Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Обратные и некорректные задачи. Учебник
.pdf
3.3. Обратные задачи для нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений
λ≤λ
≤
g
λ
g
λ∈λ
∀
t
k
x
t
k
λ
λ
x
xyk
λ
=
λ
x
λ∈λ
λ∈λ
′
λ
λ
xax
λ=λ
∈
x
λ∈λ
′
′
и условиям
,0),0( =λy
),(),1( λ=λ ay
),(),0(' λ=λ by
,0
λ≤λ≤
0
,0
0
(3.3.12)
(3.3.13)
где
b
и
),(λa
)(λb
— заданные функции, удовлетворяющие условию (3.3.5) и
),()( λλ=λ
1
],,0[)(
λ∈λ Cg
0
0)( >
].,0[
0
Решением ОЗ (3.3.11)–(3.3.13) будем называть пару функций
y
),,( λ
таких что при
],0[
λ∈λ∀
функция
0
Cxy ∈λ
1
1
],1,0[),(
а
],,[)(
∞−∞∈Ctk
y
),(
и
0)( >
при
∈ at
)),(( λ
удовлетво-
(3.3.14)
)](,0[
0
)(
ряют (3.3.11)–(3.3.13). Имеет место теорема.
Теорема 3 [16]
Пусть функции
соответственно. Тогда, если
(3.3.11)–(3.3.13) и
и
λ=λ xyxy
21
),(),(
при
)(λa
и
)(λb
удовлетворяют условиям (3.3.5) и (3.3.14)
),(1tk
1
),0()0(
kk =
то
21
],1,0[∈
),(
xy
и
0
].,0[
),(2tk
)()(
tktk
для всех
21
),(
λxy
2
— решения ОЗ
∈ at
)](,0[
0
Вопрос о существовании решения поставленной ОЗ (3.3.11)–(3.3.13)
достаточно сложен и в общем случае исследован в [16]. Изучим вопрос
о существовании решения для частного вида функции
).(λb
Предположим,
что
Пусть
2
λ∈λ Ca
0
q
— произвольная положительная постоянная. Рассмотрим функ-
′
],,0[)(
a
0)( >λ
при
],,0[
0
,0)0(=a
а
=λ
)0()( ab
цию
1
−
)(
)(
1
tk
=
q
−
′
⎛
⎜
1
⎜
))((
taa
⎝
ta
aq
∫
0
положительную и непрерывно дифференцируемую на отрезке
Нетрудно показать, что функции
ряют (3.3.11)–(3.3.13) при
⎞
⎟
,d)(
ξξ+
⎟
⎠
)](,0[
a
0
y
]1,0[
,
)(),(
и
q
, в чем несложно убедиться
],0[
0
)),(( λxyk
удовлетво-
непосредственным вычислением производной и подстановкой в дифференциальное уравнение
′
()()
λλ )())((),(')),(( xaxakxyxyk
qq
⎛
1
⎜
=
⎜
λ
)(
xa
⎝
λλλ=
λ
⎛
⎜
⎜
⎝
=
x
∫
0
⎞
⎟
ξξ+
⎟
⎠
⎞
⎟
λλ
⎟
22
).,()()('d)(
λλ=λλ=
xyxaxaaq
⎠
.
.
141
Модуль 3. Нелинейные обратные задачи
R
x
k
t
k
Далее, функцию
бы
q
)),(( λxyk
q
1
можно продолжить на
).,()),((
∞−∞∈λ Cxyk
Тогда пара функций
1
таким образом, что-
)(tk
и
q
y
),( λ
будет яв-
ляться решением ОЗ (3.3.11)–(3.3.13). Отметим, что наличие произвольной
постоянной
q
в определении
и о необходимости задания значения
функции
)(
на отрезке
λa
)(tk
свидетельствует о неединственности
q
)0(
для однозначного определения
)](,0[
.
0
Отметим, что имеется достаточно много аналогичных постановок ОЗ
для нелинейных дифференциальных уравнений первого и второго порядка,
например в задачах нелинейной теории упругости, при исследовании задач
растяжения-сжатия и кручения цилиндрических тел.
