Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Обратные и некорректные задачи. Учебник
.pdf
Контрольные вопросы и задачи для самостоятельного решения к разделу 3
−
−
xssxК
ε
δ
N
xxx
+
=
=
δ
=
ε
=
=
δ
=
ε
Контрольные вопросы и задачи для самостоятельного
решения к разделу 3
1. На основании метода Тихонова постройте линейную алгебраическую
систему нормальных уравнений для системы из примера 1 п. 1.5. Решите
ее для различных значений параметра
3
=δ
,10
5
,10
10−
Постройте
.10
график зависимости
),(δα
если выбор осуществлять согласно критерию
невязки.
2.
На основании метода Тихонова построить соответствующее операторное
уравнение для операторов Фредгольма 1-го рода со следующими ядрами:
а)
);(sin),(
б)
в)
)2cos(),(
=
на отрезке
3.
Постройте численно первые пять сингулярных чисел операторов из пре-
2
);(cos),(
xssxК =
2
xssxК =
].1,0[
дыдущего задания. Исследуйте зависимость сингулярных чисел в зависимости от интервала, на котором задан интегральный оператор.
С использованием изложенных в п. 1.7 алгоритмов осуществите проце-
4.
дуру численного вычисления с заданной точностью
],[ ba
вого и второго порядков на отрезке
для функций, приведенных
производных пер-
ниже. Зашумление порядка
точных значений функций осуществите
«искусственно», как указывалось выше. При использовании сплайнфункций в качестве дополнительной информации задайте значения вто-
],,[ ba
рых производных на концах отрезка
что приведет к изменению
последних двух уравнений в системе вида (1.7.9).
Проведите анализ полученных результатов в зависимости от числа разбиений
в сплайн-методе. Решите поставленную задачу без регуляризации (произвольно задавая шаг в выражениях (1.7.2) и (1.7.6)), проанализируйте результаты. Определите диапазоны изменения параметров
ε
и ,δ при которых осуществляется нахождение производных:
а)
,lnsin)(
y
б)
=
2
,0=a ,5
,sin)(
xxxy +=
,1=a
b
,10
b ,001.0
,001.0
;01.0
;01.0
91
Модуль 1. Прямые и обратные задачи. Понятие о некорректных задачах
=
δ
=
ε
=
δ
=
ε
=
=
δ
=
ε
=
=
ε
=
δ
x
F
=
α
в)
xy
)(
+
x
,
2
)2(
,1−=a
,2=b
,001.0
;01.0
=
1
1
,
г)
cos)(
xxy +=
,1=a
,10=b
,001.0
;01.0
x
д)
,
е)
,)(
5.
Определите коэффициенты дифференциального оператора второго по-
2
sin)(
1 x
+
exy
=
1
+=
xxxy
x
,1=a ,10
+
1
,1=a
b ,001.0
,10=b
δ
;01.0
,001.0
01.0
.
рядка
&
если функция
,
fycyc =+
021
)(xy
задана таблично с точностью ,001.0
0
.1
=f
y
1.17035 0.94932 0.8012 0.70189
1 2 3 4
Указания к выполнению задания 5
По заданным значениям функции вычислить значения производных; удовлетворить дифференциальному уравнению в наборе точек
{}
.
x
i
1=i
4
пользоваться методом наименьших квадратов для нахождения коэффи-
,1c
c
циентов
6.
Почему при решении интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода
(ответ: точные значения коэффициентов
2
,5
=c
1
2
=c
2
с гладким ядром нельзя использовать методы, основанные на идее метода наименьших квадратов (минимизирующие невязку
Зависит ли эффективность алгоритма регуляризации от количества раз-
7.
],,[ ba
биений отрезков
8.
Как изменятся результаты численного решения уравнения (1.9.1), если
в методе Тихонова положить
],[ dc
в методе Тихонова?
0
?
][
fAuuJ −=
Вос-
).
2
)?
