Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Обратные и некорректные задачи. Учебник
.pdf
3.15. Асимптотический метод в задачах идентификации трещин
∈
ξ
j
S
∈
ξ
σ
l
∈
1. Решение прямых задач. Сведение к интегральным уравнениям
Решения прямых задач строятся на основе функций Грина для слоя
и теоремы взаимности [9]. В случае антиплоских колебаний (задача 1) имеем следующее представление поля на поверхности слоя:
эт
1
1
∫
l
χξ+ξ=ξ
,)(),(),(),(
ldxxkhuhu
x
(3.15.5)
эт
xk
Здесь
p
),(
hu
1
1
=ξ
),(
2
σ
— контур в комплексной плоскости, который выбирается в соот-
0
−=ξ
∫
2
π
σ
⎛
⎜
∫
⎜
π
σ
⎝
)sh(
λ
h
)ch(
λλ
h
33
nxivng λξ−−α=
333111
ξ+α−
Li
)(
11
)(
ch
xx
,)sign(
,
α
de
1
λλ
h
,1S
xxh
λ−−λ−
ξ−λ−λξ
))(ch()sh(
32
33
ehgeg
g
1
+
e
λ
xx
,
nivng λ−α=
3112
⎞
||
x
ξ−λ−
33
⎟
×
⎟
⎠
ξ−α
xi
)(
111
α×
de
1
xx
.
nivng λ+α=
3113
ветствии с принципом предельного поглощения и обходит особенности подынтегральных функций определенным образом, описанным в [20].
Для плоской деформации (задача 2) компоненты поля перемещений
определяются аналогичными представлениями
m
)(
ijmm
∫
l
χξσ+ξ=ξ
,),()()(
dlnxuu
i
xji
,3,1,,=m
,
(3.15.6)
где
эт
)(m
σ
— компоненты тензора напряжений (сингулярные решения) опре-
ij
,
деляются на основе представлений для функций Грина и закона Гука.
В случае области типа слоя функции Грина представляются в виде интегралов Фурье по контуру
аналогично (3.15.5). В выражениях (3.15.5),
(3.15.6) первые слагаемые — эталонные поля, являющиеся полями смеще-
ний в среде без дефекта, вторые слагаемые обусловлены наличием трещины в слое. Одним из наиболее эффективных способов определения скачков
перемещений на трещине является способ построения систем ГИУ, изложенный в п. 3.13. В случае задачи 1 имеем одно ГИУ:
=χ
∫
l
x
.)()(),(
yFdlxyxK
(3.15.7)
В случае задачи 2 получаем систему двух ГИУ
∫
l
=χ
,)()(),(
yFdlxyxK
jxiji
.
y
(3.15.8)
211
Модуль 3. Нелинейные обратные задачи
L
[
]
θ+=
θτ+=
−∈τ
t
−∈τ
ГИУ (3.15.7), (3.15.8) в общем случае криволинейных трещин могут
быть решены численно на основе МГЭ. Упростим процедуру решения граничных уравнений при некоторых предположениях. Пусть трещина является прямолинейной, ее длина
а средняя точка трещины находится на оси
ней грани, причем величина
2l
и составляет угол θ к нижней грани слоя,
0
на расстоянии
Ox
3
от ниж-
d
0
характеризует расстояние от точки прило-
жения нагрузки до вертикальной оси, проходящей через середину трещины. Дальнейшее упрощение построенных ГИУ возможно с помощью асимптотического анализа задачи при малых значениях
.0l
2. Асимптотический подход к расчету волновых полей
Рассмотрим подробнее ГИУ для задачи 1. Ядро в (3.15.7) имеет гипер-