3.4. Конечномерные нелинейные обратные задачи
(идентификация полимерных материалов на основе
дифференциальной формы определяющих соотношений)
Среди простейших коэффициентных ОЗ, в которых требуется найти ко-
нечное число параметров на основе результатов экспериментов, отметим
еще один важнейший класс, связанный с определением основных характеристик изучаемых объектов. Например, проблема формулировки определяющих соотношений и экспериментального нахождения параметров, входящих в них, является одной из основных проблем в механике деформи
-
руемого твердого тела [9]. Нахождение констант, или функций, входящих
в законы деформирования, на основе данных эксперимента есть основная
задача экспериментальной механики. В связи с внедрением в практику новых, в том числе композиционных, материалов, часто обладающих реологическими свойствами, проблема оцифровки параметров конкретных материалов на этапе параметрической идентификации весьма важна
и требует
совершенствования методик обработки данных. При этом отметим, что детальная проработка задачи часто позволяет скорректировать и саму постановку эксперимента.
В настоящем параграфе обсуждаются некоторые конечномерные обратные коэффициентные задачи и их применение к идентификации вязкоупругих (полимерных) материалов.
142
3.4. Конечномерные нелинейные обратные задачи
ε
H
E
Расчеты на прочность и устойчивость конструкций из таких материалов
невозможно осуществить без процедуры их идентификации как при изготовлении, так и в процессе эксплуатации. Заметим, что на современном
этапе появилась возможность производить композиционные материалы
с наперед заданными свойствами, что требует достаточно серьезной предварительной проработки математической модели ОИ и ее
оцифровки,
т. е. реализации этапа параметрической идентификации при постулировании общего операторного вида определяющих соотношений, например,
в дифференциальной форме. Полимерным и композиционным материалам
на основе полимеров свойственно наличие реологических свойств, поскольку существенной является зависимость законов деформирования
от истории нагружения [9]. При этом идентификация может быть осуществлена в рамках модели
линейной изотропной вязкоупругости при помощи
двух простейших экспериментов — опыта на одноосное растяжение и опыта на кручение. Полимерным материалам присущи такие свойства, как ползучесть, релаксация, последействие и сильная зависимость свойств от температуры, что необходимо учитывать при составлении моделей различного
уровня сложности.
Структурной идентификации полимеров посвящены достаточно давние
работы XIX в
. — модели Кельвина — Фойгта и Максвелла, которые сыграли значительную роль в описании реологии этих материалов, однако
не давшие адекватного описания их поведения. Поиски адекватной и вместе с тем простой модели продолжаются и на сегодняшний день. Ограничимся рассмотрением одномерной модели. На основе экспериментальных
данных при испытаниях стержней из полимерных
материалов можно сделать вывод, что определяющее соотношение носит не функциональный,
а операторный характер. В рамках моделей линейных динамических систем
принято описывать эту связь либо при помощи дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами, либо при помощи интегральных
операторов типа Вольтерра. Будем использовать в качестве структурной
модели модель стандартного вязкоупругого тела (или
модель Зинера), которая достаточно адекватно описывает основные черты поведения полимеров — ползучесть, релаксацию и последействие. Линейный оператор, связывающий воздействие и отклик для этой модели находится согласно соотношениию
&
&
nn
,
+ε=σ+σ
( 3.4.1)
143
Модуль 3. Нелинейные обратные задачи
E
H
E
t
σ
t
E
E
H
T
t
ε
t
σ
E
=
k
E
H
t
ε
t
σ
t
t
σ
ε
λ
−
где
лаксации, причем
— мгновенный модуль, H — длительный модуль, n — время ре-
.
>
Эти параметры (или коэффициенты дифференциальных операторов в левой и правой части) подлежат определению из данных эксперимента на одноосное растяжение в некотором дискретном наборе моментов
где задается, например,
,kt
)(
и измеряется
коэффициентная задача состоит в определении величин ,n
)(
ε
. Обратная
,
H по
).(ktε
При этом возможно несколько способов определения параметров ,n
.
Первый опирается на следующую теорему.
Теорема 4
Пусть на отрезке
t
, такие что
3
&
&
&
&
)()()(
σεε
ttt
111
&
)()()(
σεε
&
σεε
≠
ttt
222
)()()(
ttt
333
.0
],0[
заданы
)(
и
)(
и существуют точки
,1t
,
,2t
Тогда ,n
,
H определяются однозначно.
Утверждение теоремы доказывается аналогично приведенному в п. 3.1
следующим образом. Исходя из (3.4.1), и считая, что определяющие соот-
,kt
ношения выполняются для некоторых времен
нейную алгебраическую систему для определения величин ,n
,3,2,1
получим ли-
,
,
опре-
делитель которой, в силу условия теоремы, отличен от нуля, а значит, эта
система имеет единственное решение.
