Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Обратные и некорректные задачи. Учебник
.pdf
1.6. Способы преодоления некорректности. Основные методы регуляризации
δ
FUA
U
F
M
F
f
A
M
f
∈
=
FUA
A
U
F
f
∈
f
M
J
M
δ
сматривать в качестве приближенных решений (1.3.1), причем при
0→
uu
M
∈
Uu
δ
.0sup →−
Введем в рассмотрение понятие квазирешения. Пусть в (1.3.1)
→:
непрерывен, а M — компакт в
.
Определение 1 [9, 20]
Квазирешением уравнения (1.3.1) называется элемент
рующий невязку
][
2
fAuuJ −=
на множестве
.
Из определения квазирешения следует, что оно существует
силу непрерывности оператора
,
функционал J достигает на компакте
своей точной нижней грани; в случае, когда
с обычным решением, поскольку
uJ
k
.0][min
,
u
минимизи-
k
∈∀
,AM
совпадает
u
k
Имеет место следующая теорема.
Теорема 1 [9]
Пусть
→:
— линейный непрерывный оператор, такой что урав-
,
и, в
нение
в
); тогда для любой функции
венно и непрерывно зависит от
0=
u
имеет только одно решение на M (M — выпуклый компакт
квазирешение существует, единст-
.
Эта теорема является основой при построении устойчивых методов решения многих ОЗ. Часто на основе априорной информации о решении задачи можно сделать заключение о принадлежности его некоторому компакту ,
функционала ][u
правой части равна
а задача отыскания u сводится к проблеме отыскания минимума
на
.
При этом, если задана величина погрешности
δ
, что является важнейшей априорной информацией
при решении некорректных задач, то процесс минимизации функционала
невязки можно завершить, как только найден элемент
нено условие
fAu
.δ≤−
δδ
u
такой, что выпол-
2. Метод регуляризации Тихонова
Рассмотрим некорректную задачу (1.3.1), причем A — вполне непрерывный оператор. Из предыдущего параграфа следует, что использовать
функционал невязки для построения регуляризованного решения нельзя
и требуется сформировать некоторый другой, более общий функционал
51
Модуль 1. Прямые и обратные задачи. Понятие о некорректных задачах
F
F
f
α
A
∈
α
<
−
(
δ=η
по сравнению с ним. Таким функционалом является стабилизирующий
функционал, введенный А. Н. Тихоновым:
α
22
ufAuuM
U
.0,][
>αα+−=
(1.6.1)
Теорема 2 [28]
,0>α∀
разрешима и имеет единственное решение
определения оператора
∈∀
задача об отыскании минимума функционала (1.6.1)
),(
ADu ∈
;
кроме того, если
где
),(0AD
то справедливо соот-
)(AD
— область
ношение корректности
α
1
.
α
fu
F
≤
V
Условие обращения в нуль первой вариации функционала является не-
обходимым условием экстремума:
1
α
[]
*
()
()
ufAuAuM
,02
=α+−=
откуда получается уравнение Эйлера
**
fAuAuA
=α+
(1.6.2)
для нахождения элемента, на котором достигается экстремум стабилизирующего функционала
α
][uM
. Нетрудно показать и единственность реше-
ния для уравнения (1.6.2).
Таким образом, из теоремы 2 следует способ построения регуляризо-
.0
>
ванного решения для некорректной задачи при любом
Отметим, что наиболее важной проблемой при реализации метода регу-
ляризации Тихонова является выбор параметра регуляризации.
Пусть
смотрим уравнение
симирующий оператор, который может быть и конечномерным,
шение, найденное по методу Тихонова,
u есть точное решение операторного уравнения .fuA = Рас-
α
η
h
,
= fuA
где ;δ<−
δ
ff ,hAA
δ
)
h
,
— вектор погрешности.
A — аппрок-
h
h
α
u — ре-
η
Имеет место следующая теорема.