сингулярную особенность и соответствующий интеграл понимается в смысле конечного значения по Адамару [18]. При помощи выделения главного
члена асимптотики подынтегральной функции в представлении ядра и несложных преобразований в (3.15.7) можно выделить главную часть ядра
и привести ГИУ (3.15.7) к виду
[]
∫
l
yxK
0
1
),(
)1(
10
1
=
2
1
)1(
1
π
nnvnnvvC −=
3
1
3
=χ+
x
2
33
()
yxyx
),(
,)()(),(),(
yFdlxyxKyxK
2
11
2
11
)2(
1
)2(
1
2
2
yxvyx
−+−
)()(
33
33
1
−−+−−−
yxxy
),()sign(
nnnnyxviC +−=
13
3
yxyxviCyxyxvC
1133
(3.15.9)
)(2)()(
,
1
),(
1
=
∫
2
π
σ
1
1
yxi
−α
)(
11
i
)1(
()
α−−
)2(
α+α=α
eCCyxV
1
1
1
yxv
133
.)(),,(
Вводя параметризацию трещины
,cos
01
01
θ= tlx
,cos
θτ= ly
tldx
003
ldx
003
,sin
,sin
],1,1[,
перепишем интегральное уравнение (3.15.9) в виде
1
⎡
l
⎢
0
∫
⎣
−
1
v
22
)(
τ−
tl
0
1
⎤
),()(),(
τ+
⎥
τ=χ
FdtttK
.]1,1[
⎦
212
,),,(),,(
αα−α
dyxVyxReyxK
11331
(3.15.10)
(3.15.11)
3.15. Асимптотический метод в задачах идентификации трещин
[
L
Далее, исследуем асимптотику подынтегральных выражений в (3.15.11)
в предположении малости линейного размера дефекта. Устремляя
→l
0
получаем в пределе интегральное уравнение с постоянной правой частью
1
∫
−
1
q
0
где
)(
t
χ
2
)(
t
τ−
θ
=
0
v
01
01
−=α
p
,
qdt
=
0
p
0
h
pp
d
02
n
M — количество бегущих волн в слое.
),5.0(
−
),,,(),,(
LdF
01
=θγ
Li
α−
p
θγ+θγ−=θ
0201
ediddLF
0
λ
n
v
α
n
,)],(),([)1(),,(
0
),cos(cos),(
d
λθ
n
0
LdF
),,(
M
,
+
p
1
LdF θ=θ
0
∑
p
1
=
0
),sin(sin),(
dd
λθ−=θγ
0
nn
022
λ−
k
p
,
ν
02
p
π
=λ p
h
(3.15.12)
Интегральное уравнение (3.15.12) имеет следующее решение в классе ограниченных функций [9]:
,0
0
2
W
,1)(
Wtlt −=χ
0
0
q
0
,
−=
(3.15.13)
π
и после определения функции раскрытия можно построить волновое поле
в слое, в частности на его поверхности, согласно формуле
1
p
dLP
эт
0
W
π
),,(
0
0
=θ
2
h
M
∑
p
p
=
1
201
p
+
,
01
i
ξα−
1
p
+θ+ξ=ξ
γξ−
1
eOedLAhuhu
),(),,(),(),(
θγ−θγθ−=θ
diddLPldLA
02010
pp
,0>γ
]
,),(),(),,()1(),,(
(3.15.14)
которую далее можно эффективно использовать при решении ОЗ.
3. Идентификация параметров прямолинейной наклонной трещины
Решение ОЗ восстановления конфигурации трещины строится на основе
решения прямой задачи и дополнительной информации (3.15.4). Для прямолинейной трещины, допускающей параметризацию (3.15.10), задача
идентификации трещины сводится к нелинейной конечномерной ОЗ определения четырех параметров трещины:
,0l
,θ
,0d
.
Здесь можно посту-
пить различным образом: действовать стандартно, минимизируя функцио-
213
Модуль 3. Нелинейные обратные задачи
=
γ
−θγ
θ
θ
−
μ
=
−μ=
π
нал невязки с помощью ГА согласно п. 1.9, или поэтапно определять параметры (либо их начальные значения) из некоторых трансцендентных уравнений.
