Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Обратные и некорректные задачи. Учебник
.pdf
Тест рубежного контроля к разделу 1
U
A
C
=
=
Тест рубежного контроля к разделу 1
1. Пусть задан оператор
F =
а)
ограничен;
б)
неограничен;
в)
конечномерен;
г)
вполне непрерывен.
2.
Оператор
оператором с нерегулярным ядром;
а)
б)
неограниченным;
в)
вполне непрерывным;
г)
конечномерным.
].1,0[
Оператор A...
1
= dtsueAu
sx
∫
0
Au +=
22
Критерий оценки:
раздел считается зачтенным, если обучающийся дал
du
,2 u
→
,: F
где
1
CU =
],1,0[
dx
,)(
]1,0[2LFU
является...
правильные ответы не менее чем на 50 % тестовых заданий.
31
Модуль 1. Прямые и обратные задачи. Понятие о некорректных задачах
f
A
∈
A
Раздел 2. Понятие о корректной и некорректной задаче
1.3. Корректность по Адамару
В предыдущих разделах был сформулирован ряд обратных задач (ОЗ),
возникающих в математической физике при моделировании различных явлений и процессов. Этим задачам, как правило, присуще такое свойство, как некорректность. Дадим строгое определение этого очень важного
понятия.
Рассмотрим операторное уравнение, описывающее поведение некоторо-
го ОИ [4, 9]
u =
где
ния,
,
— линейный оператор с непустой областью определе-
FUDA
:
A
FU,
→⊆
— функциональные пространства, f — заданный элемент, u —
(1.3.1)
искомый элемент. В качестве такового оператора может встречаться либо
интегральный, либо дифференциальный оператор, либо любой другой, обладающий свойством линейности.
Определение 1
Задача (1.3.1) нахождения элемента u называется корректно постав-
ленной по Адамару, если:
1)
область значений оператора A совпадает с F (решение операторного
уравнения (1.3.1) существует для любой его правой части — условие
разрешимости);
2)
равенство
uu =
— условие единственности;
21
обратный оператор
3)
для некоторых
AuAu =
21
1
−
непрерывен на .F
влечет за собой
,
Duu
21
A
Условия 1, 2 этого определения характеризуют математическую опре-
деленность, а условие 3 — физическую детерминированность задачи.
Для корректных задач можно установить соотношение корректности
где
,Aucu ≤
c
— постоянная.
(1.3.2)
Отметим, что в некоторых монографиях задачи, для оператора которых
выполняется неравенство (1.3.2), принимаются корректными по определе-
32
1.3. Корректность по Адамару
=
=
нию. В силу соотношения корректности будет выполнены условие единственности, т. е.
того, что
что
FU,
— банаховы, область значений A плотна в F и A — замкнутый
∈= AvADvA
,ε≤f следует, что .ε≤ cu Если дополнительно предположить,
},0{}0)({ker
устойчивости, поскольку из
оператор, то можно обосновать и существование решения (1.3.1).
Выполнение условий корректности 1–3 по Адамару казалось настолько
естественным для любой разумной математической задачи, что Ж. Адамар
высказал мысль о нефизичности любой некорректной задачи, т. е. такой,
для которой условия 1–3 не выполняются. В то же время он привел пример
некорректной задачи, ставший каноническим, —
задачу Коши для уравнения Лапласа. Как выяснилось впоследствии, именно к такой задаче сводятся многие проблемы естествознания и математики. Так, например, к такой
задаче сводится проблема продолжения аналитических и гармонических
функций, ряд задач теории потенциала, биофизики и гидродинамики. Эта
задача стала своеобразным эталоном в исследованиях по некорректным задачам, ее
изучению и сегодня посвящаются работы в современных матема-
тических журналах.
В середине XX в. интенсивно начали развиваться методы решения некорректных (неустойчивых) задач. В самом деле, понятия «неустойчивость
решения по Ляпунову» и «нарушение 3-го условия корректности по Адамару» (фактически отсутствие непрерывности обратного оператора) очень
похожи. Если первое понятие относится к
решениям канонической системы
дифференциальных уравнений (операторным уравнениям специального
вида), то второе — к общим операторным уравнениям. Научное направление, посвященное исследованию некорректных задач, определялось работами крупных советских математиков — А. Н. Тихонова, Г. И. Марчука,
М. М. Лаврентьева, А. А. Самарского, оказавших значительное влияние
на развитие теоретических основ методологии исследования некорректных
задач
и задавших пути развития этого раздела математики, тесно смыкаю-
щегося с современной вычислительной математикой [15, 24, 27–28].
