Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Обратные и некорректные задачи. Учебник
.pdf
2.5. Граничные обратные задачи для эллиптических операторов
V
S
В механике деформируемого твердого тела большую роль играет проблема определения нагрузок, действующих на тело, по информации о граничных полях смещений. Реконструкция внутреннего напряженнодеформированного состояния, например в упругих телах по измеренному
полю перемещений на части их границ, представляет несомненный интерес, приводя к граничным ОЗ теории упругости. Заметим
, что интерес к задачам такого рода продиктован многими проблемами, в том числе задачами машиностроения, прикладной сейсмологии и геофизики, технической
диагностики мостовых конструкций и трубопроводов. Отметим некоторые
из первых работ [1, 21] в статической и динамической теории упругости,
посвященных этой проблеме. В то же время следует подчеркнуть, что в си-
малости перемещений в линейной теории упругости и быстрого сниже-
лу
ния уровня напряженного состояния при удалении от места приложения
нагрузки стандартные методы идентификации статических нагрузок оказываются малоэффективными и имеют большую погрешность (особенно если
место приложения нагрузок отдалено от мест постановки датчиков). При
этом достаточно хорошо определяется главный вектор и главный момент
нагрузок, приложенных к телу, однако более точную информацию получить крайне сложно. При возможности частотного зондирования упругого
тела и регистрации полей смещений на его поверхности эффективность
процедуры реконструкции нагрузок растет, и в последнее время появилось
немало работ в этом направлении [1, 4, 7, 24, 25].
Опишем кратко постановку таких задач для эллиптических операторов
на примере
сической динамической теории упругости для конечного тела
ченного поверхностью ,
задачи о колебаниях анизотропного однородного тела. В клас-
,
ограни-
как известно, имеется три основных типа поста-
новок краевых задач. Развитие средств идентификации волновых полей
в упругих телах приводит к новым постановкам краевых задач в динамической теории упругости, из которых наиболее интересной представляется
краевая задача, обобщающая постановку (2.5.1), где на части границы
SS ⊂
1
заданы все компоненты вектора смещений и все компоненты векто-
ра напряжений. Задачи такого типа возникают при исследовании задач типа
Коши или граничных ОЗ теории упругости. Постановки задач такого плана
связаны с восстановлением граничных полей смещений и напряжений
на недоступной для непосредственного наблюдения части
/ SSS =
упру-
12
гого тела, а также при восстановлении полей напряжений и смещений
111
Модуль 2. Линейные обратные задачи
V
S
ω
∂
∂
внутри тела по измеренному полю смещений на свободной от нагрузок
части границы. При этом весьма важными аспектами таких краевых задач
являются вопросы единственности, корректности и построения алгоритмов
восстановления неизвестных граничных полей. В последнее время возрос
интерес в литературе к новым способам исследования таких задач, в том
числе как к созданию
новых численных методов [11, 18, 22], так и к построению полуаналитических регуляризованных решений и оценке их пригодности в зависимости от соотношений между параметрами задачи.
Итак, пусть упругое тело
стоящей из двух частей:
=
ограничено гладкой поверхностью
.21SSS
U
Краевая задача об установившихся ко-
лебаниях анизотропного тела с частотой
описывается системой уравне-
,
со-
ний [14]
2
,
0
=ρω+=
uucuL
iljkijkljij
(2.5.2)
и граничными условиями
,
uu =
i
где
S
01i
c — компоненты тензора упругих постоянных, удовлетворяющих
ijkl
jlkijkli
S
1
,
pnuct ==
0,
i
(2.5.3)
требованиям положительной определенности и симметрии. В простейшей
постановке требуется определить граничные значения вектора смещений
.2S
и напряжений на границе
Такая постановка граничных условий приво-
дит к нестандартной краевой задаче, где на части границы заданы компоненты двух полей, а на другой части поверхности информация о граничных
полях отсутствует. Подобная задача может быть сведена к задаче Коши для
эллиптического оператора теории упругости, которая также [12, 23] является некорректной.