Рассмотрим в качестве примера антиплоскую задачу, в которой гранич-
ное поле определяется согласно (3.15.14). Пусть в качестве дополнительной
информации заданы амплитудные значения
A
*
(
n
n
2,1
) поля перемещения
в дальней зоне на верхней границе. Процедура идентификации осуществляется при частотном зондировании. Для однозначной идентификации достаточно рассмотреть две частоты
по две бегущие волны и заданы
рой волн на частоте
k
1
и
*
kA
2
1
,1k
,2k
на каждой из которых имеются
*
kA
1
),(
*
),(
1
*
kA
2
2
)(
kA
— амплитуды первой и вто-
1
2
)(
— на частоте
.2k
На основании
выражений для амплитуд (3.15.14) удается нелинейную задачу идентификации прямолинейной трещины свести к поэтапному определению параметров трещины, решая трансцендентные уравнения.
На первом этапе для определения параметра
амплитуд первой и второй волн, и введем обозначение
рассмотрим отношение
d
0
i −=μ+μ
21
*
kA
)(
1
1
.
*
kA
)(
1
2
Тогда, учитывая выражение для амплитуд (3.15.14), имеем
),(),(
did
θ
021011
=μ+μ
i
21
did
,
),(),(
θγ−θγ
022012
откуда, отделяя мнимую и вещественную части, получаем однородную
,sin
систему двух уравнений, линейную относительно
:cos
⎧
dcdc
1211
⎨
⎩
μ=
111
221
dcdc
2221
),3sin()(
dvdc μ−=
π
,
dd
=
0
2
h
−=
l
1
ddvdc
3
π
kh
α
=θ+θ
,0cos)(sin)(
=θ+θ
,0cos)(sin)(
),sin)3sin(()(
,
l
)(2
12
2
1212
−=
α
),3cos()(
dldc
(3.15.15)
,cos)3cos()(
dldldc
21122
.
)(2
kh
11
Приравнивая к нулю определитель системы (3.15.15), получаем уравне-
,0d
ние относительно
решениями которого являются значения, соответст-
вующие корням квадратного уравнения
2
,0cos2cos4
=−++ actbta
(3.15.16)
214
3.15. Асимптотический метод в задачах идентификации трещин
+
μ+μ−=
π
<
=
L
L
−
где
2
2
11
),(
μ+μ= la
2
μ−=
),(
llb
211
,
lllc
11122
π
dt
=
,
и они легко
0
h
находятся как
h
=
arccos
π
d
0
2
4
a
Таким образом, для однозначного определения
на одной частоте недостаточно. Для определения
зом необходимо знать амплитуды на второй частоте
)(4
acabb
−−±−
.
значений амплитуд
d
0
d
единственным обра-
0
,2k
произвести дейст-
(3.15.17)
вия, аналогичные действиям при анализе на первой частоте, и получить
два корня
и с одним из решений (3.15.17). На основе найденного из (3.15.17)
наклона трещины
,0d
один из которых будет совпадать с истинным значением
d
0
,θ
,0
θ≤
можно определить из системы (3.15.15)
d
0
угол
по формуле
arcctg
−π=θ
⎛
11
⎜
⎜
⎝
12
⎞
)(
dc
⎟
,
⎟
)(
dc
⎠
(3.15.18)
причем, если
12
Определение параметра
то
.0
θ
означает определение расстояния от точки
,0)(
=dc
приложения нагрузки до вертикальной оси, проходящей через середину
трещины.
