Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Обратные и некорректные задачи. Учебник
.pdf
1.2. Некоторые сведения из функционального анализа и теории операторов
С
=
ε
∀
N
N
N
C
Так, нормированными пространствами являются пространство непре-
рывных функций на отрезке
C
m
функций, имеющих непрерывные частные производные до по-
)(Ω
m
включительно в области Ω
во
рядка
бесконечных последовательностей
],[ ba
с нормой ,)(max
m
)(
Ω
C
l
с нормой
2
||
≤α
m
Ω∈
x
=
∂=
n
α
∞
∑
=
tff
пространст-
],[
bat∈
,)(sup
xuu
пространство
2
21
ff
n
1
.}{
Отметим, что в приложениях встречается понятие полунормы. Фактически под этим понимается норма, для которой не обязательно выполнено условие 1 определения 1.
Многие понятия конечномерного анализа допускают важные обобщения на случай бесконечномерных нормированных пространств. Однако
не всякое такое пространство годится для построения анализа в нем. Главная проблема состоит в
том, что не всякая сходящаяся последовательность
имеет пределом элемент этого же пространства. Сужение возможного
класса пространств до таких, которые обладают свойством полноты, оказывается весьма плодотворным для приложений.
Определение 2
Пусть X — линейное нормированное пространство. Последователь-
ность
+ npn
n
),(ε=
xx
Xx
∈
называется фундаментальной, если
что
n >∀
.ε<−
и для всех натуральных p выполняется неравенство
0>
существует такое
Определение 3
Пространство X называется полным, если в нем всякая фундаменталь-
ная последовательность сходится.
Определение 4
Полное линейное нормированное пространство называется банаховым.
Банаховыми пространствами являются упомянутые выше пространства
m
],,[ ba
C
),(Ω
которые часто используются при описании областей оп-
ределения дифференциальных операторов.
21
Модуль 1. Прямые и обратные задачи. Понятие о некорректных задачах
x
x
x
x
x
=
x
xyx
R
xzyx
p
t
x
Определение 5
Вещественное линейное пространство называется евклидовым, если лю-
бой паре его элементов
ло, обозначаемое
yx,
поставлено в соответствие вещественное чис-
),( y
и называемое скалярным произведением, так что
выполняются следующие аксиомы:
1.
;0),( ≥
()
2.
3.
),(),( y
4.
).,(),(),( zyz
).,(, xyyx =
λ=λ
0),( =
тогда и только тогда, когда
.0
+=+
.
∈λ∀
В случае евклидова пространства можно ввести норму равенством
.),( xxx =
Определение 6
Пространство H со скалярным произведением называется гильберто-
вым, если оно является полным в этой норме.
Для элементов гильбертова пространства имеет место неравенство
Коши — Буняковского
()
., yxyx ≤
Определение 7
Гильбертово пространство
p
],,[ baL
1>
называется пространством
Лебега; элементы этого пространства (функции
b
],,[ ba
руемыми по Лебегу на отрезке
если
∫
a
в приложениях используется пространство
b
ведение имеет вид
=
∫
a
,)()(),(
dttytxyx
а норма —
Определение 8
Пространством Соболева
],[1baН
называется гильбертово простран-
ство непрерывно дифференцируемых на отрезке
ным произведением
b
∫
a
+=
′′
dttytxtytxyx .)]()()()([),(
)(
) называются интегри-
p
dttx
];,[2baL
в нем скалярное произ-
=
.)( ∞<
Наиболее часто
b
⎛
2
⎜
∫
⎜
a
⎝
],[ ba
функций со скаляр-
21
⎞
⎟
dttxx
.)(
⎟
⎠
22
1.2. Некоторые сведения из функционального анализа и теории операторов
Y
X
A
X
A
x
Y
A
∈
x
∈
A
R
A
Ax
=
YXA
A
R
x
Ax
=
YAR
YXf
R
Y
Y
=
x
∈
х
f
Y
X
YXA
∈
В современной литературе встречается следующее обозначение про-
странства Соболева:
1
2
].,[
baW
Определение 9
Пусть
на некотором подмножестве
менту
Множество
жество элементов
оператора
∈
,
— линейные пространства. Отображение
D ⊂)(
)(AD
единственный элемент ,
)(AD
называется множеством определения оператора, а мно-
,Ax
где
.
),(AD
и сопоставляющее каждому эле-
x
называется оператором.
называется областью значений
,
определенное
Первая грубая классификация операторов, полезная при рассмотрении
операторных уравнений вида
,y
такова.
