Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Обратные и некорректные задачи. Учебник
.pdf
3.6. Обратные коэффициентные задачи для упругого стержня
=
x
l
ω
l
x
xEE
=
x
ρ=ρ
=
x
f
l
∈
x
ρ
x
E
x
E
x
ρ
E
x
E
ρ
x
E
Изучение коэффициентных ОЗ для линейных дифференциальных операторов с переменными коэффициентами начнем с простейших — одномерных ОЗ для ОИ простой геометрии [9], причем изучение задачи начнем
с простого варианта, когда искомая функция мало отличается от постоянной.
Рассмотрим жестко закрепленный на конце
длины
ω
— частота колебаний), приложенной к торцу стержня
(
тать, что упругий модуль
ного сечения
,
колебания в котором возбуждаются при помощи силы
),(
плотность
)(xFF
есть функции координаты
0
упругий стержень
petp
=)(
.
=
Будем счи-
),(
площадь попереч-
.
Сформулируем крае-
вую задачу:
d
dx
⎛
⎜
⎝
du
dx
⎞
⎟
⎠
xFxE
2
,0)()()(
=ρω+
uxF
(3.6.1)
du
lFlEu −==
.)()()(,0)0( pl
(3.6.2)
dx
Предположим, что имеется дополнительная информация о решении вида
u
),(),( ω=ω
ω
].,[
ωω
21
(3.6.3)
Тогда имеем следующие основные постановки ОЗ:
F — константа; по известной
1.
)(
найти
)(
из условия (3.6.3).
ti
2.
F
— константа; по известной
3.
ρ,
— константы, найти
)(
найти
)(xF
из условия (3.6.3).
)(
из условия (3.6.3).
Рассмотрим способы решения этих задач на примере первой, поскольку
схема их исследования идентична; в основе анализа лежит метод линеаризации.
1. Задача об определении модуля )(
Рассмотрим случай, когда
,F
постоянны. Уравнение колебаний и гра-
ничные условия принимают вид
d
dx
⎛
⎜
⎝
du
dx
⎞
⎟
⎠
xE
2
,0)(
=ρω+
u
(3.6.4)
du
./)()(,0)0(
lEu −=−==
dx
Будем отыскивать
0
)(
по информации (3.6.3).
Fppl
151
Модуль 3. Нелинейные обратные задачи
+
x
E
x
)(
xE
Предположим, что
=
в рассмотрение волновое число
)(
E
xE
0
).(1
x
εη+=
Отметим, что в задаче (3.6.4)
),()(
xEExE
причем
10
2
ρω
2
k
=
и представим
E
0
)(
— произвольная кусочно-непре-
max
1
E
.1
<<
0
Введем
(3.6.5)
рывная функция, однако построить аналитическое решение прямой задачи
(3.6.4) с произвольным законом изменения модуля, вообще говоря, нельзя.
Оказывается, метод линеаризации — один из эффективных методов исследования коэффициентной ОЗ (3.3.4) [1, 5, 16]. Подставим представление
(3.6.5) в исходную задачу и будем отыскивать ее решение в виде разложе-
ния по степеням
:ε
10
2
).(
ε+ε+= Ouuu
Уравнение колебаний и граничные
условия (3.6.4) дадут соотношения
=
x
dx
d
dx
,0)(
=ε+
0
d
ε+εη+
⎞
ε+εη+ uukuu
10
2
⎟
10
,0)()())(1(
=ε++
⎠
⎞
⎟
⎠
lx
=
,)())(1(
puu
−=
*10
p =
*
E
p
0
.