92
Тест рубежного контроля к разделу 3
)
++≤
++≤
+
+
<++
≤
x
T
x
x
x
=
π
=
π
π
π
Тест рубежного контроля к разделу 3
1. Множество ограничений для
имеет вид...
а)
б)
};0,0,0,0{
в)
};0,0,0,0{
г)
2.
Сингулярное разложение оператора
ляющего функции
<≤≤ aaaaaca
>≤≤ aaaaaca
≥<≤≤ aaaaaca
<≤≤ aaaaaca
)(
ϕ
функцию
начально-краевой задачи
,
auu =
u ϕ=
xxt
),()0,(
xx
,0),(,0),0( == tlutu
имеет вид...
∞
а)
,),(
б)
,),(
в)
г)
∑
n
=
n
∞
∑
n
=
n
∞
∑
n
2
e
=σ
n
∞
∑
n
2
e
=σ
n
0
=
0
=
0
=
()
π−
0
=
()
π
ϕϕσ=ϕ
fA
где
nnn
2
),cos( nxf
=σ
n
ϕϕσ=ϕ
fA
nnn
2
),sin( nxf
ϕϕσ=ϕ
2
aTn
;
ϕϕσ=ϕ
2
aTn
.
n
e
=σ
,),(
fA где
nnn
,),(
fA
nnn
()
π−
e
где
()
π−
где
2
aTn
2
aTn
)1,0(
210120
u
1
∫
0
функции
};0,0,0,0{
>
>
210120
210120
210120
),(
>
}.0,0,0,0{
и находящегося из решения
cM↓
n
)( xaxaaxu ++=
],,0[],0[:
lLlLA →
22
сопостав-
⎧
,)cos()(),(
ξξπϕ=ϕϕ
dnxc
=
c
⎨
⎩
2
210
,0,1nn
,0,2
≠
;
1
,)sin()(),(
ξξπϕ=ϕϕ
n
;
n
n
∫
0
1
∫
0
1
∫
0
dnxc
,)cos()(),(
ξξπϕ=ϕϕ
dnx
,)cos()(),(
ξξπϕ=ϕϕ
dnx
⎧
=
c
⎨
⎩
=
n
=
n
,0,1nn
,0,2
≠
),cos( nxf
),cos( nxf
93
Модуль 1. Прямые и обратные задачи. Понятие о некорректных задачах
{
=
−
=
α
===
===
−==
=
−==
=
π
s
sxsxK
=
π
s
sxsxK
=
π
3.
Если с точностью
}
наборе точек
x
n
=
001.0=δ
известны значения функции в дискретном
,
+
1Nn
,1hxx
nn
h
,1.0
то максимальная точность
определения значений ее производной составляет...
0.02;
а)
0.001;
б)
0.01;
в)
0.1.
г)
Критерий оценки:
раздел считается зачтенным, если обучающийся дал
правильные ответы не менее чем на 66 % тестовых заданий.
Модуль считается зачтенным, если зачтено 100 % его разделов.
Проектное задание к модулю 1
На основе представленного в п. 1.9 регуляризирующего алгоритма
на основе метода Тихонова для уравнения Фредгольма 1-го рода с гладким
ядром найти приближенное решение
уравнению (1.9.1), для одного из вариантов, указанного преподавателем:
а)
),(sin),(
2
xssxK =
=
т
1
sxK
,
б)
=
),(
++
2
sx
)(1
=
т
u
, удовлетворяющее интегральному
,2su
,2su
;2,0,1,0 =
dcba
dcba
;1,0,1,0 =
94
в)
г)
,),(
,),(
xs
esxK =
xs
sesxK =
e
д)
,
sxK
=
),(
+
),1ln()sin(),( ++=
е)
),1ln()sin(),( ++=
ж)
,))(sin(),(
з)
sx
sx
т
т
2
)(
т
,12su
+=
2
=
),1(ln1
++= su
),sin(su
,,0 π=
=π== dcba
;1,1,1,0 =
dcba
;1,1,1,0 =
dcba
;,
2
π
т
),sin(su
,,0
,
−=π== dcba
2
;
=
2
π
т
2
xssxsxK +=
=
т
),(cos2su
),cos(su
,0,,0
;
==π== dcba
2
π
;
,,0
,
−=π== dcba
2
=
2
Проектное задание к модулю 1
π
sxsxK
π
sxsxK
π
sxK
x
f
sxK
j
=
α
α
α
и)
2
,))(cos(),(
xssxsxK +=
=
т
),(sin2su
,,0
π
,
−=π== dcba
2
π
к)
л)
),sin(),(
),cos(),(
=
=
т
,3su
=
т
;
32
,1
sssu
+++=
,,0
,,0
,
−=π== dcba
2
π
,
−=π== dcba
2
Указания к выполнению проектного задания
Ввести ядро
1.