52
1.6. Способы преодоления некорректности. Основные методы регуляризации
A
α
η
η
(
−
<
−
(
μ
α
−
−
δ
Теорема 3 [28]
Пусть A — взаимно-однозначный оператор, точное решение операторного уравнения
()
образом, что
Du ∈ тогда
2
δ+h
→
()
ηα
),(
.0
uu →
η
при
,0→
если
()
,0→ηα таким
Важный вывод из теоремы 3 состоит в том, что параметр регуляризации
α должен быть согласован с уровнем погрешности .
Очень часто при решении некорректных задач используется критерий
обобщенной невязки. Для формулировки этого критерия введем меру несо-
)
=μ fuAAа
вместимости:
inf,
hh
. Справедлива следующая теорема.
δδη
Теорема 4 [9]
Если
ff
,δ<−
δ
,uAf = ,hAA
h
то
δη
)
Af при
0, →
h
.0→η
Замечание 1
Ключевым моментом в методе регуляризации Тихонова является выбор
положительного параметра регуляризации
.
При проведении модельных
расчетов выбор этого параметра весьма важен. Для того, чтобы не сильно
«испортить» задачу, его необходимо выбирать весьма малым (
−
93
).
1010
Конкретный выбор базируется на важнейшей априорной информации в не-
.
корректной задаче — величине погрешности
Отметим, что параметр
)(δα может быть выбран как корень уравнения (критерий невязки)
fAu
δδ
.δ=−
Также выбор параметра регуляризации может быть осуществлен в соот-
ветствии с принципом обобщенной невязки [9, 20], т. е. параметр
α нахо-
дится из уравнения
22
α
η hh
()
α
ηδ
2
AfuhfuA
δ
,0),()(
=μ−+δ−−=αρ
(1.6.3)
δ
inf),( — мера несовместности исходного уравнения
h
∈
Du
с приближенными данными. Если выполняется
−=μ fuAAf
h
δ
2
22
μ+δ≥
),,(
Aff
h
δδ
то уравнение (1.6.3) имеет один положительный корень, который и выбирается в качестве параметра регуляризации в методе Тихонова. Для отыскания корня уравнения (1.6.3) можно использовать модификацию метода
53
Модуль 1. Прямые и обратные задачи. Понятие о некорректных задачах
α
α
α>α
ε>α−α
α
α
ρ
α
ρ
α=α
α=α
α=α
U
M
U
M
M
R
хорд. Опишем кратко следующую итерационную процедуру нахождения
параметра регуляризации, основанную на методе секущих.
Пусть
выберем следующее значение
и вычислим соответствующие значения функции
.0>ε Зададим начальное значение параметра регуляризации
(
1
,
01
01
), полагая
),(
0
1
Далее стро-
).(
1
=α
0
0
2
ится последовательность по следующей рекуррентной формуле:
=α
n
1
−
α
причем, если
если
n
)(
α−α
21
−−
nn
1
−
n
αρ
2
−
n
αρ−αρ
nn
,0)()(
>αραρ
12
−−
nn
⎧
то
,0)()(
<αραρ
12
−−
nn
⎨
⎩
12
−−
то
,
)()(
,
12
−−
nn
1
−
то,0)()(если
;
nn
,то,0)()(если
α=α<αραρ
−−
−−
nnnn
12
21
.
α=α<αραρ
nnnn
α
2
−
Элементы этой последовательности вычисляются до тех пор, пока выпол-
ε≥α−α
няется условие ,
12
−− nn
метра регуляризации выбирается
а в качестве подходящего значения пара-
.
1−
n
,
,
3. Метод регуляризации на компактных множествах [4, 9]
Рассмотрим операторное уравнение (1.3.1) в случае некорректной задачи. Из метода квазирешений известно, что, например, для процедуры
их построения необходимо выбирать компактное (замкнутое ограниченное)
.
множество
чтобы сузить область определения
⊂ Какой же априорной информацией нужно обладать,
до компактного множества М ? Такой
информацией служат некоторые свойства искомых функций. Рассмотрим
несколько типичных в практике решения ОЗ способов выбора компакта
1.
— ограниченное множество в
n
Эта ситуация встречается, ко-
.
.