)(
Заметим, однако, что по заданным
времени их производные
&
)(
ε
и
&
),(
входящие в условие теоремы, опреде-
и
ляются неустойчиво и, следовательно, для определения
)(
в некоторые моменты
&
t
k
)(
и
&
)(
tσ
k
необ-
ходима регуляризация в соответствии с изложенными в модуле 1 способами. Отметим, что один из наиболее простых методов дифференцирования
функции, заданной поточечно, основан на использовании регуляризованного метода конечных разностей, который изложен в модуле 1 и в [16, 27].
Второй способ идентификации состоит в измерении напряжения (опыт
на релаксацию) при постоянной деформации или
в измерении деформации
(опыт на ползучесть) при постоянном напряжении. В обоих случаях измеряемой является функция вида
+=
t
причем
beatf
,)(
,0, >λa
b может
144
3.4. Конечномерные нелинейные обратные задачи
k
+
~)(~
ppp
+
∞
−
p
=
H
HnpH
EHH
быть как положительным (релаксация), так и отрицательным (ползучесть).
Этап параметрической идентификации состоит в определении фигурирующих выше трех параметров. Пусть эта функция измерена в моменты времени
,kt
,3,2,1=
тогда в стандартном подходе получается нелинейная
система относительно этих параметров. Введем в рассмотрение величины
−=ν
времени,
= ktt
k
чего параметры
.)()(
tftf
1
Если измерения происходят через равные промежутки
1
+
kkk
ν
1
,)1(
Δ−
то нетрудно получить, что
−=λ
Δ
a
и ,b входящие линейно в функциональную зависимость,
1
ν
2
,ln
после
легко определяются.
Третий способ состоит в формулировке неквадратичного функционала
невязки и его минимизации на основе ГА (п. 1.9).
Четвертый способ идентификации основан на применении преобразования Лапласа к (3.4.1). В результате применения преобразования Лапласа
получим
np
),(
1
— передаточная функция этого динамического объек-
HEnp
+
(3.4.2)
)(
W ε=σ
где
pW
=
)(
та, а
~
∞
∫
0
1
−
=∞ EW
.)(
Непосредственная аппроксимация функции
−
pt
ε=ε dtett
,)()(
ной функцией параметра
−
~
σ=σ dtett
∫
0
pt
.)()(
Очевидно, что
σ
= HW
~
)(
p
~
рациональ-
)(
p
ε
приводит к нелинейной системе уравнений. Го-
1
раздо более эффективным и весьма часто используемым в общей процедуре идентификации объектов является сравнение идентифицируемой системы с некоторой эталонной системой, в качестве каковой обычно выбирает-
.0nn
ся система с известным временем релаксации
Преобразуем
к виду
α
1
pW
)(
+ε=
0
1
,
τ+
p
En
=τ
,
p +≡α+τα+α
1
,
100
(3.4.3)
n
1
=α
0
=
,
EH
τ
01
111
.
−=α−=α
,)0(
)(pW
145
Модуль 3. Нелинейные обратные задачи
~
α
τ
α
α
Далее связь вида
~
⎛
)(
p σ⎟⎟
⎜
+α=ε
0
⎜
⎝
1
α
⎞
1
~
)(
p
между трансформантами
p
τ+
⎠
входа и выхода будем называть ориентированной моделью. При экспериментальной обработке часто удобнее перейти от ориентированной модели
к неориентированной модели (3.4.4), в которой между входными и выходными параметрами предлагается связь вида
~
где
~
3
ются аппаратно при помощи управляемых фильтров. Заметим, что
ражаются однозначно через
3
∑
k
~
kk
=
1
~
)(
1
+
pT
1
pT
ppz ε=
1
)(
=ε
~
1
)(
pz σ
=
,)(
pzcp
p
σ
~
pz
),(
~
)(
p
соответствует фильтру верхних частот и осуществля-
=
)(
2
)(
соответствуют фильтру нижних частот,
pT
+
1
α
1
,
,
,
0
и наоборот. Отметим, что постоян-
1
(3.4.4)
c
вы-
k
ные
ма функционала невязки
определяются методом наименьших квадратов из условия миниму-
c
k
n
∑∑
==
1
jk
3
−ε=
1
2
tzctJ
)()(
и находятся из решения
jkkj
линейной системы с симметричной матрицей
3
,
=
bca
∑
s
jkjk
n
,)()(
tztza
sksjjk
1
=
n
ε=
∑
1
=
s
а затем определяются
,kc
.)()(
tztb
sjsj
,
,
0
,τ что и дает
1
∑
=
k
1
где
=
Из системы находятся
решение ОЗ и позволяет идентифицировать полимерный материал. Параметр
T
при этом назначается произвольно, порой с использованием апри-
1
орной информации. Таким образом, основная идея последнего подхода состоит в расщеплении исходной нелинейной проблемы на две — параметры
линейной системы определяются из данных эксперимента, а нелинейные
характеристики пересчитываются по точным формулам.
