Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Обратные и некорректные задачи. Учебник
.pdf
3.7. Обратные коэффициентные задачи при анализе изгибных колебаний вязкоупругого стержня
x
g
=
τ
строить итерационный процесс уточнения неизвестных функций, основанный на методе регуляризации Тихонова [14]:
1
⎧
⎪
∫
0
⎪
⎪
⎨
⎪
1
⎪
∫
⎪
0
⎩
причем
κ+κ
κ−
1
+
0
+=
10
′′
′′
κ
iii
).()()(
xhxhxh
iiii
κ
00311
′′
001121
′′
),()(),()))(()()()((
dxxwxwzxhzxg
=κ
i
),)()((Re
ff
0
iiiii
ffdxxwxwzxhxg
κ−κ=κ
0
κ−κ=
(3.7.9)
),)()((Im),()(),()))(())()((
Необходимо отметить, что первый этап итерационного процесса требует
знания начального приближения. В настоящем разделе начальное приближение
0
строилось в классе линейных комплексных ограниченных функ-
),(
κixG
ций, коэффициенты которых находились из условия минимума функционала
невязки на построенном из априорной информации компактном множестве:
κ
где
2
∫
κ
0
1
),(
κxw
— функция смещения в заданной точке стержня при некото-
0
2
,)(),(Ф
κκ−κ=
dfxw
(3.7.10)
ром законе изменения комплексного модуля. Минимизация функционала
(3.7.10) может быть осуществлена различными способами, в том числе
и на основе ГА.
На каждом шаге построенного процесса посредством решения интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода находилось новое значение
w
i
,
0
с помощью которого вычислялись правая часть интегрального уравнения
Фредгольма 1-го рода и его ядро. Результатом решения этого уравнения
является поправка к неизвестной функции, и с ее учетом производился следующий этап итерационного процесса. Проведена серия вычислительных
экспериментов по восстановлению функций
),(
)(xh
по заданной ампли-
тудно-частотной характеристике (АЧХ). В вычислительных экспериментах
были рассмотрены различные типы краевых задач 1–3 и различные классы
функций: полиномиальные, экспоненциальные, кусочно-непрерывные. Результаты экспериментов приведены ниже. На рисунках сплошной темной
линией показан график исходной функции, линией с точками — восстановленной, сплошной светлой — начального приближения. Время релаксации
считалось
известным и равным
.1.0
161
Модуль 3. Нелинейные обратные задачи
+
+
=
κ
κ
x
g
−
α
+
=
κ
κ
−
⋅=α
x
g
Для задачи 1 принято
жение найдено в виде
0
−= xxh
2
,4)(
xxh −=
,46.0)(
0
xxg
По рассчитанным АЧХ выбран частотный диапазон
а б
Рис. 3.1.
Результат восстановления: а)
),(xh
б)
Значение параметра регуляризации на последнем шаге
5
Для достижения точности
−
10
при минимизации функционала (3.7.10) по-
2
,25)(
xxg +=
начальное прибли-
5.45.2)(
(рис. 3.1).
=
21
)(
для задачи 1
].6,4[],[
5
.105983.0
⋅=
требовалось 18 итераций.
2
Для задачи 2 (рис. 3.2) принято
ное приближение
0
,1.16.0)(
+= xxh
0
xxg
,21)(
xxh +=
и диапазон
26.1)(
ние параметра регуляризации на последнем шаге
4
ния точности
−
при минимизации (3.7.10) потребовалось 20 итераций.
10
2
найдены началь-
,32)(
xxg +=
. Значе-
=
21
4
Для достиже-
.103387.0
]1.5,3[],[
162
Рис. 3.2.
а б
Результат восстановления: а)
),(xh
б)
)(
для задачи 2
3.8. О выборе начального приближения в коэффициентных обратных задачах
≤
≤
≤
≤
≤
U
Можно отметить, что предложенная схема идентификации позволяет
в проведенных вычислительных экспериментах осуществить идентификацию с достаточной степенью точности.
3.8. О выборе начального приближения в коэффициентных
обратных задачах
Как описано выше, первый этап итерационного процесса в коэффициентных ОЗ требует знания начального приближения. В настоящем параграфе опишем два способа нахождения начального приближения искомой
функции — коэффициента дифференциального оператора.