Приведем ряд примеров операторных уравнений, корректных по Ада-
мару.
33
Модуль 1. Прямые и обратные задачи. Понятие о некорректных задачах
×
R
=
=
t
A
t
txv
t
x
xfx
v
x
tvt
v
T
t
Txv
x
xfx
A
x
π
A
A
Txv
x
π
=
Пример 1
Пусть A — матрица размерности ,nn
FU
n
и
≠
,0de
тогда
задача решения линейной алгебраической системы вида (1.3.1) корректна.
Пример 2
Пусть
Au ===
du
1
].,0[],,0[,
TCFTCU
(1.3.3)
d
При таком выборе пространств задача некорректна, ибо решение находится
неединственным образом, поскольку общее решение дифференциального
уравнения определяется с точностью до произвольной постоянной. Однако
если добавить данные Коши и принять
t
ча становится корректной,
.AuTu ≤
имеет вид
)(
∫
0
1
−
=ττ=
fAdfu
1
=∈= uTCuU
},0)0(],,0[{
то зада-
и соотношение корректности
Пример 3 [9]
Пусть функция
,
vv =
xxt
=
где
),()0,(
2
),(
принадлежит пространству
],,0[],0[ T×π=Ω
и является решением следующей задачи:
,),( Ω∈
∈
],,0[ π∈
],,0[
TCf ∈
,0),(),0( =π=
].,0[
2
),(
ΩC
где
(1.3.4)
(1.3.5)
(1.3.6)
Положим
].,0[ π∈
2
0
или
u =
Докажем, что для
ππ
≤ dxxfdxxu
∫∫
0
Auu ≤
2
Du ∈∀
Отметим, что область определения оператора
ся неявно, как совокупность функций
вида
u =
),,()(
где функция v есть решение задачи (1.3.4)–(1.3.6).
В этом примере примем
).,()(
Определим оператор A как
∈ Lu
2
],0[
выполняется неравенство
u =
,)()(
),())((
(1.3.7)
).(
в этом примере задает-
),(xu
допускающих представление
Для доказательства оценки кор-
= LFU
2
].,0[
34
1.4. Некорректные задачи. Примеры. Причины некорректности
π
EtE
T
t
∀
t
E
π
π
t
E
T
t
R
ректности введем функцию
что
≤
)0()(
∈
].,0[
Дифференцируя функцию
2
=
∫
0
вий (1.3.4)–(1.3.6) имеем
π
′
00
Отсюда следует монотонное убывание функции
чаем оценку корректности исходной задачи.
Пример 4
Задача Дирихле для уравнения Лапласа в области
границей
Ω∂
состоит в нахождении функции
следующей краевой задаче:
.,0 fuu ==Δ
Ω∂
Можно показать, что задача (1.3.8) корректна.
Можно показать,
.),()(
dxtxvtE
),(
с учетом усло-
2
xxxt
∫∫∫
0
).(
Полагая ,
dxtxvdxtxvtxvdxtxvtxvtE
⊂Ω
2
удовлетворяющей
),(
Ω∈Cu
.0),(2),(),(2),(),(2)(
≤−===
= полу-
2
с гладкой
(1.3.8)
1.4. Некорректные задачи. Примеры. Причины
некорректности
В предыдущих разделах было дано определение корректных по Адамару и Тихонову задач. Корректные задачи являются предметом исследования уже давно. Для них доказаны теоремы существования, единственности,
разработаны методы численного исследования. Значительно более сложной
является ситуация, в которой условие корректности не выполняется. Дадим
следующее определение:
Определение 1
Задача (1.3.1) называется некорректной, если для нее нарушается хотя
бы одно из условий 1–3 определения 1 п. 1.3.
Фактически для некорректных задач либо отсутствует решение
в обычном смысле, либо оно неединственно, либо нет непрерывной зависимости решения от исходных данных задачи. В таком случае возникает
вопрос: с чем же связаны эти качества исследуемых задач? Для
того чтобы
разобраться в нем, рассмотрим несколько типичных примеров некоррект-
35
Модуль 1. Прямые и обратные задачи. Понятие о некорректных задачах
N
N
ных задач, возникающих при решении как математических, так и инженерных задач.
При обработке результатов эксперимента очень часто проблема иден-
тификации ОИ (особенно на основании метода наименьших квадратов)
сводится к решению линейной алгебраической системы, которая может
оказаться как плохообусловленной, так и вырожденной, в случае, например, если измерительные схемы составлены
таким образом, что при наличии геометрической симметрии элементы дублируют друг друга, в частности в некоторых схемах вибродиагностики.
