Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Обратные и некорректные задачи. Учебник
.pdf
Тест рубежного контроля к разделу 2
t
g
создания в стержне одноосного напряженного состояния при растяжении или сжатии.
5.
Сформулируйте постановку ОЗ об определении коэффициентов Ляме
в прямоугольнике, постройте на основе п. 3.11 соответствующие интегральные уравнения для поправок.
Тест рубежного контроля к разделу 2
1. Всегда ли коэффициентные обратные задачи являются нелинейными?
а)
да, всегда;
б)
никогда;
в)
бывают линейными;
г)
в зависимости от погрешности входной информации.
2.
Некорректность обратной задачи п. 3.9 состоит в...
а)
нелинейности уравнения (3.9.6) относительно параметра ;a
б)
отсутствии непрерывной зависимости a от погрешности задания
в)
неединственности его определения;
г)
отсутствии решения системы нелинейных уравнений при задании
).(ktg
3.
Метод линеаризации необходим при решении...
а)
граничных ОЗ;
б)
коэффициентных ОЗ;
в)
ретроспективных ОЗ;
г)
любых ОЗ.
4.
Коэффициентные ОЗ для нестационарных постановок сводятся к операторным уравнениям в пространстве изображений по Лапласу...
а)
при любых начальных условиях;
);(
б)
при нулевых начальных условиях;
в)
при дополнительной информации, заданной на конечном промежутке
времени;
г)
при дополнительной информации, заданной на бесконечном промежутке времени.
191
Модуль 3. Нелинейные обратные задачи
t
g
5.
Начальное приближение в коэффициентных ОЗ следует искать на множествах простой структуры, например среди линейных функций, поскольку получающаяся при этом редуцированная ОЗ...
а)
линейна;
б)
конечномерна;
в)
имеет единственное решение;
г)
имеет решение, зависящее от точности входной информации.
6.
Итерационный процесс в коэффициентной обратной задаче следует
остановить, если...
а)
решение на очередной итерации мало отличается от заданного точного;
б)
число итераций больше 10;
в)
число итераций больше размерности конечномерной аппроксимации;
г)
выполняется принцип итерационной регуляризации.
7.
Какой вид имеет формула для расчета коэффициента температуропроводности из (3.9.8), если известны значения функции
менных точках
2
b
π
a
=
а)
4
()
2
b
π
a
=
б)
4
()
2
b
π
a
=
в)
4
()
г)
нельзя определить однозначно.
,1t
?2t
()
−
−
()
−
+
()
+
−
2
tgtg
)()(
21
)()(
tgtg
)()(
21
)()(
tgtg
)()(
21
)()(
;
2
ttgttg
2211
2
;
2
ttgttg
2211
2
;
2
ttgttg
2211
)(
в двух вре-
Критерий оценки:
раздел считается зачтенным, если обучающийся дал
правильные ответы не менее чем на 70 % тестовых заданий.
192
3.12. Геометрические обратные задачи об идентификации полостей в акустике
Раздел 3. Геометрические обратные задачи
Геометрические обратные задачи (ГОЗ) — это большой класс задач математической физики об определении внутренних границ тел (полостей,
включений, трещин) по информации о граничных полях либо на всей границе тела, либо на его части (для конечных тел), либо о полях в дальней
зоне (для внешности ограниченной области). Область приложения ГОЗ по
стоянно расширяется — от дефектометрии, механики разрушения [8, 9, 11,
12, 15, 17, 19] и сейсморазведки до задач эластографии и биомеханики.
Для полостей с гладкой границей отметим работы [9, 11, 19, 29, 34, 35]. ОЗ
теории трещин в упругих телах в различных постановках посвящены статьи и монографии [8, 9, 12, 15, 19, 35]. За последние годы получены новые
результаты в общей теории ГОЗ, разработаны новые численные подходы к
При этом для ГОЗ в акустике и теории упругости возможны как дифракционная постановка, так и постановка краевой задачи с дополнительными
граничными условиями на части границы. Подобные постановки ГОЗ имеются и для других эллиптических операторов, в частности для уравнения
Лапласа. Отметим, что
ка операторных соотношений, связывающих искомые заданные функции.
