Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Обратные и некорректные задачи. Учебник
.pdf
3.1. Об определении постоянных коэффициентов в линейных моделях
Раздел 1. Коэффициентные обратные задачи
3.1. Об определении постоянных коэффициентов в линейных
моделях
Изучение законов движения динамических систем в рамках детерминированного подхода представляет собой одну из актуальных задач математического моделирования в самых различных областях естественных наук
и техники (колебания в линейных и нелинейных системах с дискретными
и распределенными параметрами, законы движения планет, задачи баллистики, гидродинамики подводного и надводного судоходства и др
нейший и достаточно хорошо изученный класс динамических систем составляют линейные динамические системы, моделирующие достаточно
широкий спектр процессов. Процедура идентификации для линейных систем сводится к задаче определения коэффициентов линейных дифференциальных операторов (очень часто с постоянными коэффициентами) по известной информации о решении в некоторых точках или на
участках границы. В этом случае, поскольку этап структурной идентификации пройден, то этап параметрической идентификации сводится к некоторым коэффициентным ОЗ для обыкновенных дифференциальных операторов. С точки зрения идентификации линейных динамических систем
в этом случае речь идет об определении передаточной функции [1, 15, 21]
в классе рациональных функций. Проблема определения коэффициентов
дифференциальных
не только самих решений, но и их производных, что в условиях неточно заданной входной информации связано с большими вычислительными по-
операторов в простейшей трактовке требует знания
.). Важ-
некоторых
грешностями и, как следствие, с неустойчивой процедурой отыскания коэффициентов. Даже если идентифицируемая система линейна, нахождение
параметров этой системы приводит к нелинейной конечномерной
ме, которая обычно трактуется как проблема минимизации некоторого неквадратичного функционала; при решении этой проблемы используются современные методы минимизации функционалов, как градиентные,
так и не использующие процедуру вычисления производных. Наиболее популярны среди последних методы глобального случайного поиска, эволю-
пробле-
131
Модуль 3. Нелинейные обратные задачи
α
k
k
=
α
α
ционные или генетические алгоритмы, основные принципы работы которых изложены в первом модуле (п. 1.9).
В качестве примера, иллюстрирующего некоторые аспекты и особенно-
сти затронутой проблемы, рассмотрим простейшую конечномерную коэффициентную ОЗ для ОДУ с постоянными коэффициентами
α
′
α+
,
0
10
α
— некоторые постоянные. При этом считается, что правая часть
1
),(
xfyyy =α+
(3.1.1)
′′
где
дифференциального уравнения (3.1.1) известна. Таким дифференциальным
уравнением, которое широко используется при моделировании различных
линейных систем, описываются различные процессы в механике, физике,
биологии, такие как колебания материальной точки с одной степенью свободы в линейно сопротивляющейся среде, ползучесть линейно вязкоупругих материалов и др.
Построение решения такого уравнения при заданных значениях
достаточно просто; оно представимо в форме
где
λ
,
λ
1
— корни характеристического уравнения,
2
шение неоднородного уравнения (3.1.1),
С
,
C
1
— произвольные постоян-
2
)(чxy
— частное ре-
λλ
21
,
α
0
1
xx
++=
),()(
xyeCeCxy
ч21
ные, определяемые из начальных или граничных условий. Сформулируем
ОЗ для дифференциального уравнения (3.1.1). Пусть задано его решение
)(xy
на некотором интервале
=
ров
α
0
....,,2,1 n
ОЗ состоит в определении по этой информации двух парамет-
,
α
и характеризует конечномерную ОЗ размерности 2. Заметим,
1
],[ ba
или в некотором наборе точек
),(
xy
k
что даже для такой простейшей постановки в первую очередь необходимо
дать ответ на два вопроса:
Существует ли решение ОЗ при любой входной информации?
1.
Если существует, то единственно ли оно?
2.
Можно сформулировать следующие (но не исчерпывающие) ответы
на поставленные вопросы.
Не для каждой достаточно гладкой функции
1.
ний
ентную ОЗ и однозначно определить
),(kxy
)...,,2,1 n
можно решить эту простейшую коэффици-
0
,
.
1
)(xy
(или набора значе-
132
3.1. Об определении постоянных коэффициентов в линейных моделях
k
=
α
α
λ
x
α
α
2.
