Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Обратные и некорректные задачи. Учебник
.pdf
3.10. Коэффициентные обратные задачи электроупругости
ξ
~
p
l
[
Y
[
t
f
T
t
Y
∞
=
T
yy
;,)1(
>ξ−
yy
.),1(
ξ<−ξ
причем
⎧
yK
)(
=
⎨
⎩
Интегральное уравнение (3.10.5) решается численно на основе использования, например, квадратурных формул и сведения к линейной алгебраической системе относительно узловых неизвестных. Далее, для нахождения
трансформанты смещения
u
),,(
которая будет использоваться при реше-
нии ОЗ, найдем [9]
l
⎡
~
~
),(
),(
⎛
⎜
spluplu
⎢
33
∫
⎜
⎢
l
−
⎝
⎣
2
2
⎞
xd
)(
33
−=−−
э
~
33
~
⎟
⎟
−σ
33
)(),(
⎠
1
∫
0
22
033
⎤
~
=
dxpGxdpx
)(
⎥
⎥
⎦
(3.10.6)
]
.)(),())(1()()(
ξξ−ξξ−−= dqpYqkldpGl
Соотношение (3.10.6) позволяет получить формулу для расчета относительного изменения смещений на торцах стержня.
Таким образом, на основании полученных выше разрешающих соотношений можно предложить следующую схему решения прямой задачи
о расчете относительных смещений:
Зная закон изменения
1.
ражения (3.10.6) определяем
2.
Из (3.10.2) находим величину
и соответственно функцию
)(33xd
).,(py
~
~
)(
pG
⎡
)(
pV
⎢
l
⎣
1
2
0
∫
0
),(yq
из вы-
−
⎤
ξξξ+=
dpYqk
⎥
⎦
1
.),()(1
Далее находим трансформанту относительного смещения торцов
3.
1
∫
pluplu
),(
0
=
33
~
),(
−−
−
).(~pf
pVld
)(~)(2
~
~
=
pf
)(
Проводим процедуру обращения преобразования Лапласа для функ-
4.
ции
22
0
1
2
0
∫
0
),()(1
]
dqpYqk
ξξ−ξξ−
)(),())(1(
.
dpYqk
ξξξ+
Далее построим схему решения ОЗ об определении функции
по функции
ных уравнений относительно
),(
.0
≤≤
Рассмотрим более подробно систему оператор-
),(yq
),,(py
считая для простоты
(3.10.7)
xd
333
181
)(
Модуль 3. Нелинейные обратные задачи
~
Y
~
Y
~
K
L
и анализируя ее в пространстве изображений по Лапласу, минуя процедуру
обращения. Представим ее в виде системы операторных уравнений
),,(
YqKY =
1
(3.10.8)
),,(
YqKf =
2
),( yqK
где
j
— нелинейные операторы, и будем отыскивать решение
на компактном в
]1,0[2L
множестве положительных, ограниченных на от-
)( yq
резке
]1,0[
функций. Как известно, исходная коэффициентная ОЗ является
некорректной и требует регуляризации в той или иной форме. Построим
итерационный процесс нахождения
),(yq
причем параметром регуляриза-
ции является номер итерации. В качестве нулевого приближения выберем
)0(
,1)(
=yq
тогда соответствующее
из операторных уравнений (3.10.8),
~
из операторного уравнения
2
)0(
определится как решение первого
)0(
1
)0()1(
).,(
YqKf =
Таким образом, далее строим
)0()0(
Далее
).,(
YqKY =
)1(
найдем
q
следующую последовательность приближений:
)( nnn
1
+
2
)()(
),,(
YqKY =
)()1(
nn
==
nYqKf
...,2,1,0),,(
(3.10.9)
При таком подходе первое уравнение из (3.10.9) является линейным ин-
тегральным уравнением Фредгольма 2-го рода относительно
ется стандартным методом. Второе уравнение относительно
линейное и решается на основе метода линеаризации в окрестности
)(n
q
и реша-
)1( +n
— не-
)(n
q
.