гда исходное операторное уравнение, сформулированное как задача
отыскания решения в некотором функциональном пространстве, может быть параметризовано конечным числом параметров. Тогда метод квазирешений в этой ситуации будет аналогом метода наименьших квадратов.
В ряде ОЗ в качестве априорной информации обычно существует ин-
2.
54
формация о характере решения, такая как:
положительность,
а)
1.6. Способы преодоления некорректности. Основные методы регуляризации
)
)
J
M
[
+
<
+
монотонность,
б)
выпуклость решения.
в)
Отметим, что определенные ниже множества являются компактами
],[2baL [29]:
— множество ограниченных, монотонно невозрастающих функ-
cM↓
в
1.
ций на отрезке.
2.
M
— множество ограниченных, выпуклых вверх функций:
c
3.
)
⎧
⎨
c
2
≤≤∈=
uCxubaLxuM
,)(0],[)(
⎩
— множество ограниченных, невозрастающих, выпуклых вверх
M
c
↓
+
⎛
⎜
⎝
⎞
⎛
≥
⎟
2
⎜
⎠
⎝
+
2
⎫
)()(
xuxuxx
⎞
2121
.
⎟
⎬
⎠
⎭
функций:
)
⎧
uCxubaLxuM
,)(0],[)(
⎨
↓
c
2
≤≤∈=
⎩
+
⎛
⎜
⎝
⎞
≥
⎟
2
⎠
xuxuxx
+
)()(
2121
,
2
⎫
≥≤ xxxuxu
⎬
1212
⎭
Для отыскания квазирешений на компактных множествах обычно при-
бегают к процедуре дискретизации. Фактически для построения прибли-
)(
n
женного решения достаточно научиться строить последовательность
u
.),()(
,
которая минимизирует функционал невязки
на множестве
.
О спосо-
бах дискретизации и сведении к конечномерным проблемам речь пойдет
ниже в следующих разделах.
Пример 1
Пусть задача (1.3.1) сведена к минимизации
функционала невязки на описанном выше
]
множестве
LM
с⊂↓
2
. Простейшая аппрок-
1,0
симация элементов такого подпространства
представляет собой функцию
где
a
,0a
a
удовлетворяют условиям
1
,0
1
aa
,0
>
10
и представляет собой ком-
()
=
,
xaaxu
10
,0
≥≥ ac
0
пактное множество — внутренность заштрихованного треугольника, изображенного
Рис. 1.6
на рис. 1.6.
55
Модуль 1. Прямые и обратные задачи. Понятие о некорректных задачах
A
R
−
A
η
N
η
N
η
N
Знание границ этого компакта (или оценок для них) весьма важно
при определении начальных приближений для многих типов задач, особенно при реализации оптимизационных методов.
4. Метод итерационной регуляризации [1,2]
Пусть задача (1.3.1) некорректна, такую задачу заменим задачей отыскания минимума функционала, для чего часто используют итерационные
процедуры.
Существует несколько способов прямого отыскания минимума функционала невязки. При этом для некорректных задач характерным для итерационного процесса является следующее свойство итераций. Начальные
итерации хорошо приближают точное решение, однако, начиная с некото-
итерации, для них характерно наличие колебаний и итерационный
рой
процесс «рассыпается». Это обусловлено тем обстоятельством, что в слу-
)(
чае незамкнутого образа оператора
в случае единственности решения
(1.3.1) не всякая минимизирующая последовательность будет сходящейся,
так как обратный оператор
1
неограничен. С ростом номера итераций
приближения могут довольно сильно отличаться от искомых решений.
Возникает проблема — на какой итерации следует остановиться и оборвать
итерационный процесс, чтобы избежать его «рассыпания»? Метод итерационной регуляризации состоит именно в том, чтобы по имеющейся априорной информации о погрешности входных данных
выбрать некоторое
приближение, близкое к точному решению; в частности, здесь параметром
регуляризации является номер итерации.