0
dx
⎛
⎜
⎝
d
⎛
⎜
⎝
uu
10
x
Приравнивая в (3.6.6) коэффициенты при одинаковых степенях ,ε полу-
чаем краевые задачи
2
⎧
ud
⎪
2
dx
⎪
⎪
0
u
:
ε
ε
⎨
0
⎪
du
0
⎪
dx
⎪
⎩
2
⎧
ud
1
⎪
2
dx
⎪
⎪
1
u
:
⎨
1
⎪
du
⎪
dx
⎪
⎩
2
0
uk
=+
,0
0
=
,0)0(
pl
−=
2
uk
1
,0)0(
=
η−=
;)(
*
d
dx
⎛
⎜
⎝
du
⎞
η++
0
x
dx
,0)(
=
⎟
⎠
du
01
).()()(
ll
l
dx
(3.6.6)
(3.6.7)
(3.6.8)
152
3.6. Обратные коэффициентные задачи для упругого стержня
=
x
α
l
α
~
~
k
Дифференциальное уравнение в (3.6.7) имеет постоянные коэффициенты, его решение легко строится и имеет вид
из граничных условий находим
p
u −=
0
cos
*
klk
kx
.sin
A −=
0
p
cos
*
,
,0=B и тогда
klk
,cossin
kxBkxAu +
причем
Рассмотрим далее задачу (3.6.8). Решение этой задачи имеет вид
Чтобы найти частное решение, можно либо ис-
.cossin
ukxBkxAu ++=
ч1111
пользовать фундаментальное решение соответствующего оператора [18],
либо поступить следующим образом. Для формулировки операторного
уравнения для
достаточно найти
)(
lu
, что можно сделать при помо-
1
)(
η
щи конечного интегрального преобразования Фурье. Применим к краевой
задаче (3.6.8) это преобразование, для чего умножим уравнение на
и проинтегрируем по отрезку
α
′
.)(
dxxueu
′
−
Заметим, что для дальнейшего исследования доста-
где
22
++α−
)(
l
α
~
=
xi
∫
0
11
].,0[
Тогда получим следующее равенство:
lili
ueluiueluuk
11111
l
α
+
xi
e
∫
0
+−α−
))0()(()0()(
d
ξ
d
′
ξη
0
=ξξ
du
,0))()((
(3.6.9)
xi
e
u
точно исключить из рассмотрения трансформанту
значения
±=α
и учитывая граничные условия в задаче (3.6.8), получим
линейную алгебраическую систему относительно
. Подставляя в (3.6.9)
1
и
′
),0(1u
решая ко-
)(1lu
торую, находим
l
plu
ξη=
*1
∫
0
)()(
cos
cos
2
ξ
k
2
kl
.
ξ
d
(3.6.10)
Нетрудно видеть, что дополнительные сложности при обращении оператора (3.6.10) возникают на резонансных частотах задачи нулевого при-
π
ближения, т. e. при
= nkl
),12(
−
поскольку в этом случае правая часть
2
(3.6.10) обращается в нуль независимо от функции
),(0kf
которая, вообще
говоря, имеет свои точки разрыва, соответствующие резонансам неодно-
153
Модуль 3. Нелинейные обратные задачи
∈
E
x
ρ
x
∈
родного стержня. Для преодоления этой технической трудности рекомендуется выбирать отрезок
],[21kk
между резонансными волновыми числами.
Таким образом, дополнительное условие в ОЗ (3.6.3) приводит к сле-
дующему интегральному уравнению:
l
∫
0
2
1
−
ω=
fpkf
*0
0
).()(
2
cos)(cos)(
+=ξξξη
klkfdk
Это уравнение имеет гладкое положительное ядро
2sin
kl
,
2
k
],,[21kkk
(3.6.11)
2
),(cos),(
ξ=ξ kkK
задача решения (3.6.11) некорректна, и при построении решения необходимо использовать один из методов регуляризации, описанных выше, например метод Тихонова.
2. Задача об определении плотности
Рассмотрим задачу об определении плотности стержня. Уравнение ко-
лебаний и граничные условия для случая, когда ,F
постоянны, прини-
мают вид
2
E
dx
ud
2
2
,0)(
=ωρ+ ux
(3.6.12)
du
,0)0( =u
E −=
dx
.)(
pl
0
Будем отыскивать
)(
ρ
по информации (3.6.3).
Решение задачи (3.6.12) об определении плотности строится методом
линеаризации с использованием предположения, что
),(min
x
где
0
ρ=ρ
],0[
lx
∈
.0)( ≥η
Аналогично предыдущему на основании ко-
0
)),(1()(
xx εη+ρ=
нечного преобразования Фурье применительно к линеаризованной задаче
приходим к интегральному уравнению вида (
l
2
∫
0
1
−
fpkf
*0
⎛
⎜
0
2
cos)(sin)(
klkfdk
⎝
).()(
ω=
2sin
kl
+−=ξξξη
⎞
,
⎟
2
k
⎠
В отличие от предыдущего случая, ядро
22
Ek
ρω=
)
],,[21kkk
(3.6.13)
2
)(sin),(
ξ=ξ kkK
является не
положительным, а только лишь неотрицательным, правые части уравнений
(3.6.13) и (3.6.11) различаются лишь знаком. В силу такой особенности яд-
154
3.6. Обратные коэффициентные задачи для упругого стержня
=
ξ
ρ
=
∈
ра (оно обращается в нуль при
0
для любых k) можно предсказать
большую погрешность определения плотности в окрестности начала координат. Для того чтобы преодолеть эту сложность, обычно требуется зада-
).0(ρ
вать значение
3. Задача об определении формы поперечного сечения
Рассмотрим задачу об определении формы поперечного сечения
при постоянных плотности
и модуле Юнга
.