Не любая информация пригодна для идентификации ОИ, т. е. на
)(xy
(соответственно на
),(kxy
)...,,2,1 n
необходимо наложить неко-
торые условия.
Сформулируем далее условия на входную информацию — функцию
),(xy
обеспечивающие нахождение параметров
,
0
единственным об-
1
разом.
Теорема 1 [16]
Пусть
, xx∃
такие, что
21
′
то ОЗ разрешима и
)(xy
— заданная (измеренная) функция. Если на отрезке
−
′
xyxyxyxy
2121
α
0
,0)()()()(
≠
,
α
определяются однозначно.
1
],[ ba
(3.1.2)
Обоснование этого утверждения осуществляется на основе выполнения
уравнения (3.1.1) для двух различных значений аргумента
,1x
x
2
и состав-
ления линейной алгебраической системы относительно искомых параметров; условие (3.1.2) есть условие однозначной разрешимости этой системы.
Например, функция
x
exy
=)(
(или ее дискретные значения) при любом λ
не удовлетворяет этому условию ни на каком отрезке изменения
и, следовательно, не может быть использована в качестве входной информации
для процедуры параметрической идентификации для уравнений (3.1.1).
К сожалению, есть два обстоятельства, которые препятствуют практическому использованию этого результата. Во-первых, условие (3.1.2) трудно
′
),(kxy
проверяемо на практике, ибо в него входят производные
могут быть найдены лишь численно по заданной функции
их нахождения по
требует регуляризации, которая может быть осу-
)(kxy
которые
)(xy
. Процедура
ществлена на основе способов, изложенных в модуле 1. Во-вторых, при
зашумлении входной информации способ нахождения параметров
,
0
1
в соответствии с изложенным в теореме теряет практическую значимость,
хотя и может быть использован при дополнительной обработке на основе
метода наименьших квадратов.
Попутно возникает вопрос — можно ли сформулировать условия, обеспечивающие единственность решения сформулированной ОЗ лишь в терминах измеряемых величин
).(kxy
133
Модуль 3. Нелинейные обратные задачи
Резюмируя, отметим, что решение даже простейших коэффициентных
ОЗ требует специальных подходов, базирующихся на процедуре регуляризации, не только на этапе решения, но при исследовании единственности
и при формулировке достаточных условий, ее обеспечивающих. Отметим
также, что априорное знание погрешности входной информации является
важнейшей информацией при решении различных классов ОЗ, которую необходимо учитывать при построении решений.
3.2. Обратные задачи динамики
ОЗ динамики составляют один из важнейших разделов механики и во
все времена привлекали к себе внимание исследователей — механиков
и математиков, поскольку эти задачи имеют широкие области применения
[14, 22]. Аналитические методы исследования таких задач образовали новое направление в теории дифференциальных уравнений и оказались весьма продуктивными при решении некоторых ключевых проблем.
тельно, одной из первых фундаментальных задач, решенных в классической механике, оказалась задача Ньютона об определении силы, под действием которой происходит движение планет. Успех И. Ньютона при решении этой задачи был обусловлен тем обстоятельством, что результаты астрономических наблюдений были подвергнуты статистической обработке
и сформулированы в виде законов
задача построения силовых полей по заданным свойствам движения, стали
предметом изучения для механиков и математиков нескольких поколений,
их исследование продолжается до сих пор.