В качестве первого примера рассмотрим задачу об определении начального приближения для модуля упругости. В основу метода решения данной
задачи положим
жение
функций вида
сти модуля упругости
на искомые константы
определяют компактное множество
),(
aa
(рис. 3.3) и позволяют находить начальное приближение как тра-
10
минимизацию функционала невязки. Начальное прибли-
)(0zE
строится в классе линейных положительных ограниченных
.)(
zaazE +=
Из априорной информации об ограниченно-
100
< EzEE )(0
a
и
0
0
a
1
можно получить ограничения
+−
,
EaE
0
+−
10
,
≤+
EaaE
которые
+−
на плоскости изменения параметров
диционными методами, основанными на минимизации функционала невязки на компактном множестве [9, 30], так и с помощью ГА (см. модуль 1).
Рис. 3.3.
Компактное множество U
163
Модуль 3. Нелинейные обратные задачи
Значения постоянных
ющего функционала невязки на построенном компактном множестве
κ
2
2
∫
κ
1
),1( κu
где
— функция безразмерной частоты колебаний, характеризующая
a
и
a
0
,)(),1(Ф
κκ−κ=
dfu
находятся из условия минимума следу-
1
:U
(3.8.1)
смещение на свободном конце стержня при линейном законе изменения
модуля
.)(
zaazE +=
100
Второй подход основан на методе квазилинеаризации [4]. Опишем его
реализацию на нескольких примерах определения постоянных коэффициентов дифференциальных операторов.
Одновременная идентификация нескольких материальных параметров
по исходной информации, например о перемещении части границы тела,
является перспективным средством для математического моделирования
новых материалов. Также результаты идентификации материальных параметров можно использовать для построения
соответствия между экспериментами над реальным образцом и над численной моделью данного материала. Вместе с тем задача одновременной идентификации нескольких постоянных параметров нелинейной начально-краевой задачи является непростой и сильно зависящей от специфики дифференциального уравнения.
Прямые методы, как например рассмотренные в модуле 1 ГА, требуют значительных временных
затрат при многократном решении прямой задачи и поэтому чаще всего их возможности ограничены размерностью пространства поиска порядка 2–4. В то же время некоторые подобные задачи
успешно решаются с применением метода, в основе которого лежит так называемый принцип квазилинеаризации, который состоит в том, что исходная нелинейная задача заменяется последовательностью
линеаризованных
задач Коши, сходящейся к искомому решению. В настоящем разделе предложено описание одного из возможных вариантов его реализации и приведены примеры его применения.
Пусть дана исходная задача в форме нелинейного ОДУ второго порядка
(хотя порядок уравнения не имеет решающего значения для алгоритма)
λ
с постоянным параметром
′′′
txtxtxF
.0)),(),(),(( =λ
(3.8.2)
164
3.8. О выборе начального приближения в коэффициентных обратных задачах
λ
t
x
t
x
t
x
λ
′
′
t
x
Пусть необходимо найти значение параметра
искомого параметра возьмем значение производной функции
,
а в качестве второго
)(
в на-
чальной точке. В качестве априорной информации о решении выступают
значения искомой функции
параметра
;λ
в рассматриваемом случае двух параметров для ОДУ второго
)(
в наборе точек при известном значении
порядка необходимо три значения функции. Предположим, что известны
,
,
f
f
0
— значения функции для трех моментов времени.
f
1
2
На основе задачи (3.8.2) строится каноническая система, в которой ис-
комый параметр
λ
считается функцией, зависящей от времени, и условие
неизменности параметра по времени составляет одно из уравнений
′
=
),()(
⎧
⎪
′
⎨
⎪
′
t
⎩
tutx
λ=
.0)(
=λ
),),(),(),(()(
tttutxftu
(3.8.3)
Следует заметить, что наличие дополнительных неизвестных постоянных параметров добавляет соответствующее количество тривиальных
уравнений в каноническую систему, а также соответственно изменяет количество одновременно решаемых на каждом шаге линеаризованных задач,
о которых пойдет речь ниже.