Начнем рассмотрение примеров с простейшей алгебраической задачи.
Пример 1 [4]
Рассмотрим классический пример А. Н. Тихонова — решение линейной
алгебраической системы следующей структуры:
=+
,532
⎧
⎨
⎩
yx
(1.4.1)
=+
yx
.50188
Нетрудно видеть, что матрица системы и расширенная матрица системы
имеют ранг, равный 1, поскольку второе уравнение системы получается
2
умножением первого на
. Таким образом, в соответствии с теоремой
Кронекера — Капелли, система совместна и имеет множество решений, зависящих от одного параметра. При численном исследовании такой системы
возможны следующие нюансы. Возьмем, например, 100 десятичных знаков
в приближении иррациональных чисел во втором уравнении системы. Бу-
,
дем производить все вычисления с точностью
характеризующей коли-
чество знаков после запятой. Тогда определитель системы не равен нулю,
и можно построить в соответствии с правилом Крамера единственное ре-
),,(
yx
шение
соответствующее сохранению N значащих цифр во всех
NN
вычислениях. Оказывается, что построенная таким образом последователь-
,
ность решений не имеет предела при увеличении
хотя исходная инфор-
мация становится все точнее и точнее, поскольку используются все более
точные приближения иррациональных чисел рациональными. Это есть типичная ситуация, характерная при решения некорректных задач. Для таких
задач характерным является неустойчивое нахождение решения при уменьшении измерительной погрешности.
36
1.4. Некорректные задачи. Примеры. Причины некорректности
N
N
t
x
A
−
A
A
A
На рис. 1.3, 1.4 представлены зависимости решения системы (1.4.1) ме-
тодом Крамера от числа
— количества знаков после запятой, отложенного по горизонтальной оси. Как видно из рис. 1.3 и 1.4, при некоторых
значениях числа
решение не определено, поскольку главный определи-
тель системы (1.4.1) обращается в ноль.
Рис. 1.3.
Зависимость
)(
Рис. 1.4.
Зависимость
)(ty
Примером более общей ситуации может служить линейная алгебраиче-
ская система n-го порядка. Пусть
.
RFU ==
Как известно из курса линейной алгебры [3, 25], имеются две
n
— квадратная матрица n-го порядка,
возможности:
Если определитель матрицы отличен от нуля, то при любой правой
1.
части существует единственное решение вида
.
ляется обратной к матрице
Если определитель матрицы A равен нулю, система имеет решение
2.
−
=
,1fAu
где
1
яв-
не для любой правой части; если же оно существует, то неединственно. Таким образом, задача решения линейной алгебраической системы с вырожденной матрицей является некорректной.
Эта ситуация типична для приложений, когда матрица
либо находится из наблюдений, либо определяется в результате некоторых приближенных вычислений. Если в процессе расчетов получено, например, значение
40−
определителя
=A
,10det
то непонятно, к первому или ко второму слу-
чаю относится эта ситуация; они в принципе неразличимы на фоне всегда
37
Модуль 1. Прямые и обратные задачи. Понятие о некорректных задачах
sxK
[
∈
∈
sxK
U
f
−
A
U
AU
существующей вычислительной погрешности, и требуется иной подход
к решению подобной задачи.
Пример 2
Бесконечномерным аналогом рассмотренной в предыдущем примере
алгебраической проблемы является задача решения уравнения Фредгольма
),,(
1-го рода с непрерывным ядром
некорректные задачи [4, 9].
Пусть
b
∫
a
∈==
dcxxfdssusxKAu ].,[),()(),(
к которому сводятся многие
(1.4.2)
]
baCu ,
Будем считать для определенности, что
[][]
),,( sxK
x
тов). Покажем, что задача обращения операторного уравнения (1.4.2) является некорректной. Для этого операторного уравнения не выполняется первое условие корректности, поскольку не у каждого элемента из
существовать прообраз из
достаточно взять функцию
руемую.
В этом случае интеграл в левой части представляет собой непрерывно
s
()
Рис.1.5.
badcCsxK
,,),( ×∈
(непрерывные функции своих аргумен-
(рис. 1.5). Для доказательства этого факта
,
непрерывную на
F
Отображение F
,
],,[ ba
но недифференци-
[]
dcCf ,
,
F
),,(
будет
дифференцируемую функцию. Для уравнения (1.4.2) не выполняется и 3-е
условие корректности в силу полной непрерывности оператора в левой час-
1
ти и неограниченности обратного
Наконец, заметим, что выполнение второго условия корректности зависит
от конкретного вида ядра (это условие может как выполняться, так и нарушаться). Рассмотрим характерные примеры для уравнений Фредгольма 1-го
рода, иллюстрирующие различные ситуации.