Обычно эти соотношения формулируются на основе методов теории потенциала, позволяющих формулировать ГИУ для прямых задач и обратные
решению задач этого типа, являющихся существенно нелинейными.
для ГОЗ обычно не вызывает проблем формулиров-
-
на их основе. Одним из наиболее эффективных методов исследования прямых и обратных задач для тел с полостями и
теории упругости является метод сведения к системам ГИУ, позволяющий
понизить размерность прямых задач и сформулировать систему нелинейных операторных уравнений для решения обратных.
Первая часть настоящего раздела посвящена различным формулировкам
и изучению ГОЗ для полостей, а вторая — ГОЗ для трещин.
трещинами в динамической
3.12. Геометрические обратные задачи об идентификации
полостей в акустике
ГОЗ для уравнения Гельмгольца в дифракционной постановке наиболее
полно освещены в монографиях [9, 15, 19, 34]. Изложим основные подходы
к решению ГОЗ в дифракционной постановке.
193
Модуль 3. Нелинейные обратные задачи
l
+
=
l
∈
ξ
Рассмотрим плоскую задачу для уравнения Гельмгольца о падении пло-
ской волны в направлении оси
ограниченную гладкой кривой
ikx
1
eu =
пад
.
x
в плоскости
1
:
,2R
содержащей полость,
(3.12.1)
При этом в дифракционной постановке полагается, что полное поле со-
;
uuu
стоит из падающего и отраженного:
будем считать, что вы-
отрпад
полнено граничное условие на границе полости
u
,0=
l
(3.12.2)
а отраженное поле также удовлетворяет уравнению Гельмгольца
отр
2
отр
.0
=+Δ uku
(3.12.3)
Замыкают постановку прямой задачи условия излучения на бесконечности,
при формулировке которых использован принцип предельного поглощения
[9]. В ОЗ требуется определить границу полости
по информации об
u
отр
в дальней зоне.
Заметим, что наиболее распространенный способ сформулировать опе-
раторное уравнение относительно неизвестной границы — это использовать сведение исходной краевой задачи к ГИУ. Для формулировки граничного уравнения используем фундаментальное решение для уравнения
Гельмгольца [18]
2
),,(
ξδ−=+Δ xUkU
(3.12.4)
которое имеет вид
i
)1(
xU =ξ
),(
0
4
),(
krH
.xr −ξ=
Используем для анализа обратной задачи формулу Кирхгофа [15, 19]
xu
отр
∂
)(
−
n
xU
),(
ξ∂
n
∂
∂
отр
∂
отр
)(
xu
,
n
l
⎞
⎟
dlxu
x
⎟
.\2SR
(3.12.5)
⎠
)(
ξu
отр
отр
В корректных задачах за-
.)(
xu
l
в любой
∂
xUu ,)(
),()(
ξ=ξ
отр
⎛
⎜
∫
⎜
⎝
l
Эта формула позволяет определять отраженное поле
точке среды, если известны
дается обычно одна из этих величин (в рассматриваемом случае
194
отр
)(
xu
).
3.12. Геометрические обратные задачи об идентификации полостей в акустике
l
∈→ξ
l
∂
l
x
∈
отр
∂
xu
и
n
l
отр
,)(
xu
в (3.12.5) осуществим пре-
l
.