Для нелинейной системы (3.8.3) в качестве начальных условий на первом шаге алгоритма используется приближение
=
,)(
⎧
ftx
00
⎪
=
,)(
utu
⎨
⎪
t
⎩
строящееся следующим образом:
в момент
ленное как
λ
, полученное из уравнения (3.8.2), куда для этого нужно подставить зна-
чения
зованием значения
В случае, когда известные значения
00
λ=λ
,)(
00
— известное значение функции
f
0
— начальное приближение первой производной, вычис-
,0t
u
0
),()(
ttff −−
0101
′
,)(
ftx =
00
)( utx =
00
ftx =
— начальное приближение для параметра
0
и
22
.)(
вычисленное аналогично
),(0tx
)(
на интервале заданы неравно-
u
0
(3.8.4)
)(
с исполь-
мерно, это легко учитывается при вычислении начального приближения
для второй производной. Для решения задачи выбора начального приближения для нескольких неизвестных параметров нужно будет, используя
описанную выше процедуру грубого приближения производных с помо-
165
Модуль 3. Нелинейные обратные задачи
~
~
~
λ
~
~
~
⋅
щью конечных разностей, составить и решить систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) для известных значений функции в точках временного интервала, причем количество этих точек для каждого нового неизвестного параметра уравнения возрастает на 1.
Обозначим решение нелинейной начальной задачи (3.8.3)–(3.8.4) через
),(
),(
{ ttutx λ
)}.(
Наряду с задачей (3.8.3)–(3.8.4), на каждом шаге алгоритма нужно будет
решать систему, линеаризованную в окрестности нелинейного решения,
для чего проводим линеаризацию системы (3.8.3), полагая
),()()(
txtxtx ε+=
10
),()()(
tututu ε+=
10
).()()(
ttt ελ+λ=λ
10
Собирая слагаемые при
1
ε
, приходим к линеаризованной канонической
(3.8.5)
системе уравнений
′
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
=
′
′
t
1
Подставляя в эту систему вместо
ние нелинейной системы
),()(
tutx
11
λλ=
1010101
.0)(
=λ
),(
{ ttutx λ
),(
),),(),(),(),(),(),(()(
ttttututxtxgtu
найденное реше-
)}(),(),({
ttutx
000
получаем уравнения линейной
)},(
(3.8.6)
начальной задачи для определения коррекции нелинейного решения.
Решение задачи (3.8.6) будем отыскивать в виде
),()()(
txbtxatx
21
linlinlin
где
⎧
lin
lin
+⋅=
)(1tx
— решение системы (3.8.6) с начальными условиями
tx
=
01
,0)(
⎪
tu
=
,1)(
⎨
⎪
⎩
а
⎧
lin
lin
lin
lin
01
t
01
)(2tx
tx
02
=λ
,0)(
— решение системы (3.8.6) с начальными условиями
,0)(
=
⎪
lin
lin
tu
02
t
02
⎨
⎪
⎩
,0)(
=
.1)(
=λ
(3.8.7)
(3.8.8)
(3.8.9)
166
3.8. О выборе начального приближения в коэффициентных обратных задачах
~
=
λ
x
x
x
Такое представление функций коррекции возможно в силу линейности системы (3.8.6). Для каждого нового неизвестного параметра количество линеаризованных задач увеличивается на 1 очевидным образом.
Решив системы (3.8.6), (3.8.8), (3.8.9) и подставляя их решения в (3.8.7),
составляем СЛАУ для определения коэффициентов
ba,
с использованием
априорной информации о значениях искомой функции в точках
⎧
⎪
linlin
)()(
−=⋅+⋅
⎨
⎪
⎩
linlin
)()(
),(
txftxbtxa
111211
~
−=⋅+⋅
).(
txftxbtxa
222221
(3.8.10)
Решив ее, находим коррекцию данного шага итерации и повторяем про-
цесс, пока суммарная поправка не станет достаточно малой.
Проиллюстрируем алгоритм примером [4].
Пример 1
Рассмотрим уравнение Ван-дер-Поля [2]:
′′
2
′
⋅−⋅λ−=
).()()1)(()(
txtxtxtx −
(3.8.11)
Будем отыскивать значения первой производной в начальной точке
λ
и параметра
.
Соответствующая уравнению (3.8.11) каноническая система примет вид
′
⎧
⎪
′
⎨
⎪
′
t
⎩
tutx
=
),()(
2
=λ
.0)(
txtutxtu
−⋅−⋅λ−=
),()()1)(()(
Далее составляется линеаризованная система
′
⎧
⎪
′
⎨
⎪
′
t
1
⎩
Для точных значений параметров
tutx
=
=λ
),()(
11
2
001001
2
0011
−−λ−−−−λ=
1
.0)(
,999824896.9
0
079186697.0)(
=tu
имеется информация о значениях функции на интервале:
,80843.1)4( −=
,63385.1)6( −=
.40456.1)8( −=
С использованием грубого разностного приближения первой и второй про-
изводных были получены следующие начальные приближения параметров:
=λ
0
=u
0
,1249645.9
.0872900.0
txtxtuttutxtutxtxttu
),()1)()(()())()1)(()()()(2()()(
167
Модуль 3. Нелинейные обратные задачи
t
x
−
t
x
λ
t
x
На рис. 3.4 приведены графики функций
)(
и ее производной
)(tu
для
различных итераций, в табл. 3.1 проиллюстрирован процесс сходимости по параметрам. Был использован достаточно жесткий критерий остановки
=ε
6
,10
поскольку в случае идентификации материальных параметров от точности их
определения будут зависеть результаты дальнейших расчетов на их основе.
