Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Обратные и некорректные задачи. Учебник
.pdf
2.7. Граничная обратная задача для полосы
x
K
∞→α
A
x
α
K
α
ψ
=
ψ
где
=
ры. Матричное ядро
,fff ),(
31
=
k
— соответственно заданный и искомый векто-
),(
ggg
31
),( ξ
для рассматриваемой задачи имеет разност-
ную структуру:
1
)(),(
=ξ−=ξ
∫
2
π
σ
)(α
причем
— мероморфная в комплексной плоскости матрица-функция
с одинаковыми полюсами, и справедлива оценка
)(
xi
−ξα
,)(
αα
deKxkxk
α=α ОК
(2.7.4)
1−
),()(
.
Среди полюсов конечное число вещественных, которые определяют конечномерную составляющую оператора
.
Заметим, что эта конечномерная
составляющая оператора порождает незатухающие однородные волны, которые и переносят основную информацию о структуре нагрузки. Вещественные полюса образуются на частотах, больших критической, причем
их количество растет с увеличением частоты колебаний, оставаясь конечным [6, 9].
В силу того что область приложения нагрузки и область измерения поля
перемещений
не пересекаются и, следовательно
,ξ≥>≥ bc
можно выяс-
нить некоторые свойства ядер интегральных операторов. Замыкая контур
интегрирования в (2.7.4) в комплексную плоскость, используя теорию выче-
),( ξxk
тов и лемму Жордана, несложно показать, что ядра
ij
в (2.7.4) пред-
ставляют собой гладкие функции, система граничных уравнений (2.7.3),
в силу гладкости матричных ядер, порождает некоторый вполне непрерывный оператор
22
],,[],[:
dcLbaLA →
процедура обращения которого явля-
ется некорректной и требует регуляризации. Наиболее подходящими методами регуляризации в данном случае являются метод регуляризации Тихонова [19, 20] или проекционный метод [10]. В качестве примера рассмотрим
)(
скалярный аналог (2.7.3) (соответственно,
функцию, совпадающую с элементом
∞
ϕ=
представление
∑
k
=
1
xgaАg
kkk
,)(
где
K
33
в этом случае обозначает
). Тогда оператор A допускает
)(
),,(kkgg
и
k
— линейно
ϕ
k
независимые системы функций, причем
b
ξξψξ=
dgg
∫
a
kk
,)()(
=ϕ
k
xki
ς
,)(
ex
=ψ
k
(2.7.5)
xki
ς−
,)(
ex
121
Модуль 2. Линейные обратные задачи
ζ
K
M
A
A
R
α−=
x
(
γ
x
f
M
k
α
N
=
x
g
x
g
где
— полюса функции
k
),(α
расположенные выше контура σ (из них
вещественных). Это представление естественным образом порождает
расщепление вполне непрерывного оператора
:
и малый
h
M
∑
k
=
,RAA
+=
∞
gaA
1
,
kkkh
∑
Mk
gaR
+=
1
ϕ=
,
ϕ=
kkk
k
на конечномерный
).(Res
Kia
ς−=α
k
h
(2.7.6)
С механической точки зрения это означает, что волновое поле на грани-
це слоя в дальней зоне
∈
bc >
],,[ dc
имеет структуру линейной комби-
нации, откуда следует суперпозиция конечного числа распространяющихся
мод
M
∑
k
xi
ς
k
k
1
=
+=
cb
γ−−
)
eOefxf
,)(
,0>
(2.7.7)
а ядро интегрального оператора практически вырождено в силу представления (2.7.7). Фактически задание функции
означает задание ампли-
)(
туд
=
,kf
....,,2,1
Таким образом, специфика исходной задачи состоит
в том, что она приводится к конечномерной проблеме моментов об определении набора проекций
и восстановлении по нему функции
g
k
).(xg
При реализации процедуры идентификации нагрузки были использованы два метода — метод регуляризации Тихонова со стабилизатором первого порядка [19] и проекционный метод [10]. Как описано в модуле 1, параметрами регуляризации для этих
методов являются
и
соответ-
ственно. Пример восстановления поля
нагрузки
11)( xxg −=
при 6
κ
2
представлен на рис. 2.1 при
Рис. 2.1.
