Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Обратные и некорректные задачи. Учебник
.pdf
1.4. Некорректные задачи. Примеры. Причины некорректности
t
F
которую можно сделать сколь угодно малой выбором числа
∞
tftf
ε=−
)()(
∑
n
n
=
1
при
12
0=
последний ряд расходится. Таким образом, если уклонение
суммы ряда брать в метрике
1
cos
nt
может быть сколь угодно большой, поскольку
,C
суммирование ряда Фурье не является ус-
тойчивым. Если же расстояние между функциями оценивать в метрике
ε
, но разность
,2L
то задача суммирования рядов Фурье с приближенно заданными (в метри-
l
) коэффициентами будет корректно поставленной на паре пространств
ке
2
что легко установить на основе равенства Парсеваля, поскольку
),,( U
2/1
⎛
⎜
[]
∫
⎜
0
⎝
−
)()(
21
⎞
2
⎟
⎟
⎠
∞
⎛
π
⎜
=
∑
⎜
2
=πn
1
⎝
−
acdttftf
nn
2/1
⎞
2
⎟
)(
⎟
⎠
π
ε=
.
1
2
Упомянем еще некоторые классы задач, приводящие к некорректным
проблемам. Во-первых, это задачи вычисления значений неограниченных
операторов, например задачи нахождения производных от функций, заданных таблично или на некоторой сетке, причем узловые значения находятся
при дискретизации некоторой задачи.
Другим важным классом некорректных задач являются задачи на спектре (например, задача
Неймана для уравнения Лапласа). Для этого класса
задач развита теория псевдорешений, причем в эту схему укладываются методы решения неустойчивых задач (плохообусловленных, вырожденных)
систем линейных алгебраических уравнений.
Отметим один важный вывод. Задача, некорректная для одной пары
пространств, может оказаться корректной для другой пары. В частности,
корректности часто можно достигнуть, сужая область
принадлежности искомого элемента до замкнутого ограниченного множества или конечномерного, когда искомая функция параметризуется конечным набором параметров (в инженерной практике наиболее часто используется аппроксимация неизвестной функции ее отрезком ряда Тейлора, Фурье, полиномом
степени не выше заданной и т. д.). В иных ситуациях требуется более глубокое проникновение
в причины некорректности и разработка способов
ее преодоления. Об этих аспектах при исследовании некорректных задач
и пойдет речь в следующих разделах.
41
Модуль 1. Прямые и обратные задачи. Понятие о некорректных задачах
U
U
U
M
M
M
A
1.5. Корректность по Тихонову (условная корректность)
и l-корректность
В силу того что при постановке ОЗ правая часть операторного уравне-
ния известна приближенно, вопросы устойчивого построения решения операторного уравнения (1.3.1) приобретают первостепенное значение для
практики. При этом главную роль играют идеи о сужении множества решений из
и учете априорной информации. Такая априорная информация
о решении часто имеется, ибо неизвестная характеристика ОИ представляет физическую величину, для которой характерны некоторые свойства, такие как: а) положительность, б) ограниченность, в) монотонность,
г) выпуклость и т. д. Учет такой априорной информации позволяет в ряде
ситуаций сузить множество
до некоторого множества, на котором решение искомой задачи будет устойчиво. Это обстоятельство привело к развитию понятия корректности по Адамару и формированию понятия корректной по Тихонову, или условно-корректной задачи.
Определение 1 [28]
Задача (1.3.1) называется условно-корректной, если выполнены сле-
дующие условия:
априори известно, что решение задачи существует для некоторого
1)
F
класса данных из
;
⊂
ву
и принадлежит некоторому заданному множест-
решение единственно на множестве
2)
3)
существует непрерывная зависимость решения уравнения от правой
части при условии, что возмущения не выводят
.
ректности
;
u
из множества кор-
δ
Замечание
В случае, если задача (1.3.1) условно-корректна и M — компакт, воз-
можно построение оценок устойчивости нахождения обратного оператора.
Однако для многих ОЗ априорная информация либо отсутствует, либо
не позволяет значительно сузить первоначальную область определения
.