му решению
2.
Произвести разбивку отрезков
вующие узлы
По формулам (1.9.5)–(1.9.7) заполнить матрицу и правую часть сис-
3.
),(
и вычислить
.тu
,ix
)(
по заданным
],[ ba
,
mi ...,,1=
и
s
,
j
],[ dc
, определив соответст-
....,,1 n
),(
и точно-
темы (1.9.8).
Задать начальное приближение
4.
регуляризации
,ε
точность задания правой части δ и оператора .h
и точность вычисления параметра
0
;
=
2
=
2
.
=
2
Осуществить автоматический выбор параметра регуляризации
по обобщенной невязке по изложенному выше алгоритму, предварительно решая для каждого задаваемого
определяется вектор
.αu
систему (1.9.8), из которой
95
Модуль 1. Прямые и обратные задачи. Понятие о некорректных задачах
Литература к модулю 1
Источники [1–3, 5, 9, 15, 17, 24, 26, 28,–30] составляют основную литературу.
Алифанов О. М., Артюхин Е. А., Румянцев С. В. Экстремальные методы
1.
решения некорректных задач. — М.: Наука, 1988. — 288 с.
Бакушинский А. Б., Гончарский А. В. Некорректные задачи. — М.: МГУ,
2.
1989. — 200 с.
Бухгейм А. Л. Введение в теорию обратных задач. — Новосибирск:
3.
Наука, 1988. — 184 с.
Ватульян А. О. Математические модели и обратные задачи // Соросов-
4.
ский Образовательный Журнал. 1998. № 11. — С. 143–148.
Ватульян А. О. Обратные задачи в механике деформируемого твердого
5.
тела. — М.: Физматлит, 2007. — 224 с.
Владимиров В. С. Обобщенные функции в математической физике. —
6.
М.: Наука, 1976. — 280 с.
Ворович И. И., Лебедев Л. П. Функциональный анализ. — М.: Вузов-
7.
ская книга, 2000. — 316 с.
Гладков Л. А., Курейчик В. В., Курейчик В. М. Генетические алгорит-
8.
мы. — 2-е изд. — М.: Физматлит, 2006. — 320 c.
Денисов А. М. Введение в теорию обратных задач. — М.: Изд-во МГУ,
9.
1994. — 208 с.
Завьялов Ю. С., Квасов Б. И., Мирошниченко В. Л. Методы сплайн-
10.
функций. — М.: Наука, 1980. — 352 с.
11.
Кабанихин С. И. Проекционно-разностные методы определения коэффици-
ентов гиперболических уравнений. — Новосибирск: Наука, 1988. — 168 с.
Кеч В., Теодореску П. Введение в теорию обобщенных функций с при-
12.
ложениями в технике. — М.: Мир, 1978. — 520 с.
Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассея-
13.
ния. — М.: Мир, 1987. — 312 с.
Кравчук А. С. Основы компьютерной томографии. — М.: Дрофа, 2001. —
14.
240 с.
Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные за-
15.
дачи математической физики и анализа. — М: Наука, 1980. — 286 с.
96
Литература к модулю 1
16.
Латтес Р., Лионс Ж.-Л. Метод квазиобращения и его приложения. —
М.: Мир, 1970. — 336 с.