EE
В этой задаче мы
0
также будем использовать дополнительную информацию (3.6.3). Уравнение колебаний (3.6.1) и граничные условия (3.6.2) примут вид
d
⎧
⎛
⎜
⎪
dx
⎪
⎪
u
⎨
0
⎝
=
⎪
⎪
⎪
⎩
lFE
0
,0)0(
du
dx
du
dx
⎞
⎟
⎠
−=
.)()(
pl
xFE
2
=ωρ+
,0)()(
uxF
(3.6.14)
)(xF
Аналогично предыдущему в рамках метода линеаризации задача об
определении формы поперечного сечения стержня сводится к интегральному уравнению Фредгольма 1-го рода с гладким ядром вида
l
∫
0
причем
2
cos)(2cos)(
0
22
.
Ek ρω=
Для решения уравнения (3.6.15) также необходимо
0
klkfdk
2sin
kl
+=ξξξη
,
2
k
],,[
kkk
21
(3.6.15)
использовать методы регуляризации [21, 27]. Заметим, что правые части
уравнений (3.6.11) и (3.6.15) совпадают и потому можно сформулировать
аналогичные требования для отрезка
].,[21kk
Замечание
Отметим, что если искомая функция не близка к постоянной, то ситуация гораздо более сложная: требуется построение некоторого итерационного процесса, на каждом шаге которого решается прямая задача для уравнения с переменными коэффициентами и далее определяется поправка; о таких задачах речь пойдет ниже.
Все полученные в этом параграфе уравнения
весьма похожи, однако
есть и некоторые отличия. Выясним их, исследуя вопрос о единственности
155
Модуль 3. Нелинейные обратные задачи
ξ
=
+
=
ξ
z
=
решения построенных интегральных уравнений вида (3.6.11), (3.6.13),
(3.6.15). Очевидно, в силу их линейности достаточно выяснить возмож-
ность существования ненулевого решения у соответствующих однородных
уравнений
l
1
∫
0
l
2
∫
0
l
3
∫
0
η=ξν
2
2
=ξξξν=ν
dkK
=ξξξν=ν
dkK
=ξξξν=ν
dkK
)()()(
ξη−
:
21
,0)(cos
,0)(sin
,0)(2cos
],,[
kkk ∈
21
],,[
kkk ∈
21
].,[
kkk ∈
21
Введем в рассмотрение функцию комплексного переменного, порож-
денную оператором
l
∫
0
zz
.)(2cos)(
ξξνξ=Φ
:
νK
3
1
Тогда операторам
,
νK
ν
K
1
соответствуют функции
2
1
()
)(
2
1
2
2
()
)(
.)(1
zz Φ−=Φ
(3.6.16)
zz Φ+=Φ
,)(1
Нетрудно заметить, что
для тех значений комплексного переменного
],,[
kkz ∈
то
211
0)( ≡Φ z
во всей комплексной плоскости в силу теоремы об
аналитическом продолжении. Тогда, разлагая
)(zΦ
— аналитическая функция. Если
,
izz
для которых
21
2cos в ряд по степеням ,z
Φ z
z
0)(
2
получим
l
⎡
1
⎢
∫
⎣
0
ξ
)2(
−
+
!2
42
ξ
zz
)2(
!4
⎤
−
⎥
≡ξξν
d
,0)(...
⎦
а отсюда следует равенство нулю всех коэффициентов разложения при сте-
l
2
пенях
,2z
т. е.
m
∫
0
d
m
,0)(
=ξξνξ
...,1,0
Используя эти равенства, нетрудно установить, что
l
∫
0
ξπ
n
d
,0)(cos
=ξξν
...,,2,1,0=n
(3.6.20)
l
,0
156
3.7. Обратные коэффициентные задачи при анализе изгибных колебаний вязкоупругого стержня
≡ξν
Φ
=
η
l
x
π
nx
а следовательно,
...,,1,0=n
но из последнего факта вытекает, что
)(ξν
ортогональна полной в
],0[2lL
системе
⎧
⎨
⎩
,0)(
и единственность
⎫
,cos
⎬
l
⎭
решения уравнения (3.6.18) установлена.