Поле нагрузки
)(
)(
Модельная функция
изображена
.01.0=δ
сплошной линией; приближенные решения, построенные по методу Тихонова и на основе метода проекций — соответственно точками и пунктирными линиями.
122
2.7. Граничная обратная задача для полосы
N
δ
=
=
κ
=
κ
N
σ
<
N
=
N
A
В серии численных экспериментов производилось плавное увеличение
параметра
и
). При этом выяснялась приблизительная верхняя граница значений
(с надлежащей подстройкой параметров регуляризации α
δ
,
начиная с которой качество восстановленной нагрузки значительно ухудшается (например, средняя относительная погрешность становится более
50 %). Во всех исследованных примерах этот верхний предел погрешности
получался примерно одним и тем же для обоих алгоритмов — построенного по методу проекций и по методу Тихонова (параметр регуляризации был
9
−
10
положен равным
005.0=δ
и
как
δ
). Этот уровень можно приблизительно оценить
05.0
на частотах
3
и
6
соответственно.
Отметим некоторые численные результаты, относящиеся к проекционному методу. Положенные в основу его реализации закономерности поведения сингулярных чисел [6, 10] в полной мере подтверждаются в численных расчетах. Так, при фиксированной размерности
го подпространства сингулярные числа
с
,65 ÷=n
эта зависимость близка к экспоненциальной. Первые сингуляр-
быстро убывают; начиная
n
аппроксимирующе-
n
ные числа с фиксированными номерами
аппроксимации. Так, например, результаты для
совпадают с результатами для
.12
слабо зависят от размерности N
,6
n
6>
практически
Таким образом, даже для операторов с вырожденным ядром возможна
процедура реконструкции нагрузок, однако она реализуется на некотором
конечномерном подпространстве. При этом следует отметить, что эффективность реконструкции возрастает с ростом частоты колебаний, что связано с ростом размерности конечномерного оператора, аппроксимирующего
.
вполне непрерывный оператор
123
Модуль 2. Линейные обратные задачи
(
δ
=
t
l
δ
=
N
N
N
γ
Контрольные вопросы и задачи для самостоятельного
решения к модулю 2
1. Докажите единственность решения операторного уравнения (2.2.5).
2.
Постройте график зависимости функции
4
(
=c
c
Решите ОЗ для уравнения теплопроводности (2.2.1) при следующих
3.
граничных условиях:
θ∂
∂
x
4.
5.
6.
7.
,0),0( =
t
С использованием метода квазиобращения решите ОЗ для оператора
теплопроводности с граничными условиями (2.2.11).
Постройте решение задачи (2.5.1) для полуплоскости различными
способами: методом сингулярных разложений (2.2.9), методом регу-
ляризации Тихонова, примененным к (2.2.5), и методом квазиреше-
ний. Сравните решения.
Постройте решение ОЗ (2.6.1)–(2.6.3) методом квазиобращения, ис-
следуйте зависимость
Постройте асимптотику сингулярных чисел в задаче (2.6.1)–(2.6.3).
θ
−
).
10,1.0,1
.0),(
).(
)
,Nm
от N при заданном
(2.2.11)
Постройте решение ОЗ первого типа (2.2.1)–(2.2.2) методом сингу-
8.
лярных разложений и численно исследуйте зависимость регуляризо-
.
ванного решения от числа
Всегда ли можно подобрать число N в методе сингулярных разло-
9.
жений по заданным
Постройте операторное уравнение в граничной ОЗ при антиплоских
10.
колебаниях слоя. Найдите зависимость порядка аппроксимирующе-
го конечномерного оператора от частоты колебаний и величину
в оценке типа (2.7.7).
и ε?