Люстерник Л. А., Соболев В. И. Краткий курс функционального анали-
17.
за. — М.: Высшая школа, 1982. — 272 с.
Мейз Дж. Теория и задачи механики сплошных сред. — М.: Мир,
18.
1974. — 319 с.
Мизохата С. Теория уравнений с частными производными. — М.: Мир,
19.
1977. — 504 с.
20.
Морозов В. А. Регулярные методы решения некорректных задач. —
М.: Наука, 1987. — 240 с.
Наттерер Ф. Математические аспекты компьютерной томографии. —
21.
М.: Мир, 1990. — 280 с.
Ниренберг Л. Лекции по нелинейному функциональному анализу. —
22.
М.: Мир, 1977. — 232 с.
Новацкий В. Теория упругости. — М.: Мир, 1975. — 872 с.
23.
Романов В. Г. Обратные задачи математической физики. — М.: Наука,
24.
1984. — 264 с.
Садовничий В. А. Теория операторов. — М.: Изд-во МГУ, 1986. — 368 с.
25.
Самарский А. А., Вабищевич П. Н. Численные методы решения обратных
26.
задач математической физики. — М.: Едиториал УРСС, 2004. — 480 с.
Самарский А. А., Михайлов А. П. Математическое моделирование. —
27.
М.: Физматлит, 2001. — 320 с.
Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. —
28.
М.: Наука, 1986. — 287 с.
29.
Тихонов А. Н., Гончарский А. В., Степанов В. В., Ягола А. Г. Численные
методы решения некорректных задач. — М.: Наука, 1990. — 230 с.
Треногин В. А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1980. — 496 с.
30.
Треногин В. А., Писаревский Б. М., Соболева Т. С. Задачи и упражнения
31.
по функциональному анализу. — М.: Наука, 1984. — 256 с.
32.
Яхно В. Г. Обратные коэффициентные задачи для дифференциальных
уравнений упругости. — Новосибирск: Наука, 1990. — 304 с.
Bui H. D. Inverse Problems in the Mechanic of Materials: An Introduc-
33.
tion. — CRC Press, Boca Raton, FL, 1994. — 224 p.
Isakov V. Inverse problems for PDE. — N.Y.: Springer-Verlag, 2005. —
34.
284 pp.
97
Модуль 2. Линейные обратные задачи
x
Модуль 2. Линейные обратные задачи
Комплексная цель
ратных задач для дифференциальных операторов (обыкновенных и в частных
производных), возникающих в различных областях естествознания. Приведены
способы формулировки операторных уравнений и методы численного исследования таких задач.
В настоящем модуле рассматриваются простейшие ОЗ, приводящие к линейным операторным уравнениям [3, 10, 13, 14]. К числу таких задач относятся
во-первых, задачи для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений
(далее ОДУ), связанные с определением правой части дифференциального оператора. К таким же проблемам приводят задачи определения сил, плотности источников тепла в одномерных структурах. Ко второму классу линейных ОЗ относятся ретроспективные задачи об определении начального распределения
температуры или концентрации для
третий тип линейных задач составляют граничные ОЗ для эллиптических и параболических операторов [4–8]. Общим для таких задач является то обстоятельство, что они являются некорректными и приводят к линейным операторным
уравнениям с вполне непрерывными операторами. Поскольку обычно в этом
настоящего модуля состоит в изучении линейных об-
уравнений параболического типа. Наконец,
,
случае построение операторных уравнений не вызывает трудностей,
внимание в настоящем модуле уделено реализации различных регуляризующих
подходов при обращении линейных операторных уравнений. Рассмотрим последовательно эти классы задач и методы их исследования.