Имеет место теорема [1], свидетельствующая о принципиальном выборе
номера
при котором
)(
u
устойчивы к погрешностям исходных
N
),(η
данных, однако она не дает конструктивного способа выбора номера итерации. На практике один из возможных способов выбора
в условии согласования
Δ
с
N
H
0
uh
δ+=Δ
, где
0
u
— нормальное реше-
)(η
состоит
)(
ние (1.3.1). Критерий выбора
{}
n
nnN Δ<Φ=
H
где
,][:min
формулируется следующим образом:
][nΦ
— некоторый функционал, зависящий
от конкретного итерационного метода.
56
1.6. Способы преодоления некорректности. Основные методы регуляризации
+
A
+
A
N
δ
f
F
δ
5. Метод сингулярных разложений
Одним из эффективных методов построения регуляризующего оператора является метод усечения сингулярных разложений (см. п. 1.2 о понятии
сингулярного разложения оператора).
Теорема 5 [21]
Если оператор A допускает сингулярное разложение
∗
∑
k
∞
2
σ=
=
1
,),(
uuuAuA
kkk
(1.6.4)
то оператор, заменяющий обратный, строится по правилу
∞
1
−+
σ=
∑
1
k
=
В силу теоремы 5 оператор
чае, если
k
.0→σ
.),(
ufffA
kkk
не ограничен в том и только в том слу-
В этом случае оператор
(1.6.5)
можно регуляризовать и при-
дать смысл с помощью усеченного сингулярного разложения, сохраняя конечное число членов ряда в (1.6.5):
N
1
−
σ==
∑
1
=
k
Здесь параметром регуляризации служит число
исходя из априорной информации о погрешности
.),(
uffRfu
kkk
,
которое выбирается
.
(1.6.6)
Анализируя структуру сингулярного разложения, можно понять приро-
.
ду некорректности. Пусть
f
известно только
, то о коэффициентах разложения Rf из теоремы 5 мож-
δ
f
аппроксимирует
δ
,
т. е.
ff
δ
δ≤−
Если
но утверждать лишь то, что
−−
11
ffff σδ≤σ−σ
δ
Из этой оценки ясно, что вклад слагаемых
(практически при
σ
k
k
.),(),(
kkkkk
u
в разложение
k
) нельзя вычислить с приемлемой точностью.
<σ
+
fA
для малых
Таким образом, зная сингулярные числа и соответствующие им собственные элементы, можно судить о том, какие компоненты решения (1.6.6) вычисляются по приближению элемента
, а какие вычислить невозможно.
f
δ
К сожалению, вычисление или нахождение асимптотик сингулярных чисел
операторов и численное исследование их зависимостей от параметров не-
57
Модуль 1. Прямые и обратные задачи. Понятие о некорректных задачах
A
U
A
F
U
V
N
≤
−
∅
=
(
∅≠δ
N
корректной задачи является весьма сложной проблемой, хотя для некоторых задач можно построить их явные представления (особенно в случае
самосопряженных операторов).
6. Проекционный метод [9]
Одним из способов построения приближенных решений операторных
уравнений является проекционный метод. Он базируется на том, что решение операторного уравнения отыскивается в виде линейной комбинации
некоторой линейно независимой системы функций, именуемых базисными.
Таковыми являются методы Бубнова — Галеркина, Петрова и т. д., которые
обычно применяются при решении дифференциальных уравнений. При использовании
этой идеи для решения операторных уравнений 1-го рода
с вполне непрерывными операторами нужно формулировать достаточно
жесткие условия на систему базисных функций.
Рассмотрим операторное уравнение (1.3.1), где
рывный оператор ,: F
странства, причем
→
{}
0ker =A
,
— сепарабельные гильбертовы про-
.
— линейный непре-
Будем отыскивать его решение в виде
N
,
ϕ=
где
au
∑
k
1
=
{}
ϕ
— заданная линейно независимая система в
k
kkN
.
Представление ви-
(1.6.7)
да (1.6.7) дает существенную априорную информацию о точном реше-
;u
нии
размерность представления N и коэффициенты этого разложения
требуется определить. Отметим, что если при решении корректных задач
на основе такого подхода с увеличением числа
u
как правило,
приближается к точному решению, то для некорректных
N
базисных функций,
задач с неточно заданной правой частью
Рассмотрим способы определения
U
систему множеств
в
()
Введем
*
∑
k
N
kk
1
=
()
:)(
δ= NN
*
δ
δ−NU
⎧
⎨
⎩
⎫
δ≤−ϕ==δ
⎬
⎭
,,1
это не так.
f
δ
,
u
если
N
>
qqfAuauNU
NU
)
*
.1,,,
.,
Имеет место теорема, позволяющая осуществить выбор
58
ff
δ
.δ
Определим
.
