Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Обратные и некорректные задачи. Учебник
.pdf
2.2. Ретроспективные обратные задачи. Постановка ретроспективной задачи первого типа
x
x
xfT
x
l
x
x
T
xfT
x
l
x
l
дит к задаче обращения вполне непрерывных операторов, соответственно,
к линейным некорректным задачам, требующим регуляризации. При этом
наиболее часто используется метод регуляризации Тихонова [13, 18, 19, 20],
метод усеченных сингулярных разложений [6] и предложенный относительно недавно Р. Латтесом и Ж.-Л. Лионсом метод квазиобращения [10, 15].
Ретроспективные ОЗ для уравнений параболического типа имеют не-
сколько видов постановок
, основанных на анализе начально-краевых задач
для уравнения теплопроводности при разных способах измерения температуры. Наиболее детально проанализированы различные виды ретроспективных ОЗ в монографиях [10, 15].
В качестве модельных примеров таких задач рассмотрим следующую на-
чально-краевую одномерную задачу для уравнения теплопроводности [6, 10]:
2
θ∂
2
x
∂
θ∂
∂
x
θ∂
1
=
,
ta
∂
θ∂
∈
,0),(),0( =
].,0[
(2.2.1)
=
t
∂
ϕ=θ
=θ
tl
x
),()0,(
),(),(
Сформулируем для (2.2.1) несколько постановок ретроспективных ОЗ.
При этом основной целью будет обращение временных зависимостей, в частности необходимо будет найти начальное распределение температуры
)(
ϕ
по некоторой информации о следах поля температур на некоторых
множествах, при этом будем различать следующие две наиболее употребительные постановки ОЗ.
Известно поле температур в стержне в некоторый момент времени
1.
:0>
=θ
2.
Известно поле температур в некоторой точке
ка
0
),(),(
∈
],0[
):
,)(),(
tgtx =θ
].,0[
x
внутри среды (отрез-
0
].,[
ttt ∈
21
С точки зрения постановки эксперимента и наблюдения за ОИ вторую
постановку осуществить проще, выполняя измерение температуры в одной
точке в некотором временном промежутке, однако сравнительный анализ
постановок задач позволяет выявить некоторые особенности реконструкции
101
Модуль 2. Линейные обратные задачи
x
T
t
xfT
x
l
x
tTxXt
x
=
λ
+
λ+λ
=
=λλ
π
l
l
x
∈
начального условия, весьма важные для постановки эксперимента и последующей процедуры реконструкции.
Исследуем первую постановку.
Итак, поставим задачу о нахождении начального распределения темпера-
тур
)(
ϕ
по информации об этом поле в некоторый момент времени
=θ
),(),(
∈
].,0[
(2.2.2)
Для исследования ОЗ построим соответствующие операторные уравне-
ния, позволяющие связать заданные и искомые функции. Построим решение прямой задачи, используя метод разделения переменных [8, 10] и отыскивая решение в виде
&
1
const
чим
X
′′
θ
2
,
λ−===
откуда выводим ОДУ
.)()(),(
Разделяя переменные, полу-
2
′′
XX
0
=
и опреде-
TTaX
ляем общее решение в виде
ные условия, находим
=C
2
,0
1
lC
21
и, следовательно, определяем
0sin
собственные значения и собственные функции:
2
a
λ−
n
eCT
= Удовлетворяя начальным условиям, определим неизвестные
nn
постоянные
l
C
2
∫
l
0
.
C
:
n
l
ξξλξϕ=
d
,cos)(
nn
...,,2,1=n
C
1
0
∫
l
0
d
Используя гранич-
.sincos
xCxCX
n
X
,
=λ
n
.)(
ξξϕ=
l
n
nx
π
=
:0>=
,cos
Таким образом, решение прямой задачи имеет вид
l
ξξϕξ=θ
dtxKtx
,)(),,(),(
∫
0
(2.2.3)
где
∞
),,(
txK
∑
ll
1
n
=
ξλλ+=ξ
nn
21
at
λ−
n
ex
.coscos
(2.2.4)
Соотношение (2.2.4) позволяет определить поле температур в любой мо-
мент времени в произвольной точке стержня, если задано начальное распределение температуры.