y
Будем считать, что контур
∂ )(
Для того чтобы связать
дельный переход на границу полости
ляпуновский [19], и рассмотрим в (3.12.5) отдельно каждое слагаемое,
вводя следующие интегральные операторы:
K
∂
u
⎛
⎜
1
∂
n
⎝
2
∂
⎞
⎟
⎠
=
u
=
∫
∂
n
l
∂
U
uuK
∫
∂
n
l
ξ
,),(
ξ
dlxU
x
.),()(
dlx
x
Для этих интегральных операторов имеют место следующие свойства:
u
∂
⎞
⎛
K ,),()(lim
1
→ξ
y
⎟
⎜
n
∂
⎠
⎝
u
∂
=
∫
n
∂
l
dlyxUx
x
(3.12.6)
1
)(lim
2
→ξ
y
2
+−=
∫
l
U
xupvyuuK
n
∂
.),()(..)(
dlyx
x
Таким образом, учитывая (3.12.6), получим из (3.12.5) основное интегральное уравнение
∂
1
yu
отр
2
которое связывает
u
=
отр
∫∫
∂
n
ll
отр
∂
xu
n
∂ )(
−
x
и .)(
отр
l
отр
xu Обычно для численного решения
l
∂
U
xupvdlyxUx
∂
n
∈
,,),()(..),()()(
lydxyx
(3.12.7)
уравнения (3.12.7) используется метод граничных элементов (МГЭ), основные идеи которого описаны в [5, 9].
Осуществим постановку ОЗ для случая граничного условия (3.12.2).
Здесь возможно сразу отыскивать отраженное поле в виде потенциала простого слоя
отр
∫
l
χξ=ξ
При этом в дальней зоне
.)(),()(
dlxxUu
x
1−
ξ+ϕ−ξ=ξ− оxx
,,
),(cos
,x>>ξ
,
⎛
⎜
⎜
⎝
используя равенство
∧
⎞
ξ=ϕ
⎟
x
⎟
⎠
(3.12.8)
(3.12.9)
195
Модуль 3. Нелинейные обратные задачи
t
A
l
x
ψ
l
∈
π
∈
θ
ρ
θ
g
получим следующее асимптотическое представление на основании метода
стационарной фазы [19, 29]:
1
⎛
⎜
⎜
⎝
dlexF
⎞
−−
⎟
2
ξ+ϕξ=ξ
,)()(
⎟
(3.12.10)
⎠
x
(3.12.11)
отр
причем
1
2
=
χ=ϕ
)()(
∫
l
оFAu
,cons
а
xik
κ−
cos
характеризует диаграмму направленности для рассеивателя [19]. Далее будем рассматривать решение ОЗ в классе звездных относительно начала координат контуров, для которых любой луч, выходящий из начала координат, пересекает контур не более чем в одной точке. Постановка ОЗ состоит
в отыскании контура
по известной диаграмме направленности
).(ϕF
Ма-
тематическая формулировка проблемы сводится к системе операторных
уравнений относительно неизвестной плотности
1
4
)1(
∫
l
()
0
x
iky
1
−=χ−
edlxyxkH ,)(
,
y
∫
l
xik
cos
)(
и l
ϕ−
x
.)(
ϕ=χ
Fdlxe
(3.12.12)
Условие звездности позволяет отыскивать контур в виде параметриче-
ских уравнений
,cos)(
1
2
ϕϕρ=x
.sin)(
ϕϕρ=x
Тогда (3.12.12) приведется к системе нелинейных операторных уравне-
ний, содержащих как оператор с логарифмическим ядром, так и компактный оператор [29]
2
π
)1(
∫
0
0
2
π
ik
cos)(
ϕθρ−
∫
0
=θθϕθρ
iedgkrH
),()(
ϕ=θθ
Fdge
cos)(
ik
ϕϕρ
,4)()),,((
(3.12.13)
ϕ
],2,0[
где
222
()
22
θρ′+θρθθρθθρχ=θg
),cos()()(2)()(),,(
θ−ϕϕρθρ−ϕρ+θρ=θϕρr
,)()(sin)(,cos)()(
причем неизвестными являются функции
и
).(
)(
196
3.12. Геометрические обратные задачи об идентификации полостей в акустике
θ
g
g
N
k
N
π
N
Ψ
ρρρ
=
=
η
Особенности полученной системы операторных уравнений:
а)
нелинейность по
б)
наличие гладкого ядра во втором уравнении, что является отражени-
)(θρ
и линейность по
);(
ем некорректности исходной задачи;
в)
наличие в (3.12.13) двух комплексных уравнений для нахождения од-
)(θ
ной вещественной и одной комплексной функции (
)(θρ
а
вещественна).