Определение 10
Оператор
ровно один
∈
→:
называется инъективным, если
),(AD
такой что
;y
сюръективным, если
y ∈∀
)(
имеется
;)(
≡
би-
ективным, если он одновременно является инъективным и сюръективным.
Определение 11
)(
Пусть Х — линейное нормированное пространство. Всякий оператор
,:
→
чение функционала на элементе
где
=
или
,C
называется функционалом, при этом зна-
X
обозначается
].[
Определение 12
Пусть
оператор, определенный в окрестности точки
рывным в точке
пределом элемент
называется непрерывным, если он непрерывен в каждой точке
,
— линейные нормированные пространства,
.0Xx
Он называется непре-
если для любой последовательности
,0x
,0x
выполнено равенство ).()(lim
n
∞→
→:
имеющей
},{nx
xAxA
=
n
Оператор
0
).(AD
Наиболее часто в приложениях встречаются операторы, обладающие
свойством линейности.
—
23
Модуль 1. Прямые и обратные задачи. Понятие о некорректных задачах
YXA
X
A
∈∈λλ∀
C
Y
A
Y
X
X
x
∈
∀
≤
R
∈
YXA
X
A
CCA
Определение 13
Оператор
линейным, если
→:
с областью определения
)(,
ADxx ∈∀
21
и
xAxAxxA λ+λ=λ+λ
21
).()()(
22112211
D ⊂)(
)(,
CR
выполняется равенство
называется
В качестве примеров линейных операторов приведем следующие про-
стейшие операторы:
Ax =
dx
,
1
],,[
baCX =
=
];,[ ba
dt
b
=
∫
a
,)(),(
dtsxtskAx
2
].,[
baLYX ==
Определение 14
Линейный оператор
ства, называется ограниченным, если
Нормой ограниченного линейного оператора
называется число
=
xXx
→
≤∈
,:YX
где
.sup1,AxA
,
— нормированные простран-
,xcAx
c
→:
с
D =)(
).0( >c
Пример 1
Найдем норму интегрального оператора с непрерывным ядром
1
= dssxstKty
∫
0
1
Полагая
= dssxstKAx
∫
0
1
0
Следовательно,
1
что
= dsstKA
∫
t
0
,)(),()(
рассматривая его как оператор
,)(),(
получим
1
0
1
≤ dsstKA
∫
t
0
.),(max
.),(max
Далее можно доказать [17] тот факт,
→
1
∫∫∫
tstt
0
Имеет место важное утверждение.
].1,0[]1,0[:
.),(max)(max),(max)(),(max
xdsstKsxdsstKdssxstKAx
⋅=⋅≤=
24
Теорема 1
YXA
X
A
=
=
=
=
=
=
tsk
Y
YXA
A
R
A
−
Y
YXA
x
∈
A
Y
YXA
Y
xAxf
ϕ
=
1.2. Некоторые сведения из функционального анализа и теории операторов
Линейный оператор
→:
с
D=)(
непрерывен тогда и только
тогда, когда он ограничен.
Важными примерами ограниченных операторов являются следующие
интегральные операторы:
b
1.
=
∫
a
,)(),(
dtsxtskAx
— оператор Фредгольма 1-го
],[2baLYX
рода.
b
,)(),()(
2.
λ+=
∫
a
dtsxtsktxAx
],[2baLYX
— оператор Фредгольма
2-го рода.
s
,)(),(
3.
=
∫
a
Функции
dtsxtskAx
),(
называются ядрами соответствующих операторов.
],[2baLYX
— оператор Вольтерра.
Определение 15
Пусть
линейный оператор, отображающий
называется оператор
к
1
−
X ,
— линейные нормированные пространства,
)(AD
на
1
.
xyA =
)(
. Обратным оператором
заданный соотношением
),()(:
ADARA →
Важный класс обратимых операторов дает следующая теорема.
Теорема 2
Пусть
линейный оператор и
0>m
— постоянная. Тогда существует обратный линейный ограниченный
оператор
X ,
— линейные нормированные пространства,
∀
1
−
.