Осуществим процедуру сведения (2.5.2)–(2.5.3)
Sx ∈
— внутренняя точка поверхности
10
координат с центром в
главных кривизн поверхности
к
Тогда из граничных условий (2.5.3), учитывая, что в новой системе
.1S
∂
m
координат
=
x
∂
j
x
—
0
,1S n
),,(
nss
, где
21
— в направлении внешней нормали
∂
m
+
1
s
∂
1
2
∂
n
+
s
2
jjj
.1S
Введем локальную систему
,1s
,
где
n
∂
к задаче Коши. Пусть
s
направлены по линиям
2
,
m
m
1
j
— компоненты
j
2
112
2.5. Граничные обратные задачи для эллиптических операторов
∂
∂
−
единичных векторов вдоль главных кривизн,
n
— компоненты единично-
j
го вектора нормали, находим следующие соотношения:
u
∂
,
uu =
0
i
S
i
1
−=
nmcpp
10
jlijklii
k
nnc =
jlijkl
n
∂
S
1
u
∂
k
0
−
s
∂
1
,
p
0
i
u
k
nmc
2
0
.
jlijkl
s
∂
2
(2.5.4)
В силу положительной определенности упругой энергии система (2.5.4) от-
u
носительно компонент нормальных производных
k
однозначно разре-
n
∂
шима, и граничные условия (2.5.3) приобретают вид
u
∂
i
,
uu =
0
i
S
i
1
∂
=
n
S
1
где введено обозначение
,
v
0
i
1
.)(
=
0
pnncv
0
kjlijkli
(2.5.5)
Таким образом, исходная краевая задача (2.5.2)–(2.5.3) сводится к задаче Коши (2.5.5) для системы (2.5.2). Известно, что такая задача для одного
уравнения эллиптического типа некорректна и не является локально разрешимой, однако, опираясь на теорему Хольмгрена [23], можно установить
единственность решения задачи (2.5.2)–(2.5.3).
Теорема 1 [6]
Пусть существует решение
∈
i
задачи (2.5.2)–(2.5.3). Тогда оно
)(2VCu
единственно.
В настоящее время имеется три наиболее эффективных способа построения численного решения граничных ОЗ для эллиптических операторов с постоянными коэффициентами. Первый основан на разложении решений в ряд по собственным функциям оператора (или по некоторой линейно независимой системе функций) и нахождении коэффициентов этих
разложений
каким-либо способом (методом коллокаций, наименьших
квадратов), причем для решения таких задач довольно эффективно может
быть использован метод конечных элементов.
Второй связан с предварительным сведением задачи на границу при помощи идеологии метода граничных уравнений и последующим решением
на следующем этапе операторного уравнения 1-го рода с вполне непрерывным оператором на
основе метода регуляризации. При этом наиболее рас-
пространенным методом нахождения связи между известными и неизвест-
113
Модуль 2. Линейные обратные задачи
V
L
ными граничными значениями смещений и напряжений является метод
граничных элементов [2, 6]. В изотропном (сферически симметричном)
случае такая связь может быть найдена на основе классических ГИУ, основанных на теории потенциала и явном представлении фундаментальных
и сингулярных решений. В анизотропном (сферически несимметричном)
случае, в силу отсутствия явного представления фундаментальных решений, классический
подход, основанный на теории потенциала, является не-
эффективным, однако возможна формулировка операторной связи между
граничными значениями вектора смещений
и вектора напряжений
i
S
,
t
i
S
u
основанная на идеологии ГИУ 1-го рода с гладкими ядрами экспоненциального типа [6], которые анализируются на основе сочетании граничноэлементных технологий и метода регуляризации Тихонова.
Замечание
Как известно, для некорректной задачи (2.5.2)–(2.5.3), вообще говоря,
u
отсутствует непрерывная зависимость от данных задачи
и
0
i
если отыскивать решение в классе равномерно ограниченных функций в
,ip
однако
,
то непрерывная зависимость будет иметь место.
Третий подход к решению задач подобного вида, называемый далее
альтернирующим, предложенный и обоснованный для статических задач
(
0=ω
) анизотропной теории упругости в [12], связан с последовательным
решением ряда прямых задач специального вида. Изложим вариант такого
подхода для оператора вида (2.5.2).
Рассмотрим следующую последовательность смешанных краевых задач
.
для эллиптического оператора
Начальный, или
0 этап
. Рассмотрим следующую краевую задачу, соот-
ветствующую постановке (2.5.2)–(2.5.3):
()
0
uL
ij
j
)0(
i
S
где
p — некоторое начальное распределение вектора напряжений на
,0
=
,
uu =
0
12
i
)0(
i
i
S
2
)0()0(
,
pt =
i
(2.5.6)
(2.5.7)
Если на исследуемой частоте существует решение (нерезонансная ситуа-
)0(
u
ция)
задачи (2.5.6)–(2.5.7), то далее строится решение краевой задачи
i
на 1 этапе.