оператора
42
1.5. Корректность по Тихонову (условная корректность) и l-корректность
ε
∀
C
lDA
F
l
C
ε
∞=ε
{
}
C
ε
U
UUU
A
Ω
r
A
AUAR
=
U
f
A
−
/
C
/
α=ε
Определение 2 [3]
Задача (1.3.1) называется l-корректной [3], если
что
U
Du ∩∈∀
()
где функционал
)()(
выполняется неравенство
,)(
fCulu ε+ε≤
)(u
называется стабилизирующим функционалом и обла-
дает свойством полунормы (см. п. 1.2). Можно считать
,
ющей функцией
причем
Свойство l-корректности гаранти-
C
0
+→ε
.)(lim
0>
0)( >ε∃
, такое
(1.5.1)
)(ε
невозраста-
рует единственность и устойчивость решения на любом множестве вида
mullDADuM ≤∩∈= )()()(
.
Согласно определению 2, корректные задачи оказываются l-корректны-
ми, причем
)(ε
не зависит от
.
Приведем некоторые примеры построения оценок l-корректности.
Пример 1
Пусть
,
F — гильбертовы пространства,
∈Ω∈
),(),(
}0{ke
=
и область значений
−
ратор
1
UARA →
)(:
задан на плотном в U многообразии, и тем самым
корректно определен сопряженный оператор
*1−
= ADlD
),)(()(
=
*1
−
uAul
)(
.)()(
Докажем, что задача
оператора A плотна в
A
u =
.
Опе-
*1−
.)(
Положим
l-корректна,
причем
1
Auulu
)2()(
и
ε+ε≤
.2
1)( ε=ε
2
В самом деле, если
),(vu
— скалярное произведение в ,U то
−−
*11
AuuAAuAuuuu
≤===
),)((),(),(
2
*12*1
ε+ε≤⋅≤
(1.5.2)
−−−
2
AuuAAuuA
2
.)2()()(
В этой оценке были использованы неравенства Коши — Буняковского,
212
а также
−
baab
α+α≤
Извлекая квадратный корень, с учетом неравенства
,2
2
.2
2/122
,)(
baba +≤+
0, ≥ba
приходим к искомой оценке (1.5.2).
43
Модуль 1. Прямые и обратные задачи. Понятие о некорректных задачах
tatut
v
f
A
=
g
Av
l
Ttx
Ω
xfx
v
x
tvt
v
T
t
Применим эту общую конструкцию для получения оценки l-корректно-
сти (1.5.1) задачи дифференцирования
t
∫
0
=ττ=
),()(
tfduAu
∈
′
2
1
],0[),0(
TCTLu ∩
.
Имеем
2
2
Положим
тогда
2
tt
2
2
′
=
2
1
−
ε+ε≤
22
Tuuul +
.)2()(
uulu
2
,)()(
2
1
TClD =
TT
′
−=∂=∂=
∫∫
00
2
2
′
ε+ε+ε≤
],0[)(
,
2
≤
dttAutuTАuTudttAutuAuuu
))()(())()(())(()(),(
2
2
2
−−
ε+
В частности, если
T
,0)(,0)(
==
dttuTu
∫
0
то
1
′
ε≤
22
−−=
−
ε+
,)()( b
2
.)2(
Auuu
Отметим, что с помощью замены переменных
2
btattftg −−=
,2/)()(
где параметры a и b находятся
2
AuuTАuTu
TAuAuAu +=
(1.5.3)
2
.)2())(()2()(
2
22
;))((
из условий
′
сводится к уравнению
bTaTf
,0)( =−−
,
=
в котором функция v уже удовлетворяет ус-
2
,02/)(
=−− bTaTTf
уравнение
u
ловиям (1.5.3).