В теоретической механике установилась трактовка понятия ОЗ в основ-
ном как задач об определении сил, действующих на твердое тело, по известным
нии структуры правых частей в дифференциальных уравнениях движения
(см. пример 1, п. 2.1). В аналитической механике понятие ОЗ обрело значи-
свойствам его движения. Фактически это задачи об определе-
Кеплера. Некоторые ОЗ, как, например,
Действи-
тельно более широкое содержание, поскольку наряду с задачами о построении силовых полей ставились и решались задачи об определении
функционалов, принимающих стационарное значение в
на истинных траекториях, о восстановлении и построении уравнений движения механической системы по заданным свойствам ее движения. Необходимо отметить, что в средних веках предметом исследований классиче-
134
процессе движении
3.2. Обратные задачи динамики
ской механики являлось в основном установление свойств движения заданной механической системы под действием известных сил, решались детерминированные прямые задачи динамики. Большое внимание было уделено
решению задач об установлении свойств движения механических систем
различных конструкций под действием заданных нагрузок. Кроме того,
решение детерминированных прямых задач динамики привлекало еще
и
тем, что, казалось, оно может восстановить прошлое в движении механической системы и предсказать будущее, если известно состояние системы
в данный момент времени. Правда, эта иллюзия детерминизма вскоре была
развеяна, в основном благодаря развитию одного из разделов самой классической механики — теории устойчивости движения. Было установлено,
что ни один процесс
в природе не происходит так, как он определяется решением соответствующих уравнений движения при заданных начальных
условиях. Это объясняется тем, что, во-первых, сами уравнения движения
не могут быть составлены точно с учетом всех явлений, во-вторых, любое
движение механической системы сопровождается начальными, параметрическими и постоянно действующими возмущениями, которые вызывают
отклонения действительного движения системы от движения, полученного
решением детерминированной прямой задачи. Было установлено также,
что для сохранения желательных свойств движения необходимо управлять
движением рассматриваемой механической системы, добиваясь его устойчивости и неподатливости всякого рода возмущениям. А для этого предварительно приходилось решать ОЗ динамики, определять, при каких условиях осуществимо
движение с заданными свойствами. С другой стороны,
и само развитие теории управления движением материальных систем потребовало решения ОЗ динамики в различных постановках. Все это привело к тому, что ОЗ классической динамики оказались своего рода определяющими в современной науке об управлении движением материальных
систем различной физической природы и конструкции
.
Заметим, что некоторые из ОЗ для ОДУ решены достаточно давно.
В некоторых из них возможно получить точное решение ОЗ. Таковой является задача Ньютона о нахождении поля сил, в котором материальная точка
движется в соответствии с законами Кеплера (одна из первых ОЗ динамики).
135
Модуль 3. Нелинейные обратные задачи
Рассмотрим некоторые известные задачи динамики, оказавшиеся фун-
даментальными в том смысле, что соответствующие их обобщения в дальнейшем позволили сформулировать возможные постановки ОЗ в аналитической механике.
Задача Ньютона [9, 15]
Одной из первых ОЗ динамики явилась задача Ньютона об определении
силы, под действием которой планеты совершают движение со следующими свойствами (законы Кеплера):
орбитами движения планет являются эллипсы, в одном из фокусов
1)
которых находится Солнце;
движение планет происходит с постоянной секторной скоростью;
2)
квадраты времен обращения планет вокруг Солнца пропорциональны
3)
кубам больших полуосей их орбит.
Как известно, задача Ньютона решается в такой последовательности.
Из первых двух свойств движения непосредственно устанавливается,
что сила является центральной с центром поля в том фокусе эллипса,
где находится Солнце. Затем из уравнения движения материальной точки
в центральном поле сил
(в форме Бине) определяются значение и направление силы, под действием которой планета совершает движение с заданными свойствами. Эта сила оказывается притягивающей, прямо пропорциональной массе и обратно пропорциональной квадрату расстояния между центрами Солнца и планеты. Далее используется третье свойство движения планеты для выражения коэффициента пропорциональности через физические постоянные (масса Солнца и гравитационная постоянная)
и определяется общеизвестное выражение для искомой силы.
Задача Бертрана
Задача Ньютона вызвала в дальнейшем постановку и других более общих задач об определении сил по заданным свойствам траекторий движения. Одной из таких задач явилась задача Бертрана об определении силы
),,(YXF
под действием которой материальная точка при любых началь-
ных условиях движется по коническому сечению. При этом предполагается, что сила зависит лишь от положения точки.
136
3.2. Обратные задачи динамики
xXx
x
Y
=
r
r
Решение задачи Бертрана математически сводится к нахождению правых частей системы двух уравнений второго порядка со следующими начальными условиями:
&&
=
,)0(
xx =
0
,)0(
yy =
0
&&
),,( y
y
=
),,( y
&&
,)0(
xx
0
&&
,)0(
yy
=
0
(3.2.1)
причем известно, что движение происходит по коническому сечению.
Опишем коротко аналитическое решение этой задачи. Запишем уравнение
конического сечения в системе координат, где начало координат совпадает
с одним из фокусов, а ось абсцисс — с осью симметрии конического сечения:
где
22
e
— эксцентриситет конического сечения, p — фокальный параметр.