Перейдем к постановкам ОЗ. На основании формул (2.2.3)–(2.2.4) ОЗ при
удовлетворении дополнительного условия (2.2.2) сводится к интегральному
уравнению Фредгольма 1-го рода
1
),()(),(
11
∫
0
xfdxKK =ξξϕξ=ϕ
],,0[
(2.2.5)
102
2.2. Ретроспективные обратные задачи. Постановка ретроспективной задачи первого типа
=
ξ
[
=
=
ξ
ξ
−
λ
ϕ
x
ϕ
x
f
k
x
f
ξ
причем
ξ
1
ричным, а оператор
функции ядра — ,1
систему в
2
λ−
2
=σ
n
2 nc
=σ
n
aT
n
e
−
e
[]
n
,
22
,
,,02lL
π
K
а сингулярными числами оператора
aTlc
.),,(),(
TxKxK ξ
Отметим, что ядро
ϕ
— самосопряженным в
1
— представляют собой полную ортогональную
x
λcos
n
...,,2,1,0
быстро убывающие при
222 −
.
В силу оценки
1
1
),(
xK
),(
xK
является симмет-
]
.,02lL
Собственные
K
являются
1
,∞→n
поскольку
∞
21
+≤ξ
∑
ll
n
2
λ−
n
e
1
=
aT
и схо-
димости ряда в правой части этого неравенства в соответствии с теоремой
Вейерштрасса [10] ядро
1
цию, следовательно, оператор
из
[]
lL ,0
2
в
[]
,,02lL
поэтому
),(
xK
представляет собой непрерывную функ-
),(
xK
1
1
K
неограничен и задача решения оператор-
1
является вполне непрерывным
ного уравнения (2.2.5) требует регуляризации. Заметим, что, используя ортогональность системы
{}
нетрудно выписать формальное реше-
,cos,1 x
n
ние (2.2.5) с помощью линейного оператора вида
l
*
1
∫
0
ξξξ=ϕ
dfxKx
,)(),()(
где
∞
),(
xK
21
∑
ll
1
n
=
nn
поскольку коэффициенты Фурье
2
at
λ−
n
ξλλ+=ξ
ex
,coscos
и
f
k
функций
k
)(
и
)(
соответст-
венно связаны зависимостью
2
,
f=σϕ
kkk
...,1,0=
Анализируя представление (2.2.6)–(2.2.7), заметим, что для сходимости
ряда в представлении для
2
aT
λ
n
тущих множителей
e
)(
ϕ
в силу наличия у его элементов быстро рас-
необходимо требовать выполнения довольно
жестких условий для характера убывания коэффициентов Фурье
условие выполняется далеко не для всех функций из
[]
,,02lL
даже беско-
(2.2.6)
(2.2.7)
(2.2.8)
.kf
Это
нечно дифференцируемых. Таким образом, нельзя использовать формальное решение (2.2.7) для практических расчетов, когда функция
)(ξ
задана
в некотором конечном наборе точек. Такая структура решения отражает
факт неограниченности обратного оператора к
1
).,(
xK
103
Модуль 2. Линейные обратные задачи
N
(
)
−
ϕ−+
∞
N
NCNMN
+δ⋅
δ
N
ε
δ
ε
N
T
По-видимому, одним из наиболее эффективных способов построения ре-
гуляризованного решения (2.2.5) является метод усеченных сингулярных
разложений (п. 1.6), согласно которому это решение имеет вид
l
1
)(
fRx
∫
l
0
df
)(
l
N
2
∑
l
k
δδδδ
∫
1
=
0
nN
λξξλξ+ξξ==ϕ
2
aT
λ
n
xedf
n
,coscos)(
(2.2.9)
а число
ванным с погрешностью
(параметр регуляризации в данном случае) выбирается согласо-
δ
задания функции f
ff
δ
.δ≤
Найдем,
из каких условий оно определяется. Оценим погрешность в норме
N
причем
а
N
[] [] []
lL
N
[]
,0
2
N
N
⎛
⎜
+=
∑
⎜
n
⎝
=ϕ− представляет собой норму остатка сходящегося
lL
δδ
1
2
2
⎞
aT
λ
2
n
⎟
=
1
NCfR
⎟
⎠
)(
lL
=
N
)(1
NMeR
монотонно возрастает с ростом ,N
−⋅≤ϕ−
ряда и, следовательно, стремится к 0 при
fRffRfR
→
,
,0,0,0
lL
222
.