Рис. 3.4.
Функции
)(
и
)(tu
для первых четырех итераций
Сходимость по параметрам λ и
№ итерации
1 9.124964519 0.087290000
2 9.849023118 0.054172484
3 9.996368896 0.078399618
4 9.999823148 0.079186191
5 9.999824880 0.079186684
Интересна более сильная зависимость решения
метра
,λ
чем от параметра
Из графика видно, что хотя на второй
.)(0tu
Таблица 3.1
)(0tu
)(0tu
)(
от значения пара-
итерации значение
ния, на основной части интервала поведение функции
значением параметра
сравнительно далеко отошло от истинного реше-
)(0tu
)(tu
определяется
.λ
168
3.8. О выборе начального приближения в коэффициентных обратных задачах
x
x
x
=
−
−
−
−
−
Пример 2
Рассмотрим уравнения Бонгоффера — Ван-дер-Поля [24], описыва-
ющие ток через клеточную мембрану:
⎧
′
)(
⎪
⎨
⎪
′
⎩
=k
1
⎛
⎜
ktx
1
⎜
⎝
,106
3
⎛
⎜
⎜
⎝
2
)(
tx
−−⋅=
3
.3
=k
⎞
⎟
+
⎟
⎠
,)()()(
+⋅−−=
ktuktxtu
32
⎞
⎟
,)()(
tutx
⎟
⎠
Априорная информация:
,653749451.1)2.20( =
,628157725.1)3.20( =
.609505551.1)4.20( =
Точное решение и начальные данные:
,7.0
=k
3
=k
03
uu
0
−
,1.0)(
.1.0)2.20(
;148945572.0)2.20( −=u
Сходимость по параметрам приведена в табл. 3.2.
Таблица 3.2
Сходимость по параметрам
№ итерации
k
3
1 0.1
2 0.631950655
3 0.699359746
4 0.699997876
5 0.699999742
и
k
3
248945572.0
153923358.0
148938092.0
148945950.0
148966666.0
)(0tu
)(0tu
Пример 3
Рассмотрим уравнения Хиггинса — простейшую модель гликолиза [26]:
′
⎧
⋅−=
),()(1)(
tutxtx
⎪
⎛
⎨
′
⎪
)()(
tutu
⎩
.100=α
tx
⎜
⋅⋅α=
⎜
⎝
)(
tu
⎞
β+−
)1()(
⎟
,
⎟
β+
⎠
169
Модуль 3. Нелинейные обратные задачи
x
x
x
−
β
−
−
−
−
−
−
−
−
≤
Априорная информация:
,881745807.1)5.2( =
,138590679.3)6.2( =
.799976140.6)7.2( =
Точное решение и начальные данные:
,10=β
=u
;244246680.1)5.2(
,9
=β
0
0
+= uu
В данной задаче сходимость по параметру
.1.0)5.2(
оказалась весьма мед-
)(0tu
ленной, хотя и стабильной; достижение необходимой точности произошло
на 19-й итерации (табл. 3.3).
Таблица 3.3
Сходимость по параметрам β и
№ итерации
1 8.999999999
2 10.147235930
3 10.001584229
4 9.999974007
5 9.999990613
6 9.999995249
7 9.999997576
144246680.1
145202160.1
184396081.1
211173266.1
235141890.1
239582449.1
241872745.1
)(0tu
)(0tu
... ... ...
19 9.999999924
244236166.1
Кроме того, при
β
итерационный процесс для данной задачи сходится
7
0
к другому решению.
В заключение стоит отметить, что подобные задачи часто оказываются
весьма чувствительными к начальному значению параметров, которое далеко не всегда можно обеспечить приемлемым образом с помощью приведенной процедуры грубого приближения производных.
170
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]