δ
124
Тест рубежного контроля к модулю 2
l
=
N
N
N
N
N
π
ξ
∞
γ
−
γ
γ
−
γ
Тест рубежного контроля к модулю 2
1. В постановке 1, сводящейся к интегральному уравнению (2.2.5), опреде-
лите, какому классу функций должна принадлежать правая часть:
а)
б)
в)
];,0[ lC
];,0[ lC
n
∞
];,0[2lL
подмножеству из
г)
Фурье, убывающими со скоростью
2.
Рассмотрите операторное уравнение (2.2.9). Пусть заданы параметры:
1
,1=
−
=c
,10
=δ
∞
2
−
.10
, содержащему функции с коэффициентами
],0[ lC
Каким должно быть
22
nc
−
eO
).(
),(δ
чтобы погреш-
ность построенного методом сингулярных разложений решения не превышала 10 %?
а)
;10≤
б)
в)
;5030 ≤≤
такое N подобрать невозможно.
г)
;3010 ≤≤
l
3.
Полагая
x =
0
во второй постановке ретроспективной ОЗ, постройте на-
3
чальное распределение температур, при котором выполнено условие неединственности (2.4.6). Оно имеет вид:
а)
);(cos)( lπξ=ξϕ
б)
в)
г)
такое распределение
4.
Асимптотика сингулярных чисел при
);3(cos)( lπξ=ξϕ
);32(cos)( l
ξ=ξϕ
)(
ϕ
не существует.
вид...
1 n
а)
n
);(
б)
n
в)
n
).(
г)
n
=σ
=σ
=σ
=σ
−
−
neО
enО
2/1 n
enО
n
−
enО
21 n
);(
−−
);(
→n
оператора (2.6.6) имеет
125
Модуль 2. Линейные обратные задачи
α
K
x
ϕ
xfT
x
=
θ
l
x
∈
x
x
x
xlT
ϕ
T
=
l
x
x
+=ϕ
T
=
l
T
=
l
x
x
−=ϕ
T
=
l
x
x
π−=
ϕ
T
=
l
x
x
−=ϕ
T
=
l
x
x
−=ϕ
T
=
l
x
x
−=ϕ
T
=
l
x
x
+=ϕ
5.
Размерность конечномерной составляющей вполне непрерывного оператора в (2.7.6) определяется...
количеством точек наблюдения;
а)
количеством частот, на которых произведены измерения;
б)
количеством полюсов функции
в)
погрешностью δ задания входной информации.
г)
);(
Критерий оценки:
модуль считается зачтенным, если обучающийся дал
правильные ответы не менее чем на 60 % тестовых заданий.
Проектное задание к модулю 2
Проведите численное исследование решения ретроспективной ОЗ об опре-
)(
делении начального распределения температуры
),(),(
по дополнительной информации
2
θ∂
2
∂
θ∂
∂
x
при следующих значениях
1
θ∂
1
=
,
ta
∂
θ∂
=
t
∂
x
)()0,(
ϕ=θ
,0),(),0( =
tl
a
05.0=a
01.0=
)(,,,
.
1
в стержне длины l
],,0[
π
2cos1)(
π
2
3
4
5
6
7
8
−=ϕ
8.0=a
8.0=a
03.0=a
0001.0=a
005.0=a
001.0=a
06.0=a
005.0=
001.0=
005.0=
05.0=
003.0=
04.0=
0005.0=
1
1
1
1
1
1
1
xx
2sin)(x
π
2
π
cos21)(
cos3)(
π
2cos1)(
π
4cos42)(
π
4cos1)(
π
2cos3)(
При этом требуется использовать:
метод регуляризации Тихонова в применении к (2.2.5);
•
метод сингулярных разложений (2.2.9);
•
метод квазирешений.
•
Осуществите сравнение точности решений, полученных тремя способами.
126
Литература к модулю 2
Литература к модулю 2
Источники [2, 3, 6, 9–11, 13–15, 17–20] составляют основную литературу.