Таким образом, погрешность регуляризованного решения оценивается
через величину
ся
доставляющее минимум
),(
δN
*
m
=δ
решение ОЗ с погрешностью, не превышающей ,
грешность задания входных данных
)()(),(
и по заданному δ всегда найдет-
m
).,(
Если необходимо построить
при условии, что по-
,
то порядок величины N таков:
:],0[2lL
ε
⎞
⎛
1
−
сN
=
,ln
⎟
⎜
δ
⎠
⎝
−
π=
отношениях между параметрами
лого
не существует, соответственно, необходимой точности решения
5.01
aTlс
.)(
Кстати отметим, что при определенных со-
и δ может так случиться, что такого це-
при заданной погрешности входных данных достигнуть невозможно. Отметим решающую роль параметра ,с характеризующего скорость убывания
сингулярных чисел, в исследовании задачи. С ростом времени наблюдения
величина с тоже растет, и начиная с некоторого момента изменение
текущей температуры становится значительно меньше погрешности ее измерения, температура выравнивается, стремясь к равновесному состоянию,
и определить начальное ее распределение становится невозможно.
Замечание 1
Для операторного уравнения (2.2.5) легко показать единственность ре-
шения и, соответственно, единственность решения сформулированной ОЗ.
104
2.3. Решение обратных задач первого типа на основе метода квазиобращения
t
T
−=τ
θ=τ
T
v
x
x
xfx
xTx
ϕ
=
x
f
x
f
Замечание 2
В принципе для решения поставленной ретроспективной задачи доста-
точно сделать замену переменных ,
где T — известное время на-
блюдения ОИ, и решить задачу с обращенным временем. Соответствующая
)()( τ−
начально-краевая задача относительно функции
2
ν∂
2
∂
x
ν∂
∂
Для определения
ν∂
1
−=
,
τ∂
a
ν∂
=τ
l
,0),(),0( =τ
∂
=ν
).()0,(
ν
)(),(
— температуры стержня в момент T —
имеет вид
(2.2.10)
необходимо решить начально-краевую задачу (2.2.10). Таким образом, искомая функция находится либо из уравнения Фредгольма 1-го рода с гладким ядром (2.2.4), либо при непосредственном решении задачи (2.2.10) методом разделения переменных в виде ряда. Члены этого ряда, согласно
(2.2.9), содержат экспоненциально растущие сомножители, и для его сходимости нужны очень жесткие ограничения
на функцию
)(
в виде очень
быстрого убывания коэффициентов ее ряда Фурье. Отметим, что даже бесконечная дифференцируемость функции
)(
не гарантирует сходимости
этого ряда. Исследование вопроса, каким иным образом можно придать
смысл такому решению, будет проведено в следующем параграфе.
2.3. Решение обратных задач первого типа на основе метода
квазиобращения
Помимо методов регуляризации, описанных в модуле 1, имеются и другие, применимые к конкретным некорректным задачам. Например, в ряде
подходов регуляризация состоит в возмущении постановки исходной задачи
таким образом, чтобы восстановить непрерывность при построении обратного оператора. К таким методам относится метод квазиобращения, основанный
на построении обратного оператора при помощи метода возмущений
Метод квазиобращения является эффективным способом построения
регуляризующего алгоритма, основанного на переходе от задачи (2.2.10),
.