комплексна,
Простейшим способом анализа системы (3.12.13) является переход
к конечномерным нелинейным операторам на основании использования
квадратурных формул прямоугольников и метода коллокаций, а также сведения проблемы отыскания неизвестных узловых значений к задаче нахождения минимума неквадратичного функционала невязки:
N
∑
k
=
N
1
2 k
∑
n
∑
k
n
)1(
0
=
1
N
ik
1
=
2
+=ρΨ
1
1
cos
ϕρ−
kn
2
,),(
ffg
kknk
2
ik
−ϕθρ=
iegkrHhf
nknnk
Fgehf
n
),(
ϕ−=
ϕρ
cos
kk
,4)),,((
(3.12.14)
),1( −=ϕ kh
k
n
θρ=ρ
),1( −=θ nh
),(
nn
=
n =
Минимум функционала
gg θ=
,...,,2,1
h
,...,,2,1
).(
nn
),(z
,
=
)...,,,,...,,,(
gggz
2121 NN
обычно
отыскивается в два этапа.
2
1.
На первом этапе отыскивается минимум на множестве всех окружностей
k
const==ρ a
граничных элементов при решении прямой задачи; пусть
)(min zΨ
на множестве окружностей.
2.
На втором этапе происходит уточнение формы путем линеаризации
с центром в начале координат в сочетании с методом
z
доставляет
0
функционала невязки (3.12.14) в окрестности найденного на первом этапе элемента
го на тейлоровском разложении в окрестности
η+= zz
с помощью итерационного процесса, основанно-
00
0
:
0
1
).,)((
)),(()()(
2
ηη+η+Ψ=η+Ψ zGzBzz
00000000
(3.12.15)
197
Модуль 3. Нелинейные обратные задачи
η
Ψ
l
≤
l
l
x
Здесь
),()(
zzB Ψ∇=
00
)(0zG
— оператор Гессе, представляющий собой
матрицу, состоящую из вторых частных производных. Тогда условие минимума
которое представляет собой СЛАУ относительно компонент вектора
)(zΨ
приводит к операторному уравнению вида
,0)()(
=η+ zGzB
000
(3.12.16)
0
с плохо обусловленной матрицей. Решение этой системы строится на основе метода регуляризации Тихонова и приводит к нахождению вектора
.
η+= zz
Далее можно осуществить линеаризацию
001
и, решая систему уравнений вида (3.12.16), получить новое при-
η+= zz
11
)(z
в окрестности
ближение. Итерационный процесс необходимо остановить в соответствии
с правилами, изложенными в модуле 1.
3.13. Определение формы приповерхностной полости
В предыдущем параграфе изучены задачи об определении формы звезд-
ной относительно начала координат полости на основе дифракционной постановки. Эта постановка является адекватной в тех ситуациях, когда полость является заглубленной и граница тела не оказывает значительного
влияния на поле внутри. Вместе с тем для полостей, расположенных близко
к границе, такая
модель малопригодна и требует уточнения. В этом случае
аналогично предыдущему параграфу необходимо сформулировать опера-
,
торное уравнение для нахождения неизвестного контура
но при этом
доступной для измерения является информация о волновом поле на свободной границе. Прямая задача состоит в нахождении поля ,u удовлетворяю-
щего в нижней полуплоскости
2
причем в области
ром
,
а колебания вызываются нагрузкой, приложенной к границе полу-
,0
=+Δ uku
имеется полость ,S ограниченная гладким конту-
0
≤x
2
0
x
2
уравнению Гельмгольца
(3.13.1)
плоскости:
u
μ
∂
).(
xp
=
x
∂
2
1
(3.13.2)
,0
=x
2
Будем считать, что граница полости свободна от нагрузок:
∂
∈
u
.0=
,
∂
n
l
198
(3.13.3)
3.13. Определение формы приповерхностной полости
x
U
l
l
∈
Прямая задача может быть решена на основе сведения краевой задачи
(3.13.1)–(3.13.3) к ГИУ типа (3.13.11), однако использование фундаментального решения
),( ξ
приводит к уравнению с областью интегрирова-
ния по бесконечной границе. Вместе с тем возможно построить функцию
Грина в полуплоскости, удовлетворяющую дополнительному граничному
условию, и получить интегральное уравнение лишь по границе полости.