При этом считаем
+ )()1( nn
qq
и относительно функции η получим сле-
η+=
дующее линейное уравнение Фредгольма 1-го рода с гладким ядром:
)(
nnn
),,(),(
YKYqKf η
,)(),(),(
ξξηξ=η
dpLY
(3.10.10)
)(2n
YK η
где
′
2
2
′
YK η
n
)(
)()(
)(2n
),(
— производная Фреше по η от оператора
1
′
==
2
∫
0
здесь
nnn
p
−=ξ
),(
1
⎡
∫
⎢
⎣
0
01
02
2
)()(2
2
pM
)(
2
)()(2
nnn
⎤
,)(),())(1()(
ξ
ξ−ξξ−=
dqpYqkpM
⎥
⎦
)(2
pYkpMpYqkpM
ξ++ξξ
01
),()(]1),()(2)[(
,
182
),,(
3.11. Формулировка итерационных процессов в обратных коэффициентных задачах
λ
1
02
∫
0
)()(2
nn
.),()(1)(
ξξξ+= dpYqkpM
Была проведена серия вычислительных экспериментов для закона
,1)( yyq λ−=
<
.10 <
Отметим, что погрешность восстановления пьезомо-
дуля при 2–3 итерациях не превосходит 5 %; дальнейшие расчеты по итерационной схеме практически не уточняют результат.
На рис. 3.5 и 3.6 проиллюстрированы возможности итерационного алгоритма для определения функции неоднородной поляризации решением
ряда модельных задач в классе гладких положительных ограниченных
функций (параболических и экспоненциальных) с использованием регуляризации
Тихонова.
Рис. 3.5 Рис. 3.6
2
На рис. 3.5 изображено восстановление функции
yq −=
y
1)(
.
В каче-
2
стве нулевого приближения в итерационном процессе выбирается условие
)0(
,1)0(
== qq
причем для построения приближенного решения потребова-
лось четыре итерации.
3.11. Формулировка итерационных процессов в обратных
коэффициентных задачах теории упругости
Модель изотропной однородной теории упругости, играющая огромную
роль в современной практике расчетов прочности конструкций, в некоторых случаях требует уточнения и отказа от гипотезы однородности среды
183
Модуль 3. Нелинейные обратные задачи
V
S
V
(в геофизике, биомеханике, наномеханике), причем определение модулей
упругости как функций координат из экспериментальных данных требует
решения ОЗ. К настоящему времени накоплен достаточно большой опыт
исследования ОЗ теории упругости, относящийся в основном к моделям
для полупространства в нестационарной постановке, ведущим к решению
нелинейных интегральных уравнений Вольтерра [6, 25, 32] и рассмотренных в предыдущих
параграфах (см., например, п. 3.8). Обратные коэффициентные задачи об определении переменных коэффициентов являются
нелинейными некорректными задачами, для их решения обычно используются итерационные процессы типа Ньютона. Эта процедура требует вычисления производных по Фреше от исходных операторов, что весьма обременительно. В настоящем параграфе в соответствии с [7, 9] предлагаются
новые интегральные
уравнения, к которым сводятся ОЗ в случае установившихся колебаний на основе процедуры линеаризации, рассмотрены
примеры. Заметим, что материал настоящего параграфа обобщает результаты п. 3.6, где изучены подобные задачи для упругого стержня и сформулированы соответствующие операторные уравнения несколько иным способом на основе процедуры линеаризации.
1. Соотношение взаимности
Рассмотрим задачу об установившихся колебаниях с частотой ω одно-
связной ограниченной области
два состояния: первое соответствует тензору модулей упругости
с границей
.
При этом будем различать
)1(
xC
ijkl
),(
)1(
u
компонентам вектора смещений
соответственно
В области
)(2)(
m
,
jij
m
u
i
)2(
),(
xC
ijkl
для каждого состояния выполнены уравнения движения
0
=ρω+σ
)2(
,
u
.
σ
i
ij
и тензора напряжений ;
i
)2(
и закон Гука
m
ij
m
ijkl
Будем считать, что
)(,)()( m
,
uC=σ
lk
.2,1=m
∪= SSS
и на частях границы заданы следующие
u
σ
граничные условия, одинаковые для обоих состояний
U
i
S
,0=
u
jij
S
σ
.
pi =σ
i
184
)1(
σ второе —
ij
(3.11.1)
(3.11.2)
(3.11.3)
3.11. Формулировка итерационных процессов в обратных коэффициентных задачах
V
S
ωω∈
ω
V
S
Тогда имеет место соотношение
)1()2(
V
ji
lkijklijkl
,
∫∫
S
σ
)1()2()1(,)2(
iii
,0)()(
=−+−
dSuupdVuuCC
(3.11.4)
которое доказывается стандартным образом, аналогичным доказательству
)2()1(
известной теоремы взаимности. В случае, когда ,
CC = объемный ин-
ijklijkl
теграл в (3.11.4) пропадает и получается известное соотношение Бетти
в случае отсутствия массовых сил. Соотношение (3.11.4) позволяет формулировать операторные соотношения, связывающие упругие характеристики
области
и граничные поля смещений и напряжений на
,
и является ба-
зовым в теории коэффициентных ОЗ теории упругости.