Совершенно аналогично доказывается единственность для уравнения
(3.6.13). Для уравнения (3.6.15), рассуждая аналогичным образом, получим,
l
2
что
при
m
∫
0
d
0=m
не следует из равенства нулю
,0)(
=ξξνξ
...,2,1=m
Таким образом, условие ортогональности
),(2z
поэтому все коэффициенты
разложения функции
уравнения с ядром
)(ξν
равны нулю, кроме нулевого, т. е. все решения
отличаются на константу, а это свидетельствует
K
2
об отсутствии единственности решения для уравнения (3.6.13). Ее можно
восстановить, сузив множество разыскиваемых функций из
ких, у которых значение в нуле фиксировано:
η
.)0(
0
Это означает,
],0[
lL
2
до та-
что возможные искомые функции, описывающие распределение плотности,
одинаковы на закрепленном торце стержня.
3.7. Обратные коэффициентные задачи при анализе изгибных
колебаний вязкоупругого стержня
Предложенная выше схема анализа коэффициентных ОЗ для уравнений
второго порядка может быть перенесена на подобные задачи в случае изгибных колебаний и при наличии неоднородных вязкоупругих свойств
в рамках концепции комплексных модулей. В рамках этого параграфа рассмотрим случай, когда искомые функции не близки к постоянным, и требуется построение итерационного
процесса для решения ОЗ.
Уравнение установившихся изгибных колебаний вязкоупругого стержня
длины
переменной жесткости в безразмерном виде после отделения вре-
менного множителя будет иметь вид [3]:
d
dx
где
2
⎛
⎜
2
⎜
⎝
w
),(
ixG
=κ
2
),(
ixG
κ
dx
),( κ
— функция прогиба cрединной линии балки под нагрузкой ,q
+τκ
⎞
),(
xwd
κ
2
4
⎟
⎟
,),(
qxw
=κκ−
⎠
)()(
xhxgi
— неизвестная функция, характеризующая изме-
1
i
τκ+
(3.7.1)
157
Модуль 3. Нелинейные обратные задачи
xgHxE
=
xhHxH
x
g)(x
=
′′κ=κ′′
κ
κ=κ
=
′′κ=κ′′
κ
κ
=
=κ′′=
=
нение безразмерного комплексного модуля,
ный, а
(
),(
=
h
— безразмерные функции, отражающие законы изменения
)()0()(
— длительный модуль упругости соответственно
)()0()(
— мгновен-
модулей, которые могут как быть гладкими положительными функциями,
42
JH
Flρω
)0(
так и иметь конечное число разрывов первого рода),
безразмерная частота и
JH
n
=τ
)0(
— безразмерное время релаксации.
4
Fl
ρ
4
=κ —
Отметим, что уравнение (3.7.1) имеет переменные коэффициенты и его решение может быть построено лишь численно. Для этих целей может быть
использовано сведение краевой задачи к интегральному уравнению Фредгольма 2-го рода с последующей дискретизацией.
Далее рассмотрим три задачи, соответствующие трем способам нагру-
жения:
Консольно закрепленная балка, нагруженная на свободном конце сосре-
1.
доточенной силой при отсутствии нагрузки (
0
q
); граничные условия
имеют вид
=κ wiGwiGww
′
=κ
′
κ
;1)),1(),1((,0),1(),1(,0),0(,0),0( =
при этом известна дополнительная информация о функции смещения
свободного конца балки
не
Консольно закрепленная балка, нагруженная на свободном конце сосре-
2.
].,[
κκ
21
доточенным моментом при отсутствии нагрузки (
)(),1(
fw
в некотором частотном диапазо-
1
0
q
); граничные
условия имеют вид
=κ wiGwiGww
′
=κ
′
κ
;0)),1(),1((,1),1(),1(,0),0(,0),0( =
при этом известна дополнительная информация об угле поворота свободного конца балки
].,[
κκ
21
′
κ
fw
в некотором частотном диапазоне
)(),1(
2
3.
Шарнирно опертая балка, которая нагружена сосредоточенной силой
);(
xxqq −δ=
граничные условия имеют вид
00
′′
κ=κ wwww
κ
;0),1(,0),0(,0),1(,0),0(
158
3.7. Обратные коэффициентные задачи при анализе изгибных колебаний вязкоупругого стержня
x
G
κ=κ
x
G
κ
x
v
x
),( κi
неизвестна на отрезке
⊂xx
21
];1,0[],[
известна дополнительная
информация о функции смещения
нагрузки
∈x
0
в некотором частотном диапазоне
]1,0[
)(),(
fxw
в точке приложения
30
].,[
κκ
21
Сформулированные задачи об определении комплексной функции
),( κi
представляют собой обратные коэффициентные задачи, являются
нелинейными и некорректными и требуют специальных приемов при решении.