),(
Недостатком общей оценки (1.5.2) является то, что условие
Du ∈
как правило, труднопроверяемо на практике, ибо для этого требуется знать
*1−
структуру многообразия
AD
).)((
Пример 2 [3]
Рассмотрим задачу для уравнения теплопроводности с обращенным
временем
,
vv −=
xxt
=
∈
),()0,(
,0),(),0( =π=
∈
×π=
),,0( π∈
),,0(
),,0(),0(),(
2
),(
Ω∈Cv
(1.5.4)
(1.5.5)
(1.5.6)
44
1.5. Корректность по Тихонову (условная корректность) и l-корректность
x
f
Txv
x
s
s
π
π
π
I
x
π
π
xfxvx
=
=
π
s
−
−
в которой по функции
)(
требуется найти функцию
u =
).,()(
Сфор-
мулированная ОЗ некорректна по Адамару, однако для нее можно получить
оценку l-корректности. С этой целью рассмотрим интеграл
π
T
∫∫
00
2
+−=
xxt
,)2exp(
dtdxvvstI
,0>
который, в силу уравнения (1.5.4), равен нулю, и преобразуем его, сделав
замену
=
где
0
st
),,(
txwev
— произвольная постоянная. Тогда имеем
T
00
π
T
00
2
xxt
π TT
TT
∫∫ ∫∫∫∫
00 00
xxtt
T
00
∫∫∫∫∫∫
0000
22
xt
22
xxt
2
ππ
∫∫∫
0
+++=++==
dtdxwswdtdxwdtdxwswwI
π
2),()(2
−=−∂=
(1.5.7)
=−∂≥++
dtdxwwdtdxtxwsdtdxwwww
xtxt
T
22
x
.)),(),(()(
dxtxwtxswdtdxwsw
0
При получении этого неравенства в интеграле
отброшены два первых
неотрицательных слагаемых и осуществлено интегрирование по частям
.
по переменной
(1.5.5)
В силу замены (1.5.7) и однородных краевых условий
так что при интегрировании по частям внеин-
,0),(),0(
tt
=π= twtw
тегральные слагаемые пропадают. Из последней оценки получим неравенство
ππ
2
0
2
0
2
0
2
xx
0
π
≤−≤− dxxwsdxxwdxxwsdxTxwdxTxws
2
∫∫∫∫∫
0
.)0,()0,()0,(),(),(
Учитывая, что
sTsT −−
==
),(),(),(
xueTxveTxw
w
),()0,()0,(
получаем
π
2
−
0
2
≤ dxxfsdxxuedxxuse
Разделив обе части этого неравенства на
π
2
−
sTsT
0
2
′
x
+
∫∫∫
0
2
.)()()(
sT
2
e
и положив
=ε s
12
,
по-
лучаем искомую оценку:
2
/
T
ε
+ε≤
x
22
.
feuu
2
45
Модуль 1. Прямые и обратные задачи. Понятие о некорректных задачах
f
A
ε
txv
t
=
=
C
f
x
x
=
=
x
p
C
x
∈
==+′′
Таким образом, в рассматриваемом случае задача решения уравнения
2
u =
l-корректна, причем
/)(ε
=εTeC и при
0→
растет достаточно
быстро, а
.)(
uul =
x
2
Использованный в этом примере способ в настоящее время является
достаточно эффективным методом получения теорем единственности
и оценок условной устойчивости для широкого класса некорректных краевых задач математической физики. Основная идея его заключается в получении с помощью интегрирования по частям оценки устойчивости с весом,
),(
принимающим максимальные значения там, где функция
0
=
(в данном примере при
), и быстро убывающим при удалении от мно-
задана
гообразия, на котором известны данные Коши.
Контрольные вопросы и задачи для самостоятельного
решения к разделу 2
1. Исследовать на корректность по Адамару следующие задачи:
=+
,
fuu
121
=+
;123
fuu
221
а)
⎧
⎨
⎩
2
б)
Au −=
в)
Определить, при каких k корректны следующие задачи:
2.
а)
б)
в)
Найти условия на
3.
auu =
xxt
′′
=
для оператора
Показать, что следующие задачи являются некорректными:
4.
⎧
а)
⎨
⎩
dx
2
,
2
,
u ϕ=
2
2
2
∈= uuCuAD
fuu
=+
121
=+
CffukuAu ∈=+
′
),(
q
= uuuxquxpAu
,2
fuu
;123
221
ud
2
CuAD ∈=
),()0,(
]1,0[,
,
′
=∈= uuCuAD
=
],1,0[{)(
tu
x
};0)1()0(],1,0[{)(
==∈= uuCuAD
};0)1()0(],1,0[{)(
=
′
}.0)1()0(],1,0[{)(
=
]1,0[)(
, при которых корректна задача
uu
,0),0(
},0)1()0(
tlu
x
.0)1()0(,)())((
∈
.0),(
];1,0[
46
Тест рубежного контроля к разделу 2
π
xxfxv
∈
δ<−
TCU
=
f
A
C
f
∈
k
k
б)
xxt
∈=
xx
=π=
),,0(),()0,(
).,0(,0),(),0(
Tttvtv
2
Тест рубежного контроля к разделу 2
1. Для корректной задачи из условия
0→δ
...