входит в выражение для
,
W
и для определения этого пара-
0
метра необходимо произвести два измерения амплитуд при разном положении источника. В первом случае нагрузка приложена на расстоянии
от оси трещины; обозначим соответствующие амплитуды
*
2
во втором случае нагрузка приложена на расстоянии
);,(
LkA
1
от оси трещины; обозначим соответствующие амплитуды
*
2
*
1
*
1
).,(
LkA Тогда для определения
2
θ
),(
LkA
1
=
),(
LkA
2
),,(
dLF
011
,
θ
),,(
dLF
021
L
из (3.15.12) имеем соотношение
1
*
1
=
*
1
L
1
),,(
LkA
1
LLL
012
),,(
LkA
2
причем
M
01
∑
p
1
=
1
+
p
[]
pp
θγ+θγ−=θ
0201
α−
Li
p
ediddLF
,),(),()1(),,(
215
Модуль 3. Нелинейные обратные задачи
=
L
=
−
=
π
откуда получим выражение для определения
m
π+ϕ
L
−=
1
2
aa
−
21
Таким образом,
,
m
*
121111
*
122122
L
1
...,,2,1,0
Li
α
α
*
01
−γ+γ=
11
Li
*
02
−γ+γ=
11
нельзя определить однозначно, зная амплитуды
⎛
⎜
=ϕ
⎜
⎝
LkAeLkAia
)),,(),(()(
2
)).,(),(()(
LkAeLkAia
2
L
1
⎞
a
2
⎟
,arg
⎟
a
⎠
1
(3.15.19)
на одной частоте; можно получить лишь некоторый набор точек на оси
.
Ox
Для однозначного определения необходимо знание амплитуд смеще-
1
ний на другой частоте. Далее путем сравнения полученных множеств точек
выявляется единственное подходящее значение
Последним идентифицируется параметр
.
l
из одного из выражений
0
для амплитуд, например
2
01
[]
.),(),(),,(
θγ−θγθ= diddLPlA
0210110
Следует отметить, что параметр
определяется с наименьшей точно-
l
0
стью по сравнению с остальными параметрами, поскольку на погрешность
его определения, помимо погрешности входной информации, влияет погрешность идентификации параметров, найденных на предыдущих этапах.
На рис. 3.9 представлены численные результаты по восстановлению
,θ
L
в зависимости от длины трещины
1
.0l
Расчеты проводились для аусте-
,0d
нитной стали. Выбирались частоты, на которых имеются по две распространяющиеся волны
k
1
,0.5=
k
2
,0.6
L
0
.4.0
Параметры
,0d
,θ
L
1
определялись из (3.15.16), (3.15.18), (3.15.19). Заметим, как и следовало
ожидать, с увеличением длины трещины точность определения параметров
трещины уменьшается, поскольку асимптотический подход дает более высокую погрешность по сравнению с точным решением. Здесь принято:
ист
dd −
00
,
=ε
d
0
ист
d
0
=ε
θ
θ
θ−θ
ист
ист
,
=ε
L
0
L
−
LL
ист
1
ист
11
— относительные погреш-
ности восстановления
метров трещины
ист
0
,0d
,θ
L
соответственно. Истинные значения пара-
1
=d
,
=θ
ист
,5.0
ист
1
3
.6.5
=L
216
3.16. Асимптотические методы при решении задач идентификации дефектов
≤
θ
Из рис. 3.9 видно, что при
0
hl 2.0
,0d
,
L
определяются с погреш-
1
ностью менее 5 % при точных входных данных. Длина трещины при этом
определяется с погрешностью менее 10 %. Результаты свидетельствуют
о достаточно устойчивой процедуре идентификации параметров трещины.
Рис. 3.9.
Относительная погрешность восстановления
,0d
,θ
L
1
Аналогичный способ упрощения операторных уравнений в плоской задаче и вычислительные эксперименты описаны в [9, 13].
3.16. Асимптотические методы при решении задач
идентификации дефектов
В п. 3.13 рассмотрена задача о колебаниях полуплоскости с полостью,
представлен способ построения операторных соотношений между значениями искомых функций внутри рассматриваемой области и на ее границе.
Однако в случае дефекта малого характерного размера расчет рассеянных
полей на поверхности слоя, а также решение ГОЗ можно значительно упростить.