.2S
114
2.5. Граничные обратные задачи для эллиптических операторов
N
=
ω
1 этап.
uL
ij
j
i
S
в которой
Рассмотрим следующую краевую задачу:
)1(
=
,0
)0()1(
()
u
i
,
S
22
0
S
uu =
i
)1(
i
S
1
,
pt =
0
i
— граничное распределение смещений, найденное на ну-
2
левом этапе.
Таким образом, строится следующая рекуррентная последовательность
)2( k
u
,
задач. Если построено решение
то следующее приближение
i
должно удовлетворять краевой задаче:
uL
ij
i
Соответственно,
uL
ij
)12(=+k
j
k
+
S
j
,0
k
)2()12(
uu =
i
)22(=+k
,0
,
S
22
u
i
)12(
k
+
i
)12( +k
S
1
есть решение следующей краевой задачи:
.
pt =
0
i
(2.5.10)
(2.5.11)
(2.5.12)
(2.5.8)
(2.5.9)
u
i
)12( +k
k
)22(
+
i
S
1
,
uu =
0
i
k
i
S
k
)22()22(
++
tt
=
i
.
S
22
(2.5.13)
Итак, решение построенной последовательности корректно поставленных смешанных задач позволит построить приближенное решение исходной некорректной задачи, причем параметром регуляризации является число итераций
ных данных
,
которое должно быть согласовано с погрешностью вход-
.δ
Численные эксперименты по использованию этого подхода
для модельной задачи для уравнения Гельмгольца показали, что можно использовать такой подход не только в случае
,0
но и в случае устано-
вившихся колебаний, при этом важное значение для наиболее быстрого
достижения цели — решения поставленной линейной некорректной задачи — имеет выбор вспомогательных задач. В каждом конкретном случае
необходимо определить, с какого типа задачи — (2.5.10)–(2.5.11) или
(2.5.12)–(2.5.13) — следует стартовать.
В последующих параграфах будут рассмотрены простейшие граничные
ОЗ для канонических областей
(прямоугольник, слой) и описаны наиболее
употребительные методы их исследования.
115
Модуль 2. Линейные обратные задачи
l
l
×−=
ω
σ
=
=
−
2.6. Граничная обратная задача для прямоугольника
В качестве простого примера, иллюстрирующего особенности гранич-
ных ОЗ и основные трудности при построении решения, изучим особенности определения нагрузки по известным граничным полям на части границы для бруса с прямоугольным поперечным сечением в случае антиплоских колебаний [7]. В этом случае легко построить решение ОЗ непосредственно в виде ряда
специальной структуры и продемонстрировать воз-
можности регуляризующих алгоритмов.
Пусть сечение бруса есть прямоугольник
F
],0[],[ h
. Уравнение
колебаний имеет вид
33,11,
2
где μ — модуль сдвига, ρ — плотность,
,0)(
=ρω++μ uuu
(2.6.1)
— частота колебаний.
Пусть граничные условия представимы в форме
1
На торце
1
lx −=
заданы данные Коши, при этом заданы одновременно
.0),(
=μ=σ uhx
3,123
(2.6.2)
,0)0,(
=xu
и смещение, и напряжение:
u
−
),(),(
=−
xfxlu
33
12
Необходимо найти граничные поля ,
∂
μ=σ
x
∂
1
u
μ=−
12
−
при
).(),(
xgxl
33
.1lx
(2.6.3)
Реализуем первый подход при решении задачи (2.6.1)–(2.6.3), основан-
ный на методе интегральных уравнений. Для этого построим решение
вспомогательной (корректной) задачи (2.6.1) с граничными условиями
(2.6.2), а вместо (2.6.3) зададим следующие граничные условия:
±
μ=±μ=σ
).(),(
xgxlu
331,12
(2.6.4)
Таким образом, имеем корректно поставленную вспомогательную гра-
ничную задачу. Ее решение легко строится методом разделения переменных и имеет вид
∞
,)()chsh(),(
xxBxAxxu
31131
nnnnn
),12(
n
−λ=μ
nn
...,,2,1
,22k
(2.6.5)
A
∑
=
1
n
2
)(
x
h
−+
+
gg
=
n
nn
μμ
ch2 l
nn
,sin
x
λ=ϕ
,
33
nn
B
=
n
,
π
=λ n
n
2
h
+
−
gg
sh2 l
μμ
ϕμ+μ=
−
nn
nn
116
2.6. Граничная обратная задача для прямоугольника
k
+
+
x
∈
−
=
ϕ
−
γ−−−
∞
h
±+
∫
0
nn
,)()(
ξξϕξ=
dgg
22
./
μρω=k
