Грина для оператора анизотропной теории упругости (3.14.1)
с граничными условиями
)(
m
o
,0),(
xU
i
=ξ
S
1
)(
m
o
,0),(
ij
nx
=ξσ
j
S
2
(3.14.5)
получим следующее представление для расчета полей смещений внутри
тела
где
эт
:
(
)m
эт
mт
S
o
kl
∫
+
S
0
(
o
im
∫
20
i
χξσ+ξ=ξ
)m
ξ=ξ
),()()(
dSxUxpu
— поле в среде без дефекта (эталонное
x
,)()(),()()(
dSxnxxuu
xkl
(3.14.6)
поле). Если известны функции раскрытия, то на основании формул (3.14.6)
можно рассчитывать поле смещений всюду внутри области, в том числе
и на границе
Структура представления (3.14.6) аналогична структуре
.2S
представления для тела с полостью (3.14.7). Для определения функций раскрытия обычным способом формулируется система граничных уравнений
путем удовлетворения граничных условий на трещине (3.14.2):
),()(),(
χ
Ядра
=χ=
∫
+
S
0
),( yxk
ij
в (3.14.7), в отличие от задач для тел с полостями, явля-
xlij
yFdSxyxkK
j
.
∈Sy
0
(3.14.7)
ются гиперсингулярными и имеют подвижную особенность второго порядка, а соответствующие интегралы понимаются в смысле конечного значения по Адамару [18]; правые части
)( yF
выражаются через эталонное
j
поле смещений. На основании (3.14.6), (3.14.7) и решения прямой задачи
на втором этапе исследования в ОЗ с учетом условия (3.14.3) формулирует-
ся система операторных уравнений относительно
∫
+
S
0
0
∫
+
S
0
причем
0
ml
*0
xlml
=χ
xlij
yFdSxyxk
),()(),(
j
)(
m
o
).(),(),(
kl
ξσ=ξ
xnxxk
k
эт
uggdSxxk
mmm
,3,2,1
m
),()()()(),(
ξ−ξ=ξ=χξ
,
∈Sy
0
Отметим то обстоятельство, что инте-
)(x
l
и
,3,2,1
+
S
0
,
S∈ξ
21
(3.14.8)
гральные операторы в (3.14.8) распространяются только на границу трещи-
205
Модуль 3. Нелинейные обратные задачи
+
Φ
N
p
ны, а это в значительной степени снижает объем вычислительной работы
при решении как прямой, так и обратной задачи.
Заметим, что система операторных уравнений (3.14.8), наряду с гипер-
сингулярными операторами, содержит и вполне непрерывные операторы,
поскольку
+
SS
021
В силу этого задача нахождения
.
∅=∩
+
из системы
S
0
(3.14.8) является некорректной и, следовательно, неустойчивой по отношению к малым возмущениям заданных функций
),( xg
что характерно
j
для ГОЗ. В силу этого процедура численного исследования системы (3.14.8)
требует регуляризации [18] в той или иной форме.
Наиболее эффективным способом численного анализа нелинейной сис-
темы (3.14.8) является следующая двухэтапная схема. На первом этапе спо-
S
соб нахождения простейшей конфигурации
основан на использовании
0
идеи регуляризации на компактных множествах, в частности на предварительной параметризации искомой поверхности при помощи конечного числа
c
параметров
и на решении конечномерной ОЗ. Например, для туннельной
k
трещины, перпендикулярной к границе слоя, таких параметров всего два:
длина трещины и расстояние от ближайшей вершины трещины до границы
слоя (в общем случае в плоской задаче таких параметров четыре). Заметим,
что в качестве определяемых параметров лучше всего выбирать некоторые
инвариантные характеристики трещины,
не связанные с выбором системы
координат, такие как площадь, длина контура трещины, расстояние до свободной границы и т. д. Способ нахождения этих параметров основан на дискретном представлении интегральных операторов в (3.14.8) через узловые
c
значения функций раскрытия и определении параметров
нимума неквадратичного функционала невязки
],[kc
из условия ми-
k
порожденного вто-
рым соотношением из (3.14.8), который может быть найден, например, с помощью ГА (п. 1.9). Реализация этого подхода требует многократного решения прямой задачи (3.14.1)–(3.14.2), которое осуществляется в рамках идеологии простейшего варианта МГЭ. В этом случае решение системы гиперсингулярных уравнений (3.14.7) сводится к решению СЛАУ относительно
узловых значений
N
,
=χ
∑
q
1
=
FA
jplqjlqp
(при фиксированных значениях параметров
lq
=
,...,,2,1
c
)
k
χ
(3.14.9)
=
∫
S
q
,),(
dSyxkA
xpjljlqp
).(
yFF =
pjjp
206
В (3.14.9)
+
χ
∈
ξ
U
q
3.14. Идентификация трещины в упругой среде
N
есть аппроксимация поверхности
S
q
1=
S
многогранной по-
0
верхностью с треугольными гранями,
S
(в плоском случае
p
y
ломаной, а
— середина p-го звена). На втором этапе происходит уточ-
p
2=n
контур трещины аппроксимируется N-звенной
y
— центр тяжести треугольника
p
нение простейшей конфигурации трещины на основе метода линеаризации.