146
3.5. Об идентификации ростовых коэффициентов
Δ
νν−
ν
Замечание 1
Следует отметить, что в общей теории определяющих соотношений вязкоупругости можно исходить из соотношений в трансформантах (3.4.2),
причем передаточная функция есть отношение двух полиномов [18, 23, 31].
Замечание 2
При увеличении порядка дифференциальных операторов в определяющих соотношениях до второго в опыте на ползучесть или релаксацию
этап параметрической идентификации подобно предыдущему приводит к
нахождению пяти параметров, входящих в семейство функций вида
tt
λ−λ−
++=
21
21
.)(
ebebatf
(3.4.5)
С помощью введения вспомогательных характеристик
−=ν
)()(
tftf
1+
kkk
решение возникающей нелинейной проблемы расщепляется на нахождение
1
релаксационных параметров
нения
2
,0
=ν+− uzz
ν
u
=
−=λ
3241
d
,ln
z
z
— корни квадратного урав-
j
jj
2
ν−νν
=ν
,
342
,
d
2
ν−νν=d
231
,
а ос-
тальные параметры, входящие линейно, находятся или из решения линейной системы, или на основе метода наименьших квадратов [1, 16].
3.5. Об идентификации ростовых коэффициентов
Модели современной биомеханики переживают этап апробации и становления. Одним из важнейших качеств биологических тканей, отличающих их от объектов неживой природы, является рост. Механика растущих
сплошных сред представляет собой новый раздел современной механики,
который имеет важные и перспективные приложения в технике, медицине,
биологии, генетике и т. д. Пример растущих материалов
дают биологические ткани, а также композитные материалы, в которых приращение массы
происходит за счет адсорбции нового вещества на поверхности тела в ходе
химических реакций. В растущих биологических тканях отложение нового
вещества твердой фазы определяется главными осями и главными значениями тензора напряжений, что делает возможной задачу управления рос-
посредством внешнего нагружения.
том
Данные наблюдений свидетельствуют о том, что на рост биологических
тканей влияют механические нагрузки. Изучение ростовых деформаций при
147
Модуль 3. Нелинейные обратные задачи
P
t
A
t
B
=
заданных внешних нагрузках составляет предмет моделирования в биомеханике роста.
Рост некоторых биологических объектов, таких как трубчатая костная
ткань, стволы и стебли растений, с механической точки зрения можно моделировать как задачи о деформировании цилиндра.
Рассмотрим упрощенную постановку задачи. Пусть внутренний радиус
цилиндра равен ,a внешний радиус —
менем и представляют собой функции времени
.b
Оба параметра меняются со вре-
)(ta
и
).(tb
Исследуем слу-
чай, когда на объект вдоль торцов действуют постоянные нормальные растягивающие нагрузки с главным вектором
,
под действием которых ме-
няется внешний и внутренний радиусы. Используем для описания модель
граничного роста, согласно которой скорость роста граничных поверхностей пропорциональна некоторой характеристике, зависящей от компонент
тензора напряжений. Так, для цилиндра
db
U
r
br
=
b
,
==ν
dt
r
U
ar
=
da
.
==ν
a
dt
(3.5.1)
Таким образом, для определения внутреннего и внешнего радиусов
имеем следующую систему дифференциальных уравнений:
db
,),(),(
tbBtbA
σ+=
z
dt
11
(3.5.2)
da
,),(),(
taBtaA
σ−−=
z
dt
22
причем из простейшей задачи для растяжения цилиндра имеем решение
P
=σ
z
−π
.