2. Обратная коэффициентная задача
Сформулируем задачу об определении упругих модулей как функций
координат по информации
),,( ω=
xfu
i
S
i
σ
соответствующей измерению поля перемещений на части границы
],,[
ωω∈ω
21
(3.11.5)
,σS
на которой осуществляется нагружение, что моделирует эхо-режим в акустических методах неразрушающего контроля.
Задача об определении модулей упругости является нелинейной [15, 36]
и может быть решена на основе некоторого итерационного процесса,
на каждом этапе которого осуществляется решение линейной задачи. Пола-
)0()1(
,
гая
uu =
ii
в (3.11.4) линейные по
v
)0()2(
i
и
,
vuu +=
iii
R
слагаемые, с учетом дополнительного
ijkl
)0()1(
,
CC =
ijklijkl
)0()2(
RCC +=
и сохраняя
ijklijkl
ijkl
условия (3.11.5) получим
)0()0(,)0(
dSufpdVuuR
ijkl
V
ji
lk
,
∫∫
S
σ
iii
=−+
,0)(
].,[
21
(3.11.6)
Соотношение (3.11.6) можно трактовать как интегральное уравнение
),( xR
относительно компонент тензорной функции
ijkl
если предварительно
решена прямая задача о распределении поля смещений внутри области
)0(
),(
и на ее границе
с упругими характеристиками
ijkl
xC
что может быть
осуществлено эффективно на основании, например, метода конечных элементов.
185
Модуль 3. Нелинейные обратные задачи
x
λ
x
(
ω∈ω
−
−
(
−
ω∈ω
В изотропном случае тензор упругих постоянных выражается через две
функции Ляме —
)(
и
)(
μ
— и на основе уравнения (3.11.6) можно
сформулировать следующий итерационный процесс:
⎡
n
)(
∫
⎢
⎣
V
Функции
n
)1(
kk
,
1
n
))((
)(2
2
n
()
)(
ji
,
∫
S
σ
n
λ
)()(x
и
μ
n
)()(x
находятся из интегрального уравнения
n
)1(
ij
,
iii
n
)1(
n
−
)1(
++μ+λ
ji
,
)1(
=−+
dSufp ,0][
n
,
⎤
)1(
−−−−−
)
ij
+
dVuuuuxux
⎥
⎦
(3.11.7)
].,[
ω
21
(3.11.7) на основе процедуры регуляризации при наличии априорной ин-
формации о том, что они положительны и зависят лишь от одной координаты. Отметим, что подынтегральное выражение в объемном интеграле
в (3.11.7) представляет собой по форме удвоенную удельную потенциальную энергию деформаций, в которой деформации соответствуют исходному состоянию
, а модули — новому. Поверхностный интеграл характеризует работу заданной нагрузки на дополнительных полях перемещений, характеризующих разность между смещениями на границе
S
исходного по-
σ
ля перемещений и перемещениями, заданными в ОЗ. Процедура дискретизации интегрального оператора на основе простейших квадратурных формул приводит к системе линейных алгебраических уравнений относительно
узловых значений функций
n
λ
)()(x
и
μ
n
),()(x
которая в силу свойств впол-
не непрерывных операторов (раздел 1) оказывается плохо обусловленной
и требует применения регуляризующих алгоритмов при решении [27, 30].
Замечание 1
Возможно получение дополнительных интегральных соотношений вида
(3.11.6) для определения упругих характеристик в случае изменения типа
)0(
или области нагружения; тогда соответственно в (3.11.6) изменяется
).,( ωxf
и
i
u
i
Замечание 2
Возможно обобщение итерационного процесса (3.11.7) на случай неиз-
вестной плотности
()()() ()()
n
n
ijkl
V
lk
,
−−
n
1
ji
,
n
∫∫
V
i
∫
S
σ
n
n
11)(21
i
+ρω−
dVuudVuuC
iii
)
n
1
dSufp
,0)(
=−+
ω
].,[
21
(3.11.8)
186
3.11. Формулировка итерационных процессов в обратных коэффициентных задачах
(
V
−
P
Соотношение (3.11.8) можно трактовать как интегральное уравнение
относительно компонент
ijkl
)(
)
xC
и
n
ρ
),()(x
если предварительно решена
n
прямая задача о нахождении полей смещений и деформаций внутри облас-
и на ее границе S с упругими характеристиками )(
ти
ijkl
−
и
)1(xn
ρ
).(
)1(xCn
Ведем удельные потенциальную и кинетическую энергию:
1
2
2
ω
=
2
2
dVuK
ρ
i
∫
V
1
,
=εσ=
.