Рассмотрим задачу об установившихся
с туннельной полостью, направляющая которой есть гладкая замкнутая
кривая
верхней границы слоя
.0l
Волны в слое возбуждаются нагрузкой, приложенной на части
.1S
Нижняя грань слоя жестко защемлена и совпада-
колебаниях ортотропного слоя
ет с осью
Ox
ось
,
1
направлена перпендикулярно вверх. Оси упругой
Ox
3
симметрии совпадают с осями координат, а рассматриваемая проблема по-
217
Модуль 3. Нелинейные обратные задачи
∉
j
{
j
j
сле отделения временного множителя описывается следующей краевой задачей:
2
,
=
u ,
i
S
1
n
jij
u
,0
,0
=σ
l
0
,0
=ρω+σ
ijij
3 i
i
S
2
i
p=σ ,0
i
,3,2,1, =
,
uc=σ
,, lkijkljij
=σ
3
S
1
,1Sx
(3.16.1)
(3.16.2)
здесь
σ
— плотность среды,
c
— компоненты тензора упругих постоян-
ijkl
ных, удовлетворяющие соотношениям симметрии и положительной определенности,
— компоненты единичного вектора нормали к кривой
j
,0l
n
внешнего по отношению к области, занятой упругой средой. Поскольку
рассматриваемая область содержит бесконечно удаленную точку, необходимо сформулировать условия излучения волн на бесконечности, при формулировке которых использован принцип предельного поглощения. В такой постановке задача (3.16.1)–(3.16.2) распадается на две: антиплоские
(задача 1) и плоские (задача 2) колебания ортотропной упругой полосы
с полостью
сдвиговая (
ские колебания вызваны нагрузкой, расположенной в плоскости
в зависимости от характера нагрузки. В случае, когда нагрузка
}
0,,0)(
=
i
pxp
), колебания слоя антиплоские, тогда как пло-
21
.31xOx
Поля перемещений в слое имеют вид
где
эт
∫
l
0
m
ξσ=ξ
ijim
)(m
σ
— компоненты тензора напряжений, которые определяются на ос-
ij
ξ−ξ=ξ
),(),(),( xnxxK
j
i
,)(),()()(
dlxuxKuu
xiimmm
,3,2,1,,=m
(3.16.3)
нове закона Гука и представлений функций Грина [9, 14].
Система ГИУ с нерегулярными ядрами имеет вид
1
2
эт
−=
∫
l
0
dlxuyxKyuyu
i
,)(),()()(
xiimmm
.3,2,1,,=m
(3.16.4)
На основании представления (3.16.3) может быть рассчитано поле сме-
щений всюду в слое, если найдено поле смещений на границе полости.
1. Асимптотический подход к расчету полей
Реализуем асимптотический подход на примере задачи 1 (
2== mi
)
в области изменения безразмерных параметров:
,1
<<ε
1
,1
<ε<ε
2*
(3.16.5)
218
3.16. Асимптотические методы при решении задач идентификации дефектов
=
ε>ε
ζ
+
{
=
ψ
ψ=ζ
∈ψθ
=
ε
π
−
ε
где
1
тификации обычно строится при
,
hr=ε
2
,
cr ρω=ε
причем
Отметим, что решение ОЗ иден-
.
cc
44
,
что соответствует случаю малого
*2
дефекта, когда в слое имеются бегущие волны. Осуществим параметризацию полости в системе ГИУ (3.16.4):
,
η+= rxx
−
2
1
2
1
&
x
3
2
&&
xx
+
3
&&
,sin,cos θθ=η
,cos
θ−=
2
3
.