22
ab
)(
(3.5.3)
Если принять, что ростовые коэффициенты есть функции только време-
ни и не зависят от координаты, то для их нахождения имеем задачу Коши
db
,),(),(
tbBtbA
σ+=
z
dt
11
(3.5.4)
da
,),(),(
taBtaA
σ−−=
dt
,)0(
aa =
0
22
,)0(
bb =
0
которая легко интегрируется, если известны ростовые функции
Рассмотрим сначала случай, когда
z
(3.5.5)
),(
,
A
,
B
i
i
i
2,1
— постоянные величины.
148
).(
3.5. Об идентификации ростовых коэффициентов
=
=
A
Δ+=
N
k
=
N
A
−
=
=
tbqA
f
++−−=
1. Пусть
=
,21AAA
=
,21BBB
тогда
db
,
BA
σ+=
dt
z
(3.5.6)
da
.
BA
σ−−=
dt
z
Нетрудно получить в этом случае первый интеграл системы, складывая эти
уравнения:
da
db
dt
dt
,0=+
откуда
,)()(
cbatbta =+=+
000
(3.5.7)
и далее получаем дифференциальное уравнение первого порядка
db
dt
BA
+=
P
.
cbc
−π
)(4
00
(3.5.8)
Обратная коэффициентная задача состоит в определении коэффициентов
боре временных точек
и B по измеренным значениям внешнего радиуса в дискретном на-
),(
tbb =
kk
1
kk
+
,
ttt
...,,1
и представляет
собой конечномерную ОЗ.
Численное решение поставленной ОЗ возможно с использованием процедуры численного дифференцирования на основе конечно-разностной
схемы, изложенной в п. 1.7. В результате получим систему
уравнений относительно
и ,B которые можно определить при помощи
линейных
метода наименьших квадратов. Таким образом, задача отыскания коэффициентов сводится к задаче минимизации квадратичного функционала невязки
N
),(
∑
k
k
1
=
J
A
∂
J
=
∂
B
∂
т. е.
∂
2. Пусть теперь
,0=
где
−−=
P
BAzBAJ
−π
k
1
z
k
21
+
=
t
Δ
,
AAA ==
2
→
)(4
cbc
00
bb
kk
.
,1BB
,min
,2qBB
тогда, умножив первое и вто-
(3.5.9)
рое уравнения (3.5.4) на
a =
),,,,(
B
2
и
B
соответственно и сложив их, получим
1
.)1(),,,(
qbaqbtqAtbqAf
00
(3.5.10)
149
Модуль 3. Нелинейные обратные задачи
A
=
Определение
db
BA
+=
dt
сводится к решению дифференциального уравнения
b
P
22
−π
.
)),,,((
tbqAfb
(3.5.11)
Аналогично предыдущему случаю при использовании конечно-разност-
ной схемы в комбинации с методом наименьших квадратов задача определения ростовых коэффициентов ,
,B q из (3.5.11) сводится к задаче оты-
скания минимума неквадратичного функционала невязки.
Рассмотрим теперь случаи, когда
,iA
,iB
i
2,1
— функции от времени
db
,)()(
tBtA
σ+=
z
dt
11
(3.5.12)
da
dt
22
Отметим, что даже если заданы обе функции
z
),(ta
),(tb
то по ним нель-
.)()(
tBtA
σ−−=
зя однозначно восстановить четыре функции. Поэтому необходимы некоторые упрощающие предположения, позволяющие снизить число определяемых функций.
3.6. Обратные коэффициентные задачи для упругого стержня
В предыдущих параграфах рассматривались обратные коэффициентные
задачи. Они решались в явном виде (пп. 3.2, 3.3), или для них требовалось
определить конечное число параметров; такие задачи в предисловии были
названы конечномерными ОЗ. Гораздо более сложными для исследования
являются задачи, где требуется определять некоторые функции координат,
что приводит, вообще говоря, к бесконечномерной обратной проблеме.
этом всегда у исследователя имеется возможность свести эту задачу
При
к конечномерной путем разложения искомой функции по некоторой системе базисных (по полиномам, тригонометрическим полиномам, системам
экспонент), как это описано в методе оптимизации (п. 1.10), и определить
коэффициенты разложения на основе минимизации функционала невязки.
Наиболее сложным при таком подходе является выбор размерности
конечномерного подпространства, который опирается как на свойства соответствующих нелинейных операторов, так и на уровень погрешности входной
,δ
информации
который является важнейшей входной характеристикой
в некорректных задачах.
150
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]