определяющей обратный оператор в ретроспективной задаче, к возмущенной задаче для дифференциального уравнения в частных производных более высокого порядка, содержащего малый параметр при старшей произ-
105
Модуль 2. Линейные обратные задачи
l
x
<
<
T
≤τ≤
T
≤τ≤
T
≤τ≤
xfx
l
x
≤
≤
=
tTxΧt
x
⋅=ν
ϕ
водной [10, 15]. Этот метод, предложенный Р. Латтесом и Ж.-Л. Лионсом,
также относится к числу эффективных способов построения аналитического решения некорректных задач.
В качестве примера решения некорректной задачи рассмотрим возмущен-
ную краевую задачу для оператора 4-го порядка, соответствующую (2.2.10):
1
−
a αν−ν−=ν
τ
,
xxxxxx
,0
,0
,0),(),0( =τν=τν l
,0),(),0( =τν=τν l
где
xx
xxxxxx
=ν
α
— малый положительный параметр, играющий в данной ситуации роль
),()0,(
параметра регуляризации, исходная задача получается из (2.3.1) при
,0
(2.3.1)
,0
,0
α
.0
Отметим, что, помимо возмущения дифференциального оператора, который
имеет четвертый порядок, необходимо добавить дополнительные граничные
условия. При этом на практике эти условия выбираются таким образом, чтобы можно было легко осуществить разделение переменных и построить решение возмущенной задачи. Решение задачи (2.3.1) строится с помощью метода разделения переменных аналогично изложенному в
графе. Будем искать решение в виде
22
ta
)1(
αλ−λ
nn
,)(
ξξ=
df
удовлетворяя начальным
C
X
π
=
n
2
nx
,cos
далее определим ,
l
l
ξξλξ=
df
,cos)(
∫
l
0
nn
...,,2,1=n
C
eCT
= где
nn
l
1
0
∫
l
0
предыдущем пара-
.)()(),(
Находя, как и ранее
π
n
=λ
.
n
Находим
l
условиям, и окончательно имеем выражение для закона изменения температуры в виде линейного интегрального оператора Фредгольма
l
,)(),,(),(
ξξτξ=τν
*
∫
0
∞
xК
),,(
21
∑
ll
1
n
=
Проанализируем построенное решение. Обозначим
dfxKx
22
.)cos()}1(exp{)cos(
λαλ−τλξλ+=τξ
xa
nnnn
α
кажем, что при определенных предположениях функцию
ϕ
α
(2.3.2)
.),()( Txvx =
По-
можно
)(x
рассматривать в качестве приближенного решения задачи с обратным направлением времени (2.2.10), представленной в п. 2.2. Эта задача приводит
к решению уравнения Фредгольма 1-го рода с гладким ядром
.
fK =ϕ
1
(2.3.3)
106
2.4. Ретроспективная задача второго типа и ее исследование
[
[
[
∈
[
∈
=
{
α
[
[
α
Будем считать, что оператор
K
действует из
1
]
lL ,0
2
в
[]
lL ,0
2
. Рассмот-
рим задачу решения уравнения (2.3.3) в случае приближенно заданной правой
части
ния (2.3.3)
).( xf
Пусть для функции
δ
[]
2
сто нее заданы функция
.
ff
δ
[]
2
δ≤−
,0
lL
∈
.,0)(
lLx ∈ϕ
Далее, предположим, что
]
lLxf ,0)(
δ
2
и величина погрешности ,δ такие что
]
lLxf ,0)(
2
существует решение уравне-
)(xf
неизвестна, а вме-
(2.3.4)
В этом случае использовать в качестве приближенного решения задачи
1
−
функцию
11−
,
K
во-первых, определен не для всех
δ
=ϕ fK
1 δ
,
т. е. применять формулу (2.2.6), нельзя, поскольку
]
lLxf ,0)(
δ
2
, а во-вторых, не яв-
ляется непрерывным. Оказывается, что построенное методом квазиобращения решение (2.3.2) может быть использовано при решении этой проблемы.