1.6. Способы преодоления некорректности. Основные методы регуляризации
=
δ
δ<δ
<
{
ϕ
A
A
A
{
ϕ
σ≥σ
(
δ
A
A
[
Теорема 6 [9]
()
NN
для
∗
0
0
и
uu
()
,→−δ∈
NUu
∗
N
0sup
при
,0
>δ∃
0
→δ
такое что
.0
Отметим, что сходимость приближенных решений к точному будет
иметь место лишь при специальном выборе системы
тельно оператор
вполне непрерывен. Тогда оператор
}
. Пусть дополни-
k
*
— вполне не-
прерывный самосопряженный оператор, и по теореме Гильберта — Шмидта существует ортонормированный базис из собственных элементов
оператора
∗
AA ϕσ=ϕ
σ
где
— набор сингулярных чисел
k
Теперь определим множества
честве базисных собственные функции оператора
жества
()
,*AA
такой что
2
,
kkk
......
>≥
21
)
,NU
как это указано выше, взяв в ка-
непусты при достаточно большом ,N и справедлива сле-
δ
,
NU
*
. Тогда
0>δ∀
мно-
k
}
дующая теорема.
Теорема 7 [9]
Если базис из собственных элементов упорядочен по невозрастанию
0
→δ
сингулярных чисел, то при
uu
()
,→−δ∈
NUu
∗
N
.0sup
Замечание 2
Обычно постоянные
ного функционала невязки
a
определяются из условия минимума квадратич-
k
]
N
2
−= fAuuJ
(практически идентично ме-
δ
тоду квазирешений), откуда получаем возможность решения линейной алгебраической системы
N
,
baB
∑
k
1
=
=
mkkm
fbB
δ
),,(),,(
ϕ=ϕϕ=
mmmkkm
(1.6.8)
59
Модуль 1. Прямые и обратные задачи. Понятие о некорректных задачах
≠
A
A
причем матрица системы есть матрица Грама для системы элементов
{}
ϕ
,
k
km
0det
в силу линейной независимо-
*
может
которая невырождена, поскольку
сти
ϕ
.
}{
k
B
К сожалению, система собственных функций оператора
быть построена аналитически далеко не всегда; тогда приходится исполь-
U
зовать любую полную в
систему функций, что в значительной степени
усложняет как обоснование этого метода, так и его практическую реализацию, хотя в последние годы появились результаты, позволяющие с успехом
использовать этот подход.
Замечание 3
Из доказательства теоремы 7 следует конструктивный способ выбора
)(
δ=
NN
∗
∞
()
∑
δ=
Nk
)(
на основе неравенств
2
δ
k
22
,,
δ>ϕ
qf
∞
()
∑
δ
+δ=
1)(
Nk
2
k
qf
22
δ≤ϕ
.,
Отметим, что проекционный метод является одним из важнейших прак-
тических методов решения некорректных задач.
1.7. Регуляризованные методы вычисления значений
неограниченных операторов. Численное дифференцирование
Вычисление значений неограниченных операторов в условиях зашумленности исходных данных представляет собой актуальную задачу вычислительной математики и одну из важнейших некорректных задач. В качестве примера рассмотрим некорректную задачу численного дифференцирования функции, заданной в наборе точек. В прикладных исследованиях,
где встречается подобного рода проблема, значения функции задаются
с определенной
измерительной техники. Поэтому стандартные численные методы, основанные на аппроксимации оператора дифференцирования оператором конечных разностей, в данном случае неприменимы, поскольку задача является некорректной и малая погрешность входной информации может при-
степенью точности, что является следствием погрешности
вести к большой погрешности при реализации процедуры численного дифференцирования.
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]