Нетрудно видеть, что это решение (2.6.5) существует не всегда, а лишь
тогда, когда отлично от нуля выражение в знаменателе
некоторый набор значений параметра
,
характеризующего резонансные
,2sh l
μ
что задает
n
частоты вспомогательной задачи. В рассматриваемом случае система
}{
ϕ
— ортонормированная система в
n
],,0[2hL
что в значительной степени
облегчает процедуру формулировки ГИУ и формального построения решения (ср. ретроспективную задачу 1). Выполнение на границе дополнитель-
ного условия дает возможность связать
при
с гладким ядром относительно
−
g
xk
0=
эта процедура приводит к интегральному уравнению 1-го рода
= gg
следующего вида:
h
∫
0
∞
),(
=ξ
∑
=nnn
1
1
=ξξξ=
2sh
μμ
l
nn
,)(),()(
xfdxkgAg
),()(
x
ξϕϕ
],,0[ h
=
,−f
g
и
,−g
и, например,
(2.6.6)
),()( xfxf
.3xx
Оператор в (2.6.6) является самосопряженным, и, что нетрудно показать, имеет бесконечно дифференцируемое ядро, поэтому порождает оператор Фредгольма 1-го рода. Таким образом, для решения интегрального
уравнения (2.6.6) необходимо использовать один из регуляризующих алгоритмов, например метод Тихонова.
Отметим, что формально можно получить представление решения, ис-
},{
пользуя ортонормированность
∞
∑
n
=
1
−
ϕμμ=
xlfxg
.)(2sh)(
nnnn
и представить решение в виде ряда
n
(2.6.7)
Это представление, к сожалению, нельзя применять для практических расчетов. Во-первых, это решение существует не для всех
−
f
фициенты Фурье
должны обладать свойством
n
2
=
n
ибо их коэф-
],,0[
hLf ∈
21 n
),(
enОf
,
→n
,hlπ=γ обеспечивающим убывание членов ряда в (2.6.7), а следовательно,
−
)(3xf
функция
должна не просто быть бесконечно дифференцируемой, а иметь
вышеуказанную асимптотику коэффициентов Фурье. Во-вторых, решение (2.6.7)
может сильно отличаться от точного решения при малых изменениях
−
).(3xf
117
Модуль 2. Линейные обратные задачи
≠
σ
N
N
N
k
=π≤
μ
δ
ε
π
≤
Построим решение (2.6.6) методом усеченных сингулярных разложе-
ний. Для этого самосопряженного оператора на основании определения
легко построить не только асимптотику его сингулярных чисел, но и сами
сингулярные числа, которые задаются соотношением
12 −
μμ=σ lsh
.)2(
nnn
(2.6.8)
Отметим, что для этого оператора
нако
k
σ
могут обращаться в бесконечность при
n
⎛
−
n
22
⎜
π=
⎜
⎝
2
)5.0(
2
h
2
⎞
m
+
⎟
,
2
⎟
l
4
⎠
0
n
для всех n и
...,,2,1,0,=mn
n
∞→
n
од-
,0lim =σ
(2.6.9)
что соответствует резонансным частотам для прямоугольника. При частотах, близких к резонансным, в решении прямой задачи преобладает одна
гармоника, что не позволяет эффективно осуществлять процедуру реконструкции нагрузки. Применение метода усеченных сингулярных разложений
позволяет получить представление решения уравнения (2.6.6) в форме конечной суммы
N
δ
∑
n
1
=
где параметром регуляризации является число
ли известна погрешность входной информации, например
−
ϕμμ=
nnnn
xlfxg
,)(2sh)(
.
Нужно заметить, что ес-
−
(2.6.10)
−
ff
δ
,δ≤−
то для выполнения неравенства
точность реконструкции, число
1
2
2
⎛
⎜
∑
⎜
1
=Nn
⎝
μμ
Очевидно, что число
⎞
⎟
l
nn
⎟
./2sh
δε≤
⎠
сильно зависит от волнового числа
gg
выбирается из условия
следующую структуру условия (2.6.11). Если
щественны. Если
Как только
становятся вещественными, слагаемые в сумме слева (2.6.11)
μ
n
,
kk ≥
то первые несколько значений
0
,ε≤−
δ
гарантирующего некоторую
(2.6.11)
.
Отметим
,2/
khk
то все
0
чисто мнимые.
n
μ
ве-
n
начинают экспоненциально расти и это неравенство перестает выполняться
при заданном фиксированном отношении
что низкочастотные колебания (
hk 2
.