X
выполнено неравенство
Определение 16
Пусть
линейный оператор с областью определения
X ,
— линейные нормированные пространства,
),(AD
плотный в
→:
→:
,xmAx ≥
где
→:
,X
возмож-
—
—
—
но, неограниченный. Введем множество
*
X∈ϕ
рых при
имеет место равенство
D ⊂
**
таких
].[][
*
,
Yf ∈
для кото-
25
Модуль 1. Прямые и обратные задачи. Понятие о некорректных задачах
A
x
∈
=
C
A
A
С
A
x
≠
x
x
Ax
λ
=
A
λ
I
A
λ
−
YXA
YХA
*
ϕ=fA
Оператор
ниями в
*
X
называется сопряженным к оператору
*
][][
xfAAxf =
∀
с областью определения
)(AD
и
*
).(
ADf ∈∀
Определение 17
Оператор называется самосопряженным, если
пары
21
)(,
ADxx ∈
выполняется равенство
Определение18
Значение
ратор
()
−λ AI
тивном случае значение
∈λ
называется регулярной точкой оператора
1
−
ограничен и определен на множестве, плотном в
λ
называют точкой спектра оператора
Определение 19
Число
ществует такой элемент
∈λ
называется собственным значением оператора
∈
),(AD
,0
что
)( YDAD ⊂=
.
*
AA =
.
При этом элемент x
***
и со значе-
Таким образом
,
т. е. для любой
).,(),(
AxxxAx
2121
,
если опе-
.
X
В про-
.
,
если су-
,
называется собственным вектором оператора
.
венному значению
точкой спектра, при этом оператор
Всякое собственное значение оператора является его
необратим.
соответствующим собст-
Определение 20
Оператор
представление вида
→:
называется конечномерным, если он допускает
n
.),(
ϕ=
∑
k
xcAx
1
=
kk
Так, например, интегральный оператор Фредгольма с вырожденным яд-
N
ром
=
∑
=
1
n
sbtastk
)()(),(
является конечномерным оператором.
nn
Определение 21 [4, 30]
Оператор
→:
называется вполне непрерывным (компактным),
если он каждое ограниченное множество из X переводит в компактное.
Простейшим примером вполне непрерывного оператора является инте-
гральный оператор Фредгольма с непрерывным ядром. Вполне непрерывные операторы обладают рядом свойств, перечисленных ниже.
26
1.2. Некоторые сведения из функционального анализа и теории операторов
ε
<
λ
M
A
N
M
A
N
Свойство 1
Вполне непрерывный оператор ограничен.
Свойство 2
Любая линейная комбинация вполне непрерывных операторов представляет собой вполне непрерывный оператор.
Свойство 3
Вполне непрерывный оператор A может быть представлен в виде суммы
со сколь угодно малой нормой
AAA +=
,
sn
где
A
— конечномерный,
n
A
.
ε
A
— вполне непрерывный
s
Свойство 4
Спектр вполне непрерывного оператора в гильбертовом пространстве
дискретен.
Свойство 5
Множество точек спектра вполне непрерывного оператора либо конечно, либо счетно и не имеет предельных точек, кроме, может быть, нуля
(
n
,0→λ
∞→n
).
Свойство 6
Оператор, обратный к вполне непрерывному оператору, неограничен.
Свойство 7
Подпространство собственных элементов, соответствующее собственному значению
,
конечномерно.
k
Имеет место основная теорема Банаха об обратном операторе.
Теорема 3
Пусть X — метрическое пространство, X
отображается оператором
непрерывен на множестве
на
.
на множество
и M — компакт в
⊂
⊂
взаимно однозначно
;X
тогда, если оператор A
1
,X
то
−
непрерывен
При анализе различных типов операторов весьма важным является понятие сингулярных чисел оператора.
27
Модуль 1. Прямые и обратные задачи. Понятие о некорректных задачах
U
A
U
σ
A
σ
A
U
AAB
A
A
k
k
k
k
A
A
k
Определение 22 [4, 21]
Сингулярным разложением оператора
ставление в виде
∞
,),(
fuuAu
kkk
— нормированные ортогональные системы в пространствах
где
u
∑
k
σ=
1
=
},{
k
}{
f
k
и F соответственно, а величины
лами оператора
Тогда
представляет собой непрерывный линейный оператор из U в F
.