,αR
Рассмотрим семейство линейных операторов
новании формулы (2.3.2), а именно
l
1
fR
α
∫
l
0
+ξξ=
df
)(
l
∞
2
∑
∫
l
1
n
=
0
α
определяемых на ос-
.),( TxvfR
Из нее следует, что
22
}
nnn
.)cos()1(exp)cos()(
λαλ−λξξλξ+
xTdf
n
(2.3.5)
Для любого
0>
оператор
R
определен на всем пространстве
α
и непрерывен, если его рассматривать действующим из
в силу сходимости ряда справа при любых
подходе функцию
=ϕ fRx)(
можно рассматривать в качестве прибли-
δαδ
.0>
Отметим, что при таком
[]
в
lL ,0
2
]
lL ,0
2
]
,,02lL
женного решения уравнения (2.3.3) [10].
Такая идеология построения оператора, заменяющего обратный к вполне непрерывному, оказывается весьма эффективной при решении многих
других линейных некорректных задач.
2.4. Ретроспективная задача второго типа и ее исследование
В настоящем параграфе рассматривается иная постановка ретроспективной задачи, поставленной в п. 2.2. Обсуждены различные аспекты второй постановки, в частности проблема единственности.
107
Модуль 2. Линейные обратные задачи
x
xtx
x
x
x
l
∈
Рассмотрим начально-краевую задачу для параболического уравнения
[2, 3]:
2
1
θ∂
2
∂
θ∂
∂
θ∂
=
,
ta
∂
θ∂
=
tl
,0),(),0( =
∂
).()0,(
ϕ=θ
Исследуем ретроспективную ОЗ во второй постановке: найти начальное
(2.4.1)
распределение температуры
,)(),(
tgtx =θ
где
0
x
— некоторая точка внутри отрезка
0
,],[
ttt ∈
21
ке датчика температуры внутри тела.
)(
ϕ
по информации
(2.4.2)
],0[
, что соответствует установ-
Воспользуемся решением прямой задачи в виде ряда, которое определя-
ется на основе формулы (2.2.4). Удовлетворяя условию (2.4.2), получим
)(ξϕ
для определения функции
стандартную некорректную задачу — инте-
гральное уравнение Фредгольма 1-го рода с гладким ядром [7, 9]:
l
22
∫
0
=ξξϕξ=ϕ
),()(),(
tgdtKK
],,[21ttt
(2.4.3)
где
∞
),(
tK
21
∑
ll
1
n
=
02
nn
В представлении ядра (2.4.4) точка
2
at
λ−
n
ξλλ+=ξ
ex
.coscos
— точка наблюдения (измерения
x
0
(2.4.4)
температуры), и ее выбор имеет очень большое значение при исследовании
вопроса единственности решения ОЗ. Отметим, что (2.4.3) — уравнение
с гладким ядром, ибо при
скольку мажорируется сходящимся рядом
ряд в (2.4.4) равномерно сходится, по-
0
>≥ tt
1
∞
2
),(
≤ξ
tK Итак, ядро
∑
l
n
=
2
ta
λ−
1
n
e
0
.
интегрального оператора в (2.4.3), в силу признака Вейерштрасса, есть непрерывная функция. Таким образом, рассматриваемая ОЗ сведена к проблеме решения уравнения Фредгольма 1-го рода с непрерывным ядром, которая рассмотрена выше, и требует регуляризации при решении. Отметим,
что оператор
в отличие от оператора
,1K
возникающего при исследо-
,2K
вании первой постановки ОЗ для уравнения теплопроводности, является
несамосопряженным. Обратим также внимание на то, что уравнение (2.4.3)
108
2.4. Ретроспективная задача второго типа и ее исследование
l
=
Φ
α
=
l
≡ξϕ
π
в рассматриваемом случае может иметь единственное решение, а может
и несколько. Оказывается, это в значительной степени зависит от точки
, в которой происходит измерение температуры. При этом воз-
],0[
0
lx ∈
можны различные ситуации [6, 10], отвечающие различным способам выбора точки измерения.