,
pexyxr +≡+=
(3.2.2)
Дифференцируя (3.2.2) дважды по времени, с учетом (3.2.1) получим
2
&&
yxyx
−
)(
x
3
r
X
y
=++
.
eXY
(3.2.3)
r
Найдя первую производную по времени от (3.2.2), из (3.2.3) можно получить равенство
2
&&
yxyx
)(
−
2
x
r
X
y
&&
),(
YxXy
−+=
(3.2.4)
r
которое имеет место в любой момент времени при любых начальных условиях. Если в начальный момент времени
t
координаты и скорости точки
0
выбрать согласно условию
&
y
x
x
0
0
0
,
=
&
y
0
(3.2.5)
то из (3.2.4) следует, что
Y
X
y
0
0
0
=
.
x
0
(3.2.6)
Последнее равенство означает, что в начальный момент времени сила направлена по прямой, проходящей через начало координат, которое находится в фокусе конического сечения. Поскольку искомая сила должна зависеть только от положения точки, а положение точки в начальный момент
времени выбрано произвольно, то сила, вызывающая движение точки
137
Модуль 3. Нелинейные обратные задачи
x
xV
xyV
Y
x
V
xyx
f
f
x
y
x
y
по коническому сечению (3.2.2), должна быть центральной. Поэтому искомые правые части уравнений (3.2.1) могут быть представлены в виде
X =
где функция
площадей
),,( y
=
),( y
определяется из равенства (3.2.3) с учетом интеграла
&&
.cy
=−
),,( y
(3.2.7)
В итоге получим следующие проекции искомой силы:
2
c
−=
p
r
1
,
2
r
r
(3.2.8)
X −=
2
x
c
p
r
Y −=
,
3
2
y
c
p
r
F
,
3
следовательно, искомая сила является силой притяжения с центром в фокусе конического сечения и обратно пропорциональна квадрату расстояния
движущейся точки от центра.
Таким же приемом определяется сила, под действием которой происхо-
дит движение точки по центральному коническому сечению в предположении, что центр поля находится в центре конического
сечения. В этом случае
сила оказывается центральной и притягивающей, значение которой прямо
пропорционально расстоянию до центра.
ОЗ динамики оказали значительное влияние на формирование основных
подходов при исследовании операторов, возникающих при исследовании
различных классов задач, на построение аналитических решений ряда важных ОЗ, о которых речь пойдет в следующих параграфах.
3.3. Обратные задачи для нелинейных обыкновенных
дифференциальных уравнений
Рассмотрим некоторые постановки ОЗ для нелинейных ОДУ первого
и второго порядков. Для нелинейных ОДУ часто формулируется ОЗ
об определении зависящей от решения правой части уравнения по заданному решению этого уравнения. В качестве примера рассмотрим следующую
постановку для уравнения
′
=
в котором функция
дано некоторое решение этого уравнения
состоит в том, что область определения неизвестной функции зависит
)),(()( xfx
yy
)(ξ
неизвестна. Требуется определить
).(
Особенность этой задачи
(3.3.1)
),(ξ
если за-
от входной информации, а именно от функции
138
).(
Если решение уравне-
3.3. Обратные задачи для нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений
x
y
ξ
f
x
y
x
x
y
≤
x
λ≤λ
≤
f
=
x
=λ∈λ∀
ξ
f
λ
x
f
λ∈ξ
∀
x
x
λ∈λ
∀
xyf
λ
x
f
x
λ
ния (3.3.1)
резке
Если функция
)(
задано на отрезке
],,[ dc
который определяет область изменения
)(
задана приближенно в некотором наборе точек,
],,[ ba
то
)(
можно определить на от-
),(
когда
∈
].,[ ba
то можно решить ОЗ, используя устойчивый метод вычисления производ-
ной, описанный в модуле 1. В этом случае можно говорить лишь о решении
задачи на некотором конечномерном подпространстве или определении
неизвестной функции на конечном множестве точек. Далее, конечно, мож-
но осуществить процедуру сглаживания на основе сплайн-
аппроксимации,
описанной в п. 1.7.