Бобровницкий Ю. И. Задача восстановления поля в структурной ин-
1.
тенсиметрии: постановка, свойства, численные аспекты // Акуст.
журн. 1994. Т. 40. № 3. — С. 367–376.
Бреббиа К., Телес Ж., Вроубел Л. Методы граничных элементов. —
2.
М.: Мир, 1987. — 524 с.
Бухгейм А. Л. Введение в теорию обратных задач. — Новосибирск:
3.
Наука, 1988. — 184 с.
Ватульян А. О. К теории граничных обратных задач в теории упру-
4.
гости // Изв. высших учебных заведений. Сев.-Кавк. регион. Серия
Естеств. науки. 2001. Спецвыпуск. — С. 31–35.
Ватульян А. О. О граничных интегральных уравнениях 1-го рода
5.
в динамических задачах анизотропной теории упругости // Докл.
РАН. 1993. Т. 333. № 3. — С. 312–314.
Ватульян А. О. Обратные задачи в механике деформируемого твер-
6.
дого тела. — М.: Физматлит, 2007. — 224 с.
Ватульян А. О., Ворович И. И., Соловьев А. Н. Об одном классе задач
7.
в динамической теории упругости // ПММ. 2000. Т. 64. Вып. 3. —
С. 373–380.
Ватульян А. О. Драгилев В. М., Драгилева Л. Л. Восстановление ди-
8.
намических напряжений, действующих на вязкоупругий слой //
Акуст. журн. 2005. Т. 51. № 6. — С. 742–748.
Ворович И. И., Бабешко В. А. Динамические смешанные задачи теории
9.
упругости для неклассических областей. — М.: Наука, 1979. — 319 с.
Денисов А. М. Введение в теорию обратных задач. — М.: МГУ,
10.
1994. — 208 с.
Кабанихин С. И. Проекционно-разностные методы определения ко-
11.
эффициентов гиперболических уравнений. — Новосибирск: Наука,
1988. — 168 с.
127
Модуль 2. Линейные обратные задачи
12.
Козлов П. Л., Мазья В. Г., Фомин Л. В. Об одном итерационном ме-
тоде решения задачи Коши для эллиптических операторов // Журн.
вычисл. матем. и матем. физ. 1991. № 1. — С. 64–74.
Лаврентьев М. М. Теория операторов и некорректные задачи. — Но-
13.
восибирск: Изд-во ин-та математики, 1999. — 702 с.
Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные
14.
задачи математической физики и анализа. — М: Наука, 1980. — 286 с.
Латтес Р., Лионс Ж.-Л. Метод квазиобращения и его приложе-
15.
ния. — М.: Мир, 1970. — 336 с.
Новацкий В. Теория упругости. — М.: Мир, 1975. — 872 с.
16.
Романов В. Г. Обратные задачи математической физики. — М.: Нау-
17.
ка, 1984. — 264 с.
Самарский А. А., Вабищевич П. Н. Численные методы решения об-
18.
ратных задач математической физики. — М.: Едиториал УРСС,
2004. — 480 с.
Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных за-
19.
дач. — М.: Наука, 1986. — 287 с.
Тихонов А. Н., Гончарский А. В., Степанов В. В., Ягола А. Г. Численные
20.
методы решения некорректных задач. — М.: Наука, 1990. — 230 с.
Фомин А. В., Прейсс А. К. Определение трехмерного напряженного
21.
состояния элемента конструкции по данным измерений на части его
поверхности // Машиноведение. 1982. № 1. — С. 79–85.
Чудов Л. А. Разностные методы решения задачи Коши для уравнения
22.
Лапласа // Доклады АН СССР. 1962. Т. 3. № 4. — С. 798–801.
Berntsson F., Elden L. Numerical solution of a Cauchy problem Laplase
23.
equation // Inverse Problems. 2001. V. 17. — P. 839–853.
Isakov V. Inverse problems for PDE. — N. Y.: Springer-Verlag, 2005. —
24.