Таким образом, ОЗ состоит в нахождении контура
),(
xfu
x==
2
0
1
1
].,[
bax ∈
по информации
(3.13.4)
Сформулируем систему операторных уравнений для решения ОЗ. Построим фундаментальное решение для уравнения Гельмгольца
oo
2
ξδ−=+Δ xUkU
),,(
удовлетворяющее граничному условию
o
∂
U
∂
x
2
2
0
=
и условию излучения
0
=x
(3.13.5)
на бесконечности. Это осуществляется либо при помощи преобразования
,1x
Фурье по
либо при помощи метода отражения. Полученное решение
имеет вид
o
xU +=ξ
где
i
),(
4
)1(
()
0
2
11
)1(
~
)
()(
rkHkrH
0
ξ−+ξ−= xxr .)()(
,
2
~
,)()(
22
2
11
2
ξ++ξ−= xxr
22
Аналогично предыдущему параграфу получается следующее интегральное представление поля:
o
∂
U
ξ
xuuu ,),()()()(
∂
n
o
dlx
x
),0,()()( dxxUxpu ξ=ξ
— поле в среде без полости, а n — внут-
1110
(3.13.6)
где
эт
эт
−ξ=ξ
∫
l
∞
∫
∞−
ренняя нормаль к границе полости. Для нахождения неизвестного поля
на границе полости в (3.13.6) осуществим в нем предельный переход,
.
y
устремляя
→ξ
199
Модуль 3. Нелинейные обратные задачи
l
∈
∈
ξ
l
l
ξ
Главная часть ядра интегрального оператора совпадает с изученной ра-
нее в п. 3.12. Учитывая (3.12.9), получим
o
1
2
эт
−=
∫
l
U
∂
xupvyuyu ,),()(..)()(
n
∂
dlyx
x
.
y
(3.13.7)
Удовлетворяя граничному условию (3.13.4) и устремляя
ξ→ξ
1
лучим второе уравнение:
o
∂
1
эт
−ξ=ξ
∫
l
U
xuuf ,)0,,()()0,()(
∂
n
ξ
dlx
11
x
].,[1ba
(3.13.8)
В итоге построена система двух операторных уравнений относительно
неизвестных функций
u
и
.
l
по
По переменной u эти операторы линейные,
— нелинейные. Ядро интегрального оператора
в (3.13.7) нерегулярно, а оператор в (3.13.8) представляет собой оператор Фредгольма 1-го рода
с гладким ядром, поскольку полость находится
строго внутри полуплоскости. Построим решение
системы операторных уравнений (3.13.7)–(3.13.8),
используя метод линеаризации.
Рис. 3.7
ция полости, ограниченная гладким контуром
Пусть
S
есть некоторая известная конфигура-
0
l
с нормалью
0
0
n
(например,
),0,(
по-
окружность, которая охватывает полость) (рис. 3.7).
Обозначим поле в среде с полостью
l
через
0
u
0
место соотношение, аналогичное (3.13.6):
o
∂
0эт0
−ξ=ξ
∫
l
0
U
ξ
.),()()()(
xuuu
0
∂
n
dlx
x
Введем в рассмотрение функцию
и (3.13.9) следует соотношение
oo
∂
−=ξ
U
xuw
∂
l
n
+ξ
x
∫∫
l
0
∂
0
U
xudlx
∂
n
ξ
0
,),()(),()()(
dlx
x
).(
Тогда для него имеет
(3.13.9)
0
).()()(
xuxuxw −=
Тогда из (3.13.6)
(3.13.10)
200
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]