Рассмотрим случай, когда
1.
x
совпадает с одним из концов отрезка
0
],0[
(например,
Пусть
го переменного, где ядро
0
=x
0
. Введем
],[
ttt ∈
21
); покажем, что в этом случае решение единственно.
l
функцию комплексно-
,)(),()(
ξξϕξ=Φ
∞
∑
n
dzKz
2
λ−
az
n
ξλλ+=ξ
0
=
1
ex
nn
.coscos
Рас-
∫
0
),(
zK
21
ll
смотрим соответствующее (2.4.3) однородное интегральное уравнение
l
,0)(),(
=ξξϕξ
∫
0
dtK
],,[
ttt ∈
21
(2.4.5)
и выясним, имеет ли оно лишь тривиальное решение или нет. Возьмем параметр
тогда в полуплоскости
1
α>zRe
)(zΦ
—
,),0(
t∈α
аналитическая функция, так как она представима равномерно сходящимся рядом из аналитических функций. В области
;0)( =Φ z
тогда в силу теоремы о единственности продолжения ана-
литической функции
0)(
z
всюду в полуплоскости
.Re
>z
ttz ∈
21
От-
],[Re
сюда последовательно находим, что выполняются интегральные ус-
l
,0cos)(
=ξξλξϕ
ловия
{}
∫
0
cos,1
ξλ
полна на
n
d
n
],0[
, то
n
...,2,1,0
Так как система функций
0)(
на этом отрезке, и имеет место
единственность решения ОЗ.
2.
Пусть точка наблюдения отлична от конца стержня, например
Выясним, будет ли единственным образом восстановлено
.2
lx =
0
начальное распределение температуры в этом случае. Пусть функция
ξ
=ξϕ cos)(
характеризует начальное распределение температуры.
l
Тогда в соответствии с общим представлением (2.2.4) получим, что
следовательно, однородное уравнение
,0),(
=θ tx
0
109
Модуль 2. Линейные обратные задачи
t
=
σ
σ
l
,0)(),(
=ξξϕξ
∫
0
dtK
],[
ttt ∈
21
(2.4.6)
имеет нетривиальное решение для любого
.
Отсюда вытекает, что
решение ОЗ (2.4.1)–(2.4.2) в этом случае неединственно. Обратим
внимание на то обстоятельство, что в этом случае обращается в нуль
первое сингулярное число оператора
(
0
1
). Эта особенность
0
>
0
рассматриваемой задачи подчеркивает тот факт, что при постановке
ОЗ (а также при организации измерительной схемы при идентификации линейных динамических систем) особое внимание должно уделяться вопросам единственности решения и формулировке условий,
их обеспечивающих.
2.5. Граничные обратные задачи для эллиптических
операторов
Простейшей граничной задачей для эллиптического оператора является
задача Коши для оператора Лапласа, рассмотренная еще Ж. Адамаром
[3, 10, 12]. В простейшей постановке для уравнения Лапласа ставится два
граничных условия на части границы
:1S
,0=Δu
u
∂
S
n
∂
S
,1fu
=
а граничные условия на другой части границы
буется восстановить поле внутри и на части границы
,1g
=
S
не формулируются. Тре-
2
.2S
К задачам такого
(2.5.1)
типа сводятся многие прикладные задачи математической физики для стационарного поля температур или электростатического поля. Граничные ОЗ
относятся к важнейшему классу линейных ОЗ, при исследовании которого,
как правило, вопрос построения операторных соотношений, связывающих
заданные и искомые функции, решается достаточно просто на основе формул Грина [2] для оператора
Лапласа или формул Сомильяны для оператора теории упругости [16]. Основное внимание для этого класса задач уделяется конструктивным численным методам исследования либо исходных
краевых задач, либо линейных операторных уравнений с вполне непрерывными операторами, к которым они приводятся.
110
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]