а)
→δ
б)
→δ
lim
в)
→δ
lim
г)
→δ
2.
Задан оператор:
uu
0
0
uu
0
− uu
0
0lim
=−
δ
δ
δ
δ
;
0lim
≠=−
Cuu
∞=−
;
;
не существует.
t
()
∫
0
,)(
==
fdsssuAu
),(),,0(),0(),(,
Ω∈×π=Ω∈−= CvTtxvv
ff
δ
следует, что при
],0[
,
1
],0[
TCF =
. Зада-
ча нахождения решения операторного уравнения
корректна;
а)
некорректна;
б)
условно-корректна;
в)
г)
нет правильного ответа среди перечисленных.
2
3.
Задача
′′
=
,
fukuAu =+
]1,0[
,
корректна, если...
а)
,n
π≠
б)
в)
k
π≠
π
≠
,n
n
,
...,2,1,0=n
;
...,2,1=n
;
...,2,1,0=n
;
2
π
г)
≠
,2
nk π+
...,2,1,0=n
3
Критерий оценки:
раздел считается зачтенным, если обучающийся дал
u =
2
...
}0)1()0(],1,0[{)(
==∈= uuCuAD
правильные ответы не менее чем на 67 % тестовых заданий.
47
Модуль 1. Прямые и обратные задачи. Понятие о некорректных задачах
−
A
A
Раздел 3. Методы решения некорректных задач
1.6. Способы преодоления некорректности. Основные методы
регуляризации (метод квазирешений, метод регуляризации
Тихонова, метод регуляризации на компактных множествах,
метод итерационной регуляризации)
Некорректность многих задач может быть преодолена достаточно простыми средствами (например, неединственность преодолевается путем сужения множества, на котором отыскивается решение). В то же время
для многих задач, рассмотренных выше, требуются более кардинальные
меры. Рассмотрим способы преодоления некорректности и основные принципы построения решений некорректных задач, для чего проанализируем
основные причины
некорректности. Заметим, что главные причины некор-
ректности задачи (1.3.1) состоят в том, что или обратный оператор
не существует (не определен на всех элементах пространства
F
), либо неограничен. Следовательно, необходимо установить, каким оператором следует заменить обратный оператор, чтобы восстановить корректность. Сделаем небольшой экскурс в историю математики и посмотрим, каким образом преодолевались эти препятствия в процессе решения различных при-
кладных задач, какой оператор должен заменить обратный
1−
в случае
некорректной задачи и каким образом его строить.
Исследуя задачу об определении траекторий планет по данным астрономических наблюдений в начале XIX в., К. Гаусс и А. Лежандр почти одновременно пришли к проблеме решения переопределенных (число уравнений больше числа неизвестных) систем линейных алгебраических уравнений
N
,,...,,1,
NMMjbxa
≥==
∑
k
jkjk
1
=
1
x
где
— неизвестные коэффициенты разложений,
k
b
— известные величи-
j
ны, найденные из результатов астрономических наблюдений.
Ясно, что такая система совместна крайне редко [4–5], особенно когда
результаты наблюдений за астрономическими объектами, т. е. правые части
системы, имеют некоторую погрешность, связанную с различными причи-
48
1.6. Способы преодоления некорректности. Основные методы регуляризации
A
F
A
A
A
A
f
A
=
A
A
AAB
=
B
A
нами. Поэтому ими была изменена сама постановка задачи и было предло-
жено отыскивать решение задачи о минимизации функционала невязки,
порожденного исходной системой
MjN
⎛
⎜
∑∑
⎜
121
==
k
⎝
⎞
⎟
→
bxaJ
−=
jkjk
⎟
min,
⎠
что составило основную идею метода наименьших квадратов, который
и сейчас является одним из самых эффективных средств обработки резуль-
татов эксперимента [4, 28, 29]. Как известно, метод наименьших квадратов
приводит к решению линейной алгебраической системы с симметричной
квадратной положительно определенной матрицей и проблема построения
оператора, заменяющего обратный, в этой ситуации решается эффективно.