ijklijVij
∫∫
2
V
dVuuCdVП
,,
lkji
Заметим, что подынтегральные выражения в объемных интегралах
в (3.11.8) представляют собой по форме аналог удвоенной удельной потенциальной энергии деформаций и удельной кинетической энергии, в которой перемещения и деформации соответствуют
)1(−n
-й итерации (преды-
дущей), а модули — n-й итерации (последующей). Мерой выхода из итера-
ω
ционной процедуры является функционал невязки
2
∫∫
ω
S
1
σ
)(
n
2
ii
,)(
ω−
ddSuf
и если его значение становится меньше погрешности входной информации,
то процесс необходимо остановить.
Такой подход требует знания некоторого начального приближения, которое может быть определено в классе простых функций, например линейных, из условия минимума функционала невязки.
Пример 1
При исследовании задачи о продольных колебаниях консольно закреп-
,
ленного стержня, находящегося под действием силы
из компонент век-
тора перемещений отлична от нуля только одна компонента
а из компонент тензора напряжений отлична от нуля компонен-
,0
== uu
32
.
σ
та
Потенциальная энергия в этом случае имеет вид (
11
1
2
ijVij
1
2
2
11
1
2
0
FV
2
)(
1,
==ε=εσ=
ll
1
∫∫∫∫∫
2
0
xx =
)
1
2
.)()(
dxuxFEdxdFuEdVEdVU
1,
Кинетическая энергия имеет вид
ll
1
2
i
1
2
0
2222
FV
1
ρω=ρω=ρω=
∫∫∫∫
2
0
22
.)(
dxuxFdxdFudVuK
),(
xuu =
11
187
Модуль 3. Нелинейные обратные задачи
−
ω∈ω
−
Тогда операторное уравнение, соответствующее (3.11.8), принимает вид
l
⎛
⎜
⎜
⎝
0
−
n
)1(
xdu
dx
ω
2
⎞
),(
⎟
⎟
⎠
l
−
nn
)1(2)(
∫∫
0
n
)(2
=ρωω−
dxxxFxudxxExF
)()()),(()()(
(3.11.9
)1(
1
n
)),()((
ω−ω=
lufP
,
ω
].,[
21
Это уравнение является базовым при исследовании обратных коэффици-
ентных задач для стержня, из него легко далее получаются частные случаи.
1.
Известна плотность, необходимо определить модуль Юнга; из (3.11.9)
получим операторное уравнение вида
l
⎛
⎜
∫
⎜
⎝
0
−
n
)1(
xdu
dx
].,[
ωω∈ω
21
ω
2
⎞
),(
⎟
⎟
)(
1
)1(
−
nn
)),,()(()(
ω−ω=
lufpdxxE
⎠
p =
F
P
,
(3.11.10)
)
В случае линеаризованной задачи (3.11.10) переходит в (3.6.13).
Известен модуль Юнга, необходимо определить плотность; соответст-
2.
вующее операторное уравнение принимает вид
l
)1(2
n
∫
0
],,[
ωω∈ω
21
)(2
1
)1(
−−
nn
)),,()(()()),((
ω−ω−=ρωω
lufPdxxxu
(3.11.11)
в случае линеаризованной задачи (3.11.11) переходит в (3.6.15).
Пример 2
Аналогично, минуя процедуру вычисления производной по Фреше,
можно рассмотреть коэффициентные ОЗ об изгибных колебаниях консольно закрепленного стержня.
При изгибе из компонент вектора перемещений отличны от нуля сле-
дующие компоненты (в рамках модели Бернулли):
.