38
к вполне непрерывному (свойство 6).
1.4. Некорректные задачи. Примеры. Причины некорректности
sxsxK
A
x
f
+
=
x
f
A
x
x
≡
s
Пример 2а
),sin(),(
+=
b
∫
a
b
==
21
a
Обратный оператор
b
∫∫
a
+=+=
1−
существует, если правая часть
же самый вид, что и левая, т. е.
21
.)(sin,)(cos
dsssucdsssuc
,cossin)()sin(
xcxcdssusxAu
(1.4.3)
)(
имеет тот
.cossin)(
xcxcxf
21
При этом решение
находится неединственным образом, если не сузить множество поиска, поскольку неизвестная функция восстанавливается по первым коэффициен-
)(
там ряда Фурье. Если же провести возмущение
то при любом самом малом δ обратный
,2coscossin)(
xδxcxcxf ++=
оператор
21
1−
не существует.
, полагая, например,
Пример 2б [9]
Пусть
xs
.),(
esxK =
Покажем, что соответствующее однородное урав-
нение (с нулевой правой частью) имеет только нулевое решение:
b
xs
∫
a
Полагая в (1.4.4)
,0=
(1.4.4) и полагая
b
n
∫
a
dssus
,0)(
=
Поскольку система функций
в
а
],,[
baL
2
)(su
ортогональна этой системе, то
получим последовательно
...,,n 21=
∈∈=
,0=
получим
].,[0],,[,0)( dcdcxdssue
b
.0)(
=
∫
a
dssu
n
ss
Дифференцируя уравнение
...,...,,,1
линейно независима и полна
u
0)(
и, следовательно,
(1.4.4)
единственность решения имеет место. Таким образом, для разных бесконечно дифференцируемых ядер могут иметь место совершенно разные ситуации — отсутствие решений при малом возмущении правой части, единственность и неединственность.
Рассмотрим вопрос о корректности решения операторного уравнения
(1.3.1) в общем случае. Из определения корректной задачи следует, что за-
39
Модуль 1. Прямые и обратные задачи. Понятие о некорректных задачах
U
≤
≤
∞
TCU
=
дача будет корректной, если на F корректно определен обратный оператор
1−
,
A
являющийся непрерывным (ограниченным).
Отметим, что в некоторых ситуациях некорректность легко преодолеть.
Так, например, задачи, некорректные для одной пары пространств ,
,F
могут оказаться корректными для другой пары. Рассмотрим простейшие
операторные уравнения, содержащие дифференциальные и интегральные
операторы.
Пример 3 [9]
Пусть
t
].,0[],,0[,)(
∫
0
==ττ=
TCFTCUduAu
Для определенного таким образом оператора задача (1.3.1) некорректна.
Докажем это, предполагая противное. Пусть задача корректна (тогда имеет
Aucu
место соотношение корректности
=
n
.cos ntnu
Тогда
=
n
∈
AuAu
Tt
n
],0[
может быть сколь угодно большой при
Если выбрать
],,0[
1
); выберем
,1max
а величина
.
→n
TCF =
и ввести обычную норму:
],0[
=
n
∈
n
Tt
],0[∈
],,0[ TCu
ntnu
cosmax
1
TC
],0[
],0[
Tt
∈
+=
′
,)(max)(max
tftff
то можно доказать соотношение корректности, и задача оказывается корректной.
Пример 4 [28]
Численное суммирование рядов Фурье, когда коэффициенты известны
.2l
приближенно в метрике
∞
и
Пусть
nn
=
∑
1
nac
/ε+=
для ,1≥n получим ряд .cos)(
n
0
n
=
этих рядов отличаются (в метрике
∞
⎛
⎜
1
⎜
= nn
⎝
−=ε
ac
nn
0
2/1
⎞
2
⎟
)(
⎟
⎠
.cos)(
ntatf
Если вместо
∞
⎛
⎜
ε=
∑∑
⎜
⎝
⎞
1
⎟
⎟
2
n
=
1
⎠
a
n
2
l
) на величину
2
2/1
2
π
ε=
,
6
брать коэффициенты
∞
= Коэффициенты
∑
0
n
=
ntctf
n
ac =
00
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]