Рассмотрим реализацию идеи метода наименьших квадратов в приме-
нении к общим операторным уравнениям вида (1.3.1), когда
— вполне
непрерывный оператор (см. п. 1.2). Найдем минимум функционала невязки
2
,
fAuJ −= для чего составим уравнение Эйлера, найдя выражение
для первой вариации:
∂
=δ
α∂
∂
=αδ+
))(,)((][ fuuAfuuAuuJJ
α∂
=−δ+−δ+
=α=α 00
Тогда находим
к оператору
*
— транспонированная матрица
*
(в случае линейных алгебраических систем A — матрица,
=− fAuA
0)(
или
T
).
**
Итак, задача решения операторного уравнения
дена к задаче решения операторного уравнения
,
fAAuA =
где
u
*
*
— сопряженный
может быть све-
**
(в случае ал-
fAAuA
=
.0))(,(2),(2
=−δ=−δ= fAuAufAuuA
гебраических систем это соотношение называется системой нормальных
уравнений). Если рассмотреть этот подход с позиций теории операторов,
то отметим следующее обстоятельство. Оператор
значит
*
тоже вполне непрерывен [25, 30]. В силу известных свойств
вполне непрерывных операторов оператор
вполне непрерывен,
*
вполне непрерывен
и является неотрицательно определенным самосопряженным оператором.
Тогда собственные значения оператора
можно, еще быстрее, чем сингулярные числа оператора
также стремятся к нулю (воз-
). Таким образом,
49
Модуль 1. Прямые и обратные задачи. Понятие о некорректных задачах
A
UUА
A
A
A
f
M
M
хотя метод наименьших квадратов и позволяет строить оператор, заменяющий обратный, для некорректных задач этот оператор оказывается неограниченным и третье условие корректности по Адамару не выполняется.
Вместе с тем принцип минимизации функционала невязки положен в основу некоторых алгоритмов регуляризации, хотя и не устраняет всех проблем, связанных с
некорректностью исходной задачи. Легко дать интерпретацию подхода метода наименьших квадратов с точки зрения спектральных
свойств операторов. Пусть
— вполне непрерывный оператор
→:
и имеет дискретный спектр, вообще говоря комплексный. Переход к системе нормальных уравнений позволяет перевести спектр его на веществен-
*
ную положительную полуось, поскольку
неотрицательный самосо-
пряженный. Однако, если среди собственных значений оператора имеются
нулевые, то имеет место неединственность; поскольку собственные значения имеют точку сгущения в нуле, то обратный оператор неограничен. Таким образом, простое использование идеи метода наименьших квадратов
не позволяет восстановить непрерывность решения в зависимости от входной информации.
Рассмотрим далее
некоторые основные способы, позволяющие это осуществить. Естественно, что при этом необходимо некоторым образом изменить постановку задачи, возмутив оператор
,
чтобы преодолеть некор-
ректность, либо поставить условие ограниченности на искомое решение.
1. Метод квазирешений [9, 20]
Рассмотрим некорректную задачу (1.3.1). Предположим, что для точной
правой части
торому компакту
ние
и величина погрешности δ, такие что
f
δ
информацию, построить приближенное решение
бы к точному
существует единственное решение, принадлежащее неко-
.
Однако элемент f неизвестен, задано его приближе-
.δ≤−δff
Требуется, зная эту
u
, которое стремилось
δ
u
при
fAuUuU
δδ
}.:{ δ≤−∈=
В силу некорректности задачи (1.3.1), произ-
.0→δ
Введем в рассмотрение множество
вольный элемент этого множества нельзя рассматривать в качестве приближенного решения. Поскольку в качестве априорной информации
выступает условие
M
пересечения с
=
u ∈
I
δδ
,
то естественно сузить
.MUU
Тогда элементы множества
M
U
можно рас-
δ
U
δ
до
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]