),,(
ω= xwu
13
=
xwu
31,1
Краевая задача об установившихся колебаниях имеет вид
d
dx
2
⎛
⎜
2
⎜
⎝
2
⎞
wd
xJxE
2
dx
2
⎟
⎟
⎠
xwxxF
,0),()()()()(
=ωρω−
(3.11.12)
dw
()
,0,0 =ωw
()
,0,0 =ω
dx
188
3.11. Формулировка итерационных процессов в обратных коэффициентных задачах
x
E
x
J
x
−=ε
∈
ω
⎛
⎜
JE
⎜
⎝
где
dx
2
⎞
wd
⎟
()
l
2
⎟
⎠
),(
⎛
⎛
d
⎜
dx
и
⎜
⎜
⎜
⎝
⎝
ρ
,0,
=ω
),(xF
)(
2
⎞
⎞
wd
⎟
⎟
JE
dx
)(
— функции, характеризующие изменение мо-
()
2
⎟
⎟
⎠
⎠
,,
Pl
−=ω
дуля упругости, функции площади поперечного сечения, момента инерции
поперечного сечения стержня и плотности. Для формулировки итерационных процессов последовательно находим
,
wx
11,311
0
=ε=ε
3313
и, со-
ответственно, выражения для потенциальной и кинетической энергии име-
xx =
ют вид (
1
2
где введено обозначение
1
2
)
1
ll
1
ijVij
2
2
11
∫
F
1
i
2
FV
0
1
2
0
2
,
Jx
=
3
2222
2
3
FV
1
2
2
)(
11,
ll
ρω=ρω=ρω=
∫∫∫∫
0
1
==ε=εσ=
∫∫∫∫∫
2
0
22
.
dxwFdFdxwdVwK
2
,)(
dxwJEdFdxwExdVEdVU
11,
Операторное уравнение, соответствующее (3.11.8), в рассматриваемом
случае представимо в форме
n
ω
2
⎞
),(
n
⎟
⎟
)(
−
dxxE
)(
⎠
)1(2
)(2
2
)1(
−−
nn
ω−ω−=ρωω−
lwfPdxxxwxF
ωω
21
)),,()(()()),()((
].,[
(3.11.13)
l
∫
0
⎛
⎜
xJ
)(
⎜
⎝
n
−
)1(2
xwd
2
dx
l
∫
0
В случае, когда имеется априорная информация о функции плотности,
соответствующее операторное уравнение принимает вид
l
∫
0
⎛
⎜
)(
xJ
⎜
⎝
n
)1(2
−
xwd
2
dx
].,[
ωω∈ω
21
ω
2
⎞
),(
⎟
⎟
)(
2
⎠
)1(
−
nn
)),,()(()(
ω−ω−=
lwfPdxxE
(3.11.14)
Пример 3
Антиплоские колебания бруса с поперечным сечением S с границей
,
lllS ∪==∂
21
)(
xμ=μ
описываются следующей краевой задачей:
1
189
Модуль 3. Нелинейные обратные задачи
t
g
=
⎛
∂
⎜
μ
⎜
∂
x
⎝
⎞
∂
u
⎟
+
⎟
∂
⎠
⎛
∂
⎜
μ
⎜
∂
xx
⎝
⎞
∂
u
⎟
⎟
∂
x
⎠
2211
2
u
,0
=ρω+
(3.11.15)
1
n
∂
l
μ
,0
=
u
l
.2p
=
u
∂
Дополнительное условие вида (3.11.5) в ОЗ
).,(
l
2
ω= xfu
(3.11.16)
Интегральное уравнение типа (3.11.7) имеет вид
⎡
⎛
u
∂
n
)(
⎢
⎜
μ
⎜
x
∂
S
⎢
⎝
⎣
ωω∈ω
21
2
)1(
1
].,[
⎛
⎞
⎟
⎟
⎠
∂
u
⎜
+
⎜
∂
x
⎝
2
⎤
−−
nn
)1(
⎞
⎥
⎟
⎟
2
⎥
⎠
⎦
∫∫
l
2
)(
n
dlufpdS
,0)(
=−+
x
(3.11.17)
При решении уравнения (3.11.17) достаточно знать лишь функцию
)1(
n
−
),(
xu
которая может быть найдена из решения краевой задачи (3.11.15)
даже при
)(
xμ=μ
эффективно методом конечных элементов. При этом,
0
однако, необходимо использовать аппроксимации высокого порядка для
нахождения производных, из которых составляется ядро интегрального
оператора (3.11.17).
Контрольные вопросы и задачи для самостоятельного
решения к разделу 2
1. Постройте формулу для расчета коэффициента температуропровод-
ности, используя асимптотику (3.9.8).
2.
Исследуйте функцию
ве этого исследования иной, отличный от описанного в п. 3.9, способ
определения коэффициента температуропроводности.
3.
Постройте аналогичные (3.9.7)–(3.9.8) решения для следующих гра-
∂
u
ничных условий
∂
x
)(
(3.9.6) на экстремум. Предложите на осно-
,0
=
u
=bx
2
0
−=bx
2
в задаче для уравнения (3.9.2).
Используйте описанный в п. 3.9 метод адиабатного деформирования
4.
для определения коэффициента температуропроводности в случае
190
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]