Пример 1 [16]
Рассмотрим ОЗ (далее будем называть ее задачей 1) для нелинейного
ОДУ 1-го порядка, содержащего параметр
′
)),,((),( λλ=λ
xyfxy
≤
,10
,0
0
(3.3.2)
с начальным условием
,0),0( =λy
.0
λ≤λ≤
0
(3.3.3)
Сформулируем ОЗ. Она состоит в определении функции
ному решению задачи (3.3.2), (3.3.3) в точке
),(),1( λ=λ ay
Предположим, что заданная функция
1
],0[)(
λ∈λ Ca
0
,
′
a
Будем называть пару функций
.0
λ≤λ≤
0
)(λa
0)( >λ
),(
a
0
y
1
как функции параметра λ:
такова, что
.0)0(],,0[
),(
решением ОЗ (3.3.2)–(3.3.4),
если
,)](,0[)(
λ∈ξ aCf
0
1
Cxy ∈λ
y
,)),(( λ
]1,0[),(
)(),(0 λ≤λ≤ a
y
),(
удовлетворяют (3.3.2)–(3.3.4).
0)( >ξ
],,0[
λ∈λ∀
0
,]1,0[∈∀
a
)],(,0[
0
],0[
,
0
Имеет место следующая теорема.
Теорема 2 [16]
Если функция
)(λa
удовлетворяет условиям (3.3.5), то решение ОЗ
)(ξ
по задан-
(3.3.4)
(3.3.5)
(3.3.6)
(3.3.7)
(3.3.8)
(3.3.2)–(3.3.4) существует и единственно.
Доказательство. Предположим, что пара функций
ется решением ОЗ (3.3.2)–(3.3.4). Тогда из (3.3.2) следует, что
)(ξ
и
′
),( λ
xy
явля-
0),( >
y
139
Модуль 3. Нелинейные обратные задачи
x
xyf
=
xyt
t
f
λ
=
λ
λ
f
ξ
f
xax
∈
x
λ
∈
f
λ
x
λ
x
ξ
f
x
x
t
k
λ
x
≤
≤
x
λ≤λ
≤
при
тегрировав от 0 до 1, имеем
мену переменной
уравнение для функции
λ
)(
a
t
d
∫
tf
0
],1,0[∈
],0[
λ∈λ
. Поделив равенство (3.3.2) на
0
1
∫
0
),( λ
и использовав условия (3.3.3), (3.3.4), получим
:)(
λ=
,
)(
].,0[
λ∈λ
0
Дифференцируя это уравнение по
Следовательно, для
1
−
где
для
′
=ξ
aaf
1ξ−
a
)(
— функция, обратная к
)(ξ
в уравнение (3.3.2), получим, учитывая формулу для производной
)),(()(
ξ
от обратной функции
)(ξ
справедливо представление
λ∈
a
0
−
1
ξ
a
)),(( λ
и проин-
′
)],(,0[
′
))((
),(
λ
xy
xd
)),((
λ
xyf
, имеем
).(λa
Подставив найденное выражение
.
λ=
Осуществив в интеграле за-
′
),())(( λ
aaf
∈λ
(3.3.9)
].,0[
0
1
=
−
′
aa
и условий (3.3.3), (3.3.5),
1
))((
ξ
1
что
y λ=λ
−
.)(
xya λ=
Отсюда находим выражение для
),(),(
Таким образом, если
],1,0[
λ
)(ξ
и
].,0[
0
y
),(
являются решениями ОЗ (3.3.2)–
(3.3.10)
(3.3.4), то для них справедливы представления (3.3.9) и (3.3.10) соответст-
венно. Отсюда и следует единственность решения ОЗ, и теорема доказана.
В понятие решения ОЗ было включено условие (3.3.8), представляющее
собой априорную оценку функции
бы область определения функции
y
),( λ
при
],1,0[∈
].,0[
λ∈λ
0
y
).,(
Это необходимо для того, что-
)(
совпадала с областью значений
Пример 2 [16]
Рассмотрим ОЗ (далее будем называть ее задачей 2), состоящую в определении зависящего от решения коэффициента при старшей производной.
Требуется определить функции
и
y
),,(
удовлетворяющие уравне-
)(
нию
′
()
′
λ xyxyxyk
λ
2
),,(),()),((
λλ=
10
,
,0
0
(3.3.11)
140
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]