θ=θ+= rddxxdl
0
{}
n
=
1
x
= rxy
0
{}
,
,sin,cos
&
x
=
n
3
1
2
2
&&
+
xx
3
1
,sin
θ−=
}
,,
xxx
30100
,]2,0[, π
(3.16.6)
Представим ядро ГИУ (3.16.4) в виде суммы двух слагаемых, первое
из которых соответствует статическому случаю (
0
) и некоторой до-
2
бавки:
0
2222
1
22
).,(),(),(
yxKyxKyxK +=
Для задачи 1 слагаемое, соответствующее статическому случаю, имеет
вид
)(
0
22
),(
yxK
=
vxin
1
4
I
+
1
π
где
∞
e
α
I
=
1
2
1
∫
∞−
∞
∫
∞−
)(
v
α
1
)(
−α−−α
yxvyxi
331111
d
−α−−α
yxvyxi
331111
deI
1
Подставляя значения интегралов
чим
0
22
),(
yxK
Второе слагаемое
по сравнению с
v
⋅
−=
2
π
~
0
22
2
11
1
22
).,(
yxK
Поскольку контур
=α=
4
yxK
1
),(
по
)()(
yxsignxn
333
1
⋅=α
v
2
11
I
1
yxvyx
−+−
2
,
I
2
yxi
−
)(2
2
и
−+−
)()(
33
11
2
11
yxv
−
33
yxvyx
−+−
в соотношение (3.16.7), полу-
I
2
yxxnyxxn
))(())((
333111
.
2
−+−
.
2
)()(
33
,
2
yxvyx
)()(
33
более высокого порядка малости
l
задан параметрическими
0
(3.16.7)
(3.16.8)
уравнениями (3.16.6), то
1
K
~
0
22
),(
=ψθ
ε
v
⋅
⋅
2
π
1
1
.
1)1)(cos(
++−ψ+θ
vv
219
Модуль 3. Нелинейные обратные задачи
ε
θ
n
ψ
θ
n
v
Осуществляя разложение в ряд поля смещений и подставляя в (3.16.3)
полученные разложения с учетом (3.16.8), соберем коэффициенты при
в одинаковых степенях. В результате получим СЛАУ относительно неиз-
вестных компонент полей смещений на контуре дефекта.
Коэффициент при
1
2
эт
000
−=
Собирая коэффициенты при
лим интегралы по ,
висимых функциях ,1 ,2si
эт
0
1,01,
Собирая коэффициенты при
лим интегралы по
мых функциях ,1
0
ε
:
1
2
π
xuxuxu
)()()(
00
∫
π
0
1
,
ε
получим равенство, в котором вычис-
1
θ
dv
,
++−ψ+θ
vv
1)1)(cos(2
эт
).()(
xuxu =
0
000
затем приравняем коэффициенты при линейно неза-
ψ .2cos
)1)(()(
+= vxuxu
,
3,
В итоге имеем
+
v
эт
=
2
ε
1
xuxu
)()(
0
1,0
,
получим выражение, в котором вычис-
1
.
v
и приравняем коэффициенты при линейно независи-
,2si
ψ
ψ2cos
:
1
эт
xu
011,
xu
033,
11,
)(
=
v
эт
=
=
)(
xuxu
)()(
0
13,013,
эт
11,
+
v
2
−++
1
+
2
)1(
,
эт
33,0
+
1
v
эт
xuvvvxu
)()1)((
0
33,0
0
,
+++−
)1)(()(
vvxuxuv
.
Таким образом, поле смещений на контуре полости для задачи 1 имеет вид
⎡
эт
l
0
0
эт
1,10
⎢
⎣
эт
2
⎡
ε
1
+
2 v
11,
⋅
⎢
⎢
⎣
эт
+θ+ε+= sin
3,0
+
1
v
+
xuvxuxuu
)(cos)1)(()(
0
−++
1
v
эт
33,0
⎤
+
θ
⎥
⎦
)()1)((
xuvvvxu
0
cos
2
+θ
(3.16.10)
2
+
v
эт
+ 2sin
xu
)(
0
13,
)1(
−θ
v
2
эт
− O
11,
+
v
+++
1
эт
)()1)((
xuvvvxuv
0
33,0
⎤
2
θ
⎥
⎥
⎦
3
).(sin
ε+
1
220
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]