Для построения операторных соотношений в ОЗ рассмотрим слабую
постановку задачи. Пусть
— гладкая, сопряженная к
w
Умножим уравнение (3.7.1) на нее и проинтегрируем по отрезку
),( κ
[21].
]1,0[
. То-
),(
гда имеем
1
′′
κ
0
′′
κ
1
4
∫∫
0
).,(),(),(),()),(),((
κ=κκκ−κ
xvqdxxvxwdxxvxwixG
00
Осуществляя в левой части последнего равенства интегрирование
по частям, получим базовое равенство
′′
κ
1
∫
0
′
κ
κ+
1
0
′′
′′
κ
′′
κ−κ
4
′
κ
1
+κ
),(),(),(),()),(),(( xvxwixGxvxwixG
0
(3.7.2)
).,(),(),(),(),(),(
κ=κκκ−κ
xvqdxxvxwxvxwixG
00
Полагая для задач 1 и 2 в (3.7.2)
получим
′′
κ ),1(),1(),1(),1()),1(),1(( wwiGwwiG
′
κ
1
∫
0
κ+
′′
κ−κ
′′
κ
′
κ
′′
+κ
4
Используя граничные условия для задачи 1 и полагая
1
′′
1
∫
0
κ+κ
′′
κ
4
Для задачи 2 аналогично имеем
1
′′
2
∫
0
κ+κ−
′′
κ
4
,),(),( κ=κ xwxv
,0
=q
0
.0)),(),(),(),(),(()(
=κκκ−κ
dxxwxwxwxwixGf
=κκκ−κ
dxxwxwxwxwixGf
′
=κ ww
получим
.0)),(),(),(),(),(()(
κ=κκκ−κ
xwdxwxwwxwixG
0
(3.7.3)
(3.7.4)
,0),0(),0( =κ
.),(),1(),(),1(),(),(
159
Модуль 3. Нелинейные обратные задачи
κ
xwix
G
ε
+
ε
κκ∈
κ
κκ∈
κ
Для задачи 3 выполняется
,),(),( κ=κ xwxv
0),1(),0( =κ=κ ww
из
уравнения (3.7.2); с учетом этого получим (для простоты далее считаем
1
=q
)
0
1
′′
∫
0
κ
′′
κ
4
.)()),(),(),(),(),((
κ=κκκ−κ
fdxxwxwxwxwixG
3
(3.7.5)
Итак, далее рассмотрим общее нелинейное операторное уравнение, свя-
зывающее функции
1
′′
∫
0
κ
].,[
κκ∈κ
21
κ
κ
′′
Пусть известно некоторое начальное приближение
:),(),,(
4
,)()),(),(),(),(),((
κ=κκκ−κ
fdxxwxwxwxwixG
(3.7.6)
),(
κixG
0
решения
уравнения (3.7.6). Используем метод Ньютона для нахождения следующего
приближения, с этой целью осуществим процедуру линеаризации [9]. Чтобы получить линейные уравнения для определения поправок, представим
искомые функции в виде
),,(),(),(
κε+κ=κ ixgixgixg
),,(),(),(
κ
),,(),(),(
κε
10
),,(),(),(
κ
где
10
+κ=κ ixhixhixh
10
κ=κ ixGixGixG
+κ=κ xwxwxw
10
ε
— формальный параметр; подставим эти представления в (3.7.6)
и, осуществляя процедуру линеаризации, получим
1
′′
∫
0
κ
′′
κ
001
,)()(),(),(),(
kffdxxwxwixG −κ=κ
0
].,[
21
Если априори известно, что неоднородность расположена на отрезке
],[
xx
(задача 3), то соотношение типа (3.7.7) преобразуется к виду
21
x
2
′′
∫
x
1
κ
′′
κ
−κ=κ
,)()(),(),(),(
kffdxxwxwixG
0001
].,[
21
Таким образом, используя слабую постановку задачи, удалось сформу-
(3.7.7)
(3.7.8)
лировать комплексные операторные соотношения, связывающие заданные
и искомые поправки, которые являются интегральными уравнениями
Фредгольма 1-го рода относительно неизвестных функций первого приближения. Отделяя вещественную и мнимую части в (3.7.8), можно по-
160
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]