284 p.
Pabst U., Hagedorn P. Identification of boundary conditions as a part
25.
128
of model correction // J. Sound and Vibr. 1995. V. 182. № 4. — P. 565–
575.
Модуль 3. Нелинейные обратные задачи
Модуль 3. Нелинейные обратные задачи
Комплексная цель
линейных ОЗ, изучении наиболее часто встречающихся обратных нелинейных задач для операторов с постоянными и переменными коэффициентами,
в которых требуется определить физические постоянные — компоненты
модулей упругости, плотность, коэффициенты теплопроводности, пьезомодули и т. д., форму внутренних поверхностей и разрывов (трещин) по некоторым
компоненты граничных полей (смещения, напряжения, температура).
к исследованию линейных операторных уравнений. Эти задачи, как правило, были связаны либо с определением правых частей линейных операторов, либо с обращением причинно-следственных связей для линейных моделей (ретроспективные
класс проблем возникает при исследовании коэффициентных и геометрических ОЗ, которые являются существенно нелинейными даже для линей-
экспериментальным данным, которые, как правило, характеризуют
В предыдущем модуле были рассмотрены линейные ОЗ, приводящие
модуля состоит в изложении методов решения не-
и граничные ОЗ). Значительно более широкий
ных моделей; знакомству с ними посвящен настоящий модуль. Кроме того,
нелинейные ОЗ возникают при идентификации нелинейных систем, описывающихся ОДУ.
Методы определения коэффициентов дифференциальных операторов,
например, модулей
в упругом или теплопроводном теле по измеренным на его границе полям
температур или смещений при частотном зондировании играют большую
роль в процедуре идентификации объектов в различных областях естествознания. Главные проблемы при исследовании задач подобного типа:
формулировка операторной связи между заданными операторами или
1)
функционалами от решений и искомыми параметрами или функциями;
формулировка условий, обеспечивающих единственность решения ОЗ;
2)
разработка эффективных численных методов построения решений ОЗ.
3)
В настоящем модуле рассматриваются различные классы нелинейных
ОЗ, возникающих при формулировках коэффициентных и геометрических
ОЗ. Рассмотрение начнем с наиболее часто встречающегося на практике
упругости, плотности, формы полостей и включений
129
Модуль 3. Нелинейные обратные задачи
N
N
=
N
класса коэффициентных ОЗ. Подчеркнем, что, как и линейные ОЗ, нелинейные ОЗ условно можно разделить на два больших класса: дискретные
ОЗ и континуальные ОЗ.
Для первого класса сразу осуществляется сужение множества поиска
до некоторого конечномерного подпространства небольшой размерности
10..1=
(либо оно таковым является изначально) и далее неизвестные па-
раметры определяются либо 1) из некоторых трансцендентных уравнений,
либо 2) из минимизации функционала невязки, либо 3) при комбинирова-
)2( =
нии первого и второго подходов. Например, конечномерным
явля-
ется множество коэффициентов обыкновенного дифференциального оператора второго порядка с постоянными коэффициентами; множество эллип-
5(
сов параметризуется пятью параметрами
— координаты центра,
размеры полуосей, угол наклона одной из главных осей к оси координат).
Для второго класса нелинейных ОЗ обычно строятся операторные урав-
нения, связывающие искомые и заданные функции или итерационные процессы по нахождению решения ОЗ, а затем уже происходит дискретизация
задачи. При этом размерности аппроксимирующих пространств могут достигать
нескольких тысяч при использовании конечноэлементных технологий при решении прямых задач и изменяться в пределах 5–20 при решении
линейных некорректных задач или при использовании других вычислительных инструментов (типа метода Галеркина). Отметим, что решения ОЗ
в конечномерных подпространствах для задач первого класса могут служить начальными приближениями при уточнении процедуры идентифика-
для задач второго класса. Рассмотрим особенности различных подхо-
ции
дов при исследовании нелинейных ОЗ.
130
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]