Это свидетельствует о том,
), когда нет распространяющихся
мод, являются малоинформативными не только в плане восстановления
118
2.7. Граничная обратная задача для полосы
N
главного вектора и главного момента нагрузки, но и тем более для определения ее локальной структуры. Таким образом, необходимо использование
высокочастотных колебаний для процедуры идентификации, ибо информацию о структуре нагрузки несут только распространяющиеся моды. В качестве метода решения задачи следует использовать либо метод сингулярных
разложений, либо метод регуляризации
Тихонова.
2.7. Граничная обратная задача для полосы
В настоящем параграфе излагаются способы построения операторных
уравнений в граничной ОЗ для полосы, обсуждаются вопросы дискретизации и методы исследования линейных некорректных проблем.
Отметим, что исследования в области обратных геометрических задач
опираются в основном на формулировку ГИУ для соответствующей области, которые составляются на основе одного из вариантов ГИУ.
Модель упругой
и теории упругости и позволяет описывать процессы распространения волн
в протяженных телах. Для нее достаточно просто построить специальные
фундаментальные решения и на их основе сформулировать необходимые
для дальнейшего исследования операторные уравнения. Далее всюду будем
считать, что колебания полосы вызваны действием внешних контактных
полосы является удобной для исследований в акустике
нагрузок,
новления этих нагрузок служат амплитуды смещений, измеренные на доступном для наблюдений участке свободной поверхности полосы. Как отмечалось выше, гармонический режим возбуждения является более информативным с точки зрения реконструкции нагрузки, нежели статическое нагружение, в силу быстрого убывания напряженно-деформированного
стояния при удалении от места приложения нагрузки. Излагается несколько подходов к решению задачи идентификации нагрузок. Один из них, базирующийся на идее проекционного метода, основан на разложении решения по некоторой линейно независимой системе функций, причем порядок
системы уравнений играет роль регуляризующего параметра. Другой
опирается на граничноэлементный подход и регуляризованное решение
возникающей алгебраической системы. При решении граничных ОЗ возможен также и подход [4, 8], в котором исходная проблема сводится к ре-
приложенных к ее границе, а исходными данными для восста-
со-
119
Модуль 2. Линейные обратные задачи
j
=
j
ξ
ξ
N
ω
=
x
∈
шению интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода с гладким ядром,
которое исследуется на основе метода регуляризации Тихонова.
Рассмотрим задачу о реконструкции двухкомпонентной нагрузки, при-
ложенной на границе упругой полосы толщины
с недеформируемым основанием. Компоненты нагрузки
],,[ ba
ситель на отрезке
],[ dc
)( bc >
, расположенном на верхней грани полосы. При
компоненты поля смещений известны на отрезке
,h
жестко сцепленной
имеют но-
)(xg
j
извест-
hx =
3
ны компоненты вектора перемещений
=
),(1xfu
jj
1
],,[
dcx ∈
по которым требуется определить функции
,3,2,1=
,bc >
)(xg
j
).3..1(
(2.7.1)
Для описанной выше постановки характерным является то обстоятель-
ство, что на части границы полосы (на
а на части
],[ ba
все характеристики полей неизвестны.
],[ dc
) заданы 4 граничных условия,
Основным способом исследования задач подобного типа является све-
дение проблемы к системе интегральных уравнений Фредгольма 1-го рода
с гладкими ядрами. При этом формулировка ГИУ базируется на фундаментальных решениях для полосы, которые могут быть представлены в виде
интегралов Фурье [9]
xD
D
ωα
ωα
0
m
)(
xU
j
где ),,,(
jm
0
),(
1
=ξ
2
c
π
55
представляет собой дисперсионное уравнение для полосы
0),(
=ωαD
jm
∫
σ
ξωα xD
— известные функции своих аргументов, а уравнение
33
и имеет счетное множество корней
),,,(
33
)(
−ξα
xi
11
,
α
de
(2.7.2)
),(
из которых конечное число (
,
i
2
вещественных, взаимное расположение которых зависит от частоты
Контур
в (2.7.2) выбран в соответствии с принципом предельного по-
σ
глощения [9].
При помощи фундаментальных решений вида (2.7.2) задача идентифи-
кации граничной нагрузки сводится к системе граничных уравнений на ос-
],[0dcS
новании теоремы взаимности (область
b
=ξξξ=
xfdgxkАg ),()(),(
∫
a
],,[ dc
) следующего вида:
(2.7.3)
)
.
120
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]