то основное
2.1. Линейные обратные задачи для обыкновенных
дифференциальных уравнений
ОЗ для линейных дифференциальных операторов, являясь достаточно
простыми, несут в себе некоторые характерные особенности, присущие всем
ОЗ для дифференциальных операторов. Начнем знакомство с простейшего
класса — определения правой части линейного ОДУ по известному решению этого уравнения. Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1
Движение материальной точки массы m под действием силы
сывается дифференциальным уравнением второго порядка
)(tF
опи-
&&
m =
98
),(tF
(2.1.1)
2.1. Линейные обратные задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений
=
t
x
l
x
f
x
k
x
p
для которого формулируются данные Коши
&
,)0(
xx =
0
.)0(
vx
0
(2.1.2)
Предположим, что известна
)(
и требуется найти силу
),(tF
под дейст-
вием которой осуществляется такое движение. Казалось бы, что решение та-
кой задачи сводится к двукратному дифференцированию заданной функции,
однако если эта функция задана в дискретном наборе точек, возникают оп-
ределенные трудности.
Значительно более сложной является ОЗ об определении правой части
в уравнении (2.1.1), если она зависит и от времени
и от переменной x (о та-
кой нелинейной ОЗ речь пойдет ниже в модуле 3).
Пример 2
Стационарное распределение температуры описывается уравнением
d
dx
⎛
⎜
⎝
du
dx
⎞
⎟
=−
⎠
xk
)()()()( xfxuxp
(2.1.3)
с граничными условиями
,0)0( =u
u
.0)( =
(2.1.4)
В этой задаче требуется определить плотность распределения источни-
ков тепла — функцию
и заданной функции
)(
— при известных коэффициентах
).(xu
),(
)(
Представленные примеры задач об определении правых частей для линейных дифференциальных операторов 2-го порядка представляют собой
частный случай общей ситуации для дифференциального оператора n-го порядка. Решение таких задач в случае точно заданных данных находится аналитически при помощи применения операторов дифференцирования к заданным функциям и не представляет
никаких трудностей; оно существует
для любых достаточно гладких функций и единственно. В то же время,
в предыдущем модуле было определено, что оператор дифференцирования
является неограниченным и задача определения решения при помощи вычисления значений такого оператора является некорректной при неточно заданной исходной функции. При численной реализации процедуры дифференцирования для
нахождения решения представленных выше задач в случае неточно заданной входной информации (или заданной в некотором конечном числе точек, что соответствует дискретному во времени или по координатам съему данных) требуется регуляризация. Способы вычисления
99
Модуль 2. Линейные обратные задачи
соответствующих дифференциальных операторов на сеточных функциях
подробно описаны в п. 1.7.
Альтернативой такому подходу является предварительное сведение зада-
чи к обращению операторного уравнения Вольтерра 1-го рода и последующее его обращение на основе регуляризованной процедуры, представленной
в п. 1.10.
Линейные обратные задачи для уравнений
в частных производных
Целью пп. 2.2–2.7 является изучение линейных ОЗ для дифференциаль-
ных уравнений в частных производных. Такие ОЗ для уравнений в частных
производных состоят из двух больших классов — ретроспективные ОЗ
и граничные ОЗ. Здесь будут изложены основные особенности таких задач,
а также способы их исследования.
2.2. Ретроспективные обратные задачи. Постановка
ретроспективной задачи первого типа и ее решение на основе
метода сингулярных разложений
Обратные ретроспективные задачи имеют важные приложения во многих
областях знания при идентификации различных динамических объектов, для
которых по некоторой информации о характеристике поля в текущий момент требуется установить начальное его состояние или состояние
в предшествующий момент [6, 10, 14, 15].
В математической физике наиболее актуальны и важны постановки рет-
роспективных ОЗ для уравнений параболического
вающих пространственно-временное распределение температуры и концентрации, и гиперболического типа, описывающих колебания. Кроме того, основные методы исследования задач для таких постановок могут быть с успехом применены для более сложных связанных моделей, например для моде-
типа — моделей, описы-
лей термоупругости. Для представленных в настоящем параграфе моделей,
в основном
типа, обращение временных зависимостей представляет наибольшую трудность. Соответствующие операторные уравнения, связывающие начальные
условия и текущие значения полей, оказываются линейными и вполне непрерывными. Обращение соответствующих операторных уравнений приво-
100
опирающихся на постановки для операторов параболического
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]