Будем считать последовательность
с сопряженным оператором
*
∞
∑
k
σ=
1
=
,),(
ufffA
kkk
а операторы
∞
∑
k
∑
k
2*
σ=
1
=
∞
2*
σ=
1
=
,),(
uuuAuA
kkk
),(
ffffAA
kkk
F
→:
называется его пред-
0
>
называются сингулярными чис-
k
}{
ограниченной.
k
являются самосопряженными в
*
=
ственные элементы
содержит собственные значения
u
и, возможно, собственное значение ,0 кратность ко-
k
и F соответственно. Спектр оператора
2
,
σ
которым соответствуют соб-
k
торого может быть как конечной, так и бесконечной. То же самое справедливо для оператора
*
с собственными элементами
.
f
При этом собст-
k
венные элементы связаны соотношениями
∗
fA σ=
Au σ=
Верно и обратное: если
венных элементов операторов
,ku
.kf
},{
f
k
*
— нормированные системы собст-
}{
u
k
и
*
,
AA
то оператор A допускает сингу-
лярное представление. В частности, компактные (вполне непрерывные)
операторы всегда допускают сингулярное разложение, причем для них
,0→σ
k
.∞→
28
Контрольные вопросы и задачи для самостоятельного решения к разделу 1
Y
A
x
∈
L
L
′
A
(
g
B
f
∈
∀
∈
Определение 23 [22, 30]
Пусть
называется дифференцируемым по Фреше в точке
вует такой оператор
lim
0
→
h
при этом оператор
по Фреше оператора
Например, дифференциальный оператор
ленный соотношением
точке
мулой
X ,
— банаховы пространства. Пусть
,:YX
→
LhxAhxA
)()(
−−+
что выполнено условие
,0
=
h
,
обозначаемый
в .X
=
производную по Фреше
′
′
=
.:YX
→
Оператор A
),(AD
если сущест-
),( xA
называется производной
1
′
′
).()(2)())()(( xhxgxhxhgA +
2
)
,)()()(
xfxfxAf +
очевидно, имеет в каждой
1
CCgA →
CCA →
],1,0[]1,0[:)(
задаваемую фор-
опреде-
],1,0[]1,0[:
Определение 24
Банахово пространство B называется сепарабельным, если содержит
счетное плотное множество, т. е. если в нем существует такое подмножест-
во
что
=
n
что
fS
ff
n
,}{
nn
1∞==
.ε<−
0>ε∀
и
найдется такой элемент
Sf
n
Контрольные вопросы и задачи для самостоятельного
решения к разделу 1
1. Сформулируйте основные типы обратных задач.
2.
Приведите примеры обратной:
а)
граничной задачи;
б)
ретроспективной задачи;
в)
коэффициентной задачи;
г)
геометрической задачи в различных разделах естествознания.
3.
Опишите операторы, участвующие в постановках этих задач.
4.
Убедитесь, что для следующих пространств выполняются аксиомы
,
нормы:
а)
пространство
=
∈
txx
],[
bat
;)(max
],[ baC
непрерывных на
],[ ba
функций с нормой
29
Модуль 1. Прямые и обратные задачи. Понятие о некорректных задачах
M
CCA
txt
A
=
t
CLA
C
t
CbaC
A
()(
б)
пространство
резке
пространство
в)
],[ ba
=
],[
bat∈
пространство
г)
д)
пространство последовательностей
Докажите, что отображение
5.
k
функций с нормой ;)(max
;)(sup
txx
m
C
],[
baC
k раз непрерывно дифференцируемых на от-
k
=
∑
∈
0
=
i
],[ ba
всех ограниченных на
);(
Ω
.2l
1
)(
i
txx
],[
bat
],[ ba
функций с нормой
dx
],,[],[:
baCbaCf →
xf =)(
непре-
dt
рывно.
Приведите примеры ограниченных операторов.
6.
7.
Докажите, что следующие операторы являются линейными ограниченными, и найдите их нормы:
t
а)
б)
→
1
],1,0[]1,0[:
],,[],[:
baCbaCA →
∫
0
x
;)()(
τ=
dtxtAx
);()(
в)
1
],,[],[:
baCbaCA →
tAx =
dx
.)(
d
8.
Рассмотрим подпространство
],[1baC
ства
и оператор
→
1
],1,0[:
}0)0(:]1,0[)({
=∈= xCtxL
из простран-
)(
)( txtd
tAx +=
tdx
dt
d ∈
9.
Докажите, что оператор дифференцирования
].1,0[)(
Докажите, что A непрерывно обратим.
→
dx
tAx =)(
является неограниченным.
dt
Какой оператор является обратным к оператору дифференцирования?
10.
11.
Найти производные по Фреше операторов
а)
б)
в)
′′
=
−=
=
()
′′
′′
3
;)()()(
xfxfxAf +
()
2
2/3
xfxfxxAf +
;)()()(
xfxfxfxAf −
)
.)(ln)()(2)(
2
baCbaCA →
),()(
],,[],[: ba
:],[],[:
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]