Линеаризация системы операторных уравнений производится в окрестности простейшей конфигурации трещины, найденной на первом этапе, с последующей дискретизацией на основе сочетания идей МГЭ и метода регуляризации Тихонова [9, 30].
В качестве иллюстрации предлагаемого подхода рассмотрена
простейшая задача реконструкции поперечной трещины в ортотропной полосе
толщины
h
с жестко защемленной нижней гранью. Координаты вершин
трещины определяются по известному полю перемещений на части свободной границы. Представление волнового поля в полосе найдено при помощи построения матричной функции Грина для полосы с дополнительным граничным условием и имеет вид однократных интегралов по некоторому контуру
тегральных уравнений (3.14.8) относительно скачков
σ
в комплексной плоскости. Система гиперсингулярных ин-
в рассматривае-
j
мом случае поперечной трещины распадается на два независимых уравнения
b
),(),()(
ξ=ξχ
∫
a
ядра
jj
),(
ξxk
оказываются неразностными, однако они имеют подвиж-
jj
33
ную особенность при
Fxdxkx
j
33333
Дискретизация интегральных уравнений вида
.
ξ=x
33
],,[3ba
(3.14.10)
(3.13.10) производится на основе МГЭ и на квадратурных формулах для
гиперсингулярных интегралов. Далее, рассчитанное поле перемещений
на верхней грани слоя в точках
при решении ОЗ, которая состояла в отыскании вершин трещины
m
служило исходной информацией
ξ
1
a
и b
и сводилась к совместному решению системы ГИУ (3.3.10) и минимизации
2
0
функционала невязки
∑
m
m
1
k
m
−ξ=Φ
.),(],[
uhuba
k
207
Модуль 3. Нелинейные обратные задачи
H
θ
==θ
=
κ
κ
Построен итерационный процесс определения значений
a
и ,b причем
в качестве начального приближения выбирается либо внутренняя трещина
максимального размера, либо та конфигурация трещины, которой соответствуют значения параметров, доставляющие минимум функционалу невязки при его нахождении на некоторой равномерной сетке внутри треугольника поиска
ba <<≤
.0
В качестве примера реконструкции ниже приведены результаты реше-
ния модельной задачи для ортотропной полосы из аустенитной стали
с упругими постоянными
10
55
109.12 ⋅=c
ординаты вершин
2
ослабленной поперечной трещиной, имеющей ко-
),мH(
0
безразмерной частоты
10
,1027.26
11
==
Ha
⋅=c
;7.0
1
∈ρω=κ cH
33
13
Hb
95.0
при разных значениях
когда в слое имеется
],3.5,3.3[
10
,105.14
⋅=c
33
10
,106.21
⋅=c
от двух до четырех распространяющихся волн [9]. Отметим достаточную
эффективность нахождения идентифицируемых вершин трещины, что иллюстрирует рис. 3.8, где изображены зависимости восстановления координат трещины (
κ (сплошным линиям соответствует
чечным линиям —
, θθ
) от числа итераций n для разных значений параметра
10
,3.3
пунктирным —
3.5=
).
,3.4=κ
то-
Рис. 3.8.
Ход восстановления координат трещины
,
θ
θ
0
1
Результаты численных экспериментов по предлагаемой методике пока-
зали, что в области низких и средних частот для определения только разме-
208
3.15. Асимптотический метод в задачах идентификации трещин
ра заглубленной трещины с погрешностью порядка одного процента достаточно 5–8 итераций метода, а для идентификации координат ее концов требуется 4–12 итераций. Для приповерхностной трещины с уменьшением
частоты колебаний разрешающая способность метода ухудшается. При не-
большом количестве точек регистрации поля перемещений
j
ξ
иногда воз-
1
можно появление фантомного (зеркального) отображения трещины относительно срединной поверхности слоя, однако при этом ее размер восстанавливается верно. Для отсева фантомного решения необходима дополнительная информация, причем в качестве таковой служила информация о поле
либо при большем числе точек наблюдения, либо для других частот колебаний.
3.15. Асимптотический метод построения операторных
соотношений в задачах идентификации трещин
В п. 3.13 описана процедура сведения ОЗ теории трещин к системам нелинейных операторных уравнений, решение которых строится на основе
некоторой итерационной процедуры, требующей многократного решения
прямой задачи. Однако для трещин малых относительных размеров процедуру решения прямой задачи, а соответственно, и обратной можно значительно упростить, формулируя простые операторные уравнения между
комыми и известными параметрами. В настоящем параграфе реализован
асимптотический подход к решению ОЗ идентификации трещин с учетом
малости линейного размера трещины на примере задачи для слоя.
Рассматривается задача идентификации внутреннего трещиноподобного
дефекта в ортотропном слое толщины
ницы слоя
верхней границы слоя
разрез с берегами
.
S
Колебания вызываются нагрузкой, приложенной к части
21
.
S
Трещина моделируется как математический
20
±
,
S
на которых компоненты поля перемещений терпят
0
h
по полям смещений на части гра-
ис-
разрыв
=χ
,
u ,
+
ii
S
0
−=χ
u характеризующийся компонентами вектор-
−
ii
S
0
функции раскрытия трещины. Действие трещины заменяется действием
фиктивных массовых сил, которые выражаются через компоненты раскры-
209
Модуль 3. Нелинейные обратные задачи
±
±
∉
j
=
=
=
j
=
j
L
тия трещины
векторов нормали к берегам трещины
+
ncf
)]([ ξδχ−=
jlkijkli
,
(здесь
).
S
0
n
— компоненты единичных
j
Рассматривается установившийся режим колебаний, при котором рас-
сматриваемая задача после отделения временного множителя будет описываться краевой задачей (3.15.1)–(3.15.3)
,
2
,0
=+ρω+σ
fu
iijij
(3.15.1)
,
uC=σ
,lkijklij
,0
=
u ,
i
S
1
±
n
jij
±
S
0
=σ
3 i
i
S
,0
i
где ρ — плотность среды,
p=σ
20
3
i
,3,2,1, =
c
,0
=σ
,
Sx
20
(3.15.2)
(3.15.3)
— компоненты тензора упругих постоянных
ijkl
материала, удовлетворяющие обычным соотношениям симметрии и положительной определенности.
Задача идентификации трещины решается на основе информации о поле
перемещений, измеренной на части верхней границы слоя:
},],,[{
∈ξ=
*
),(
ξ=
uu
i
S
21
i
1
hxdcS
3121
(3.15.4)
.
S∈ξ
211
Замыкают постановку задачи условия излучения волн на бесконечности,
при формулировке которых используется принцип предельного поглощения. Выберем оси координат так, чтобы оси упругой симметрии ортотропного материала совпадали с осями системы координат, и будем считать далее, что трещина представляет собой туннельный разрез, ось которого совпадает с осью
.2x
Тогда исходная задача (3.15.1)–(3.15.3) распадается
на две вспомогательные. Первая задача — задача об антиплоских колебаниях ортотропного слоя с трещиной произвольной конфигурации (задача 1). В этом случае ненулевой является компонента
даче (3.15.1)–(3.15.3) полагаем
i
.2,
Вторая задача — плоская задача
),,(
xxuu
312
и в за-
о колебаниях слоя с трещиной (задача 2). Ненулевыми в этом случае будут
компоненты
случай сосредоточенной нагрузки величины
с координатами
),,(
xxu
311
−
),( h
в касательном направлении к границе для антипло-
),(
xxu
(
i
313
3,1,
). Далее будем рассматривать
,0p
приложенной в точке
ской задачи и в нормальном направлении — для плоской.
210
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]