Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Обратные и некорректные задачи. Учебник
.pdf
1.7. Регуляризованные методы вычисления значений неограниченных операторов
[
<
δ
δ
[
ε
+
[
∈
δ
+
δ
δ
<
В связи с этим численное дифференцирование требует процедуры регуляризации, в основе которой лежит учет погрешности задания функции
при выборе шага сетки. Опишем регуляризованную процедуру численного
дифференцирования на основе двух различных подходов [9, 10, 20].
В основе первого метода лежит традиционная аппроксимация дифференциального оператора конечноразностным оператором [4, 9, 11]. Рас-
смотрим функцию
.0>ε
Необходимо построить ее производную по известной функции
1
]
ε+∈ baCxy ,)(
, заданную на отрезке
],,[ ε+ba
,ba
δ
[]
yy
[]
,
ε+∈
baCxy
,)(
и величине погрешности
.
≤−
ε+δbaC
Определим на отрезке
],[ ba
сеточную функцию, которая при выполне-
,
таким что
нии некоторых условий аппроксимирует производную функции
=
z
η
h
Оценим величину погрешности в норме
),0( ε∈h
−+
и
η
справедливо неравенство
′
)()( xy
xyxz
−
≤
)()(
xyhxy
δδ
h
−+
h
).,0(,
ε∈
]
baC
xyhxy
δδ
−
xyhxy
−+
+
h
.,
Для любых
xyhxy
−+
h
следовательно, с учетом (1.7.1) имеем
η
где
′
−
2
)()( xyhxy
xyxz
≤
′
()
+
h
[]
∈ξ
,),(
. Из этой оценки получим
hxxhx
′
−ξ
,)(),(
(1.7.1)
′
:)(xy
(1.7.2)
]
bax ,
)()()()()()(
′
−
,)(
2
η
причем
[]
,
baC
0)( >hm
и
′
)()(
xyxz
−
Таким образом, функция
функции только в случае, если параметр метода — шаг сетки
висит от точности задания исходной информации
,0)( →δh
qc,
где
— положительные постоянные и
δ
≤
(1.7.3)
),(
hm
+
h
0)( →hm
при
η
при
0)(
→δδ h
;0→
.0→h
)(xz
будет аппроксимировать производную
h
— так за-
,
что выполняется
при этом можно выбирать
.1
q
Важнейший вывод при на-
ch δ=δ
q
хождении производной функции, заданной таблично, состоит в следующем: шаг сетки должен быть согласован с погрешностью входных дан-
61
,)(
Модуль 1. Прямые и обратные задачи. Понятие о некорректных задачах
xxx
+
θδ+
=
=
−
+
=
δ
=
ε
ных, и его простое уменьшение не приведет к успеху при решении исходной задачи приближенного дифференцирования. Возможны также случаи,
когда неудачный выбор точек задания функции не позволит определить
значения производной с требуемой точностью.
В прикладных исследованиях часто возникают задачи, в которых требу-
ется определение значений производной, при этом значение самой
функ-
ции может быть вычислено (или измерено) в любой точке и с любым ша-
.δ
гом с точностью
с заданной точностью ,ε если выбрать шаг
В этом случае возможно определение производной
q
,)(
ch δ=δ
где q определяется
с учетом условия (1.7.3):
2
δ
hm
.)(
ε<+
(1.7.4)
h
0)( =hm
Например, при
ε
c
log1
−<
q
.
δ
2
(1.7.5)
Рассмотрим алгоритм вычисления производной функции, заданной
приближенно по вышеописанной схеме.
В качестве примера исследуем процесс численного дифференцирования
′
функции
y +=
точек задаются с точностью
,sin)(
=
,δ
необходимо вычислить значения производ-
.1cos
xy
Пусть значения функции в наборе
ной с точностью
.ε
При проведении вычислительного эксперимента зашумление функции
осуществлялось по правилу
]1,1[−
ция на
Выбираем
с равномерным законом распределения.
q
где ,5.0
,)(
ch δ=δ
Строим по (1.7.2) функцию
δ
c q выбираем согласно условию (1.7.2).
)(
xz
=
η
Результаты приведены на рис. 1.7 для
xyxy
),1)(()(
где θ — случайная функ-
)()(
xyhxy
δδ
.
h
,001.0
,01.0
Сплошной линией показан график «точной» производной, точками — значения производной, вычисленные по предложенному алгоритму.
По результатам вычислительных экспериментов наблюдается устойчи-
вая аппроксимация первой производной с заданной точностью.
.201.0=h
62
1.7. Регуляризованные методы вычисления значений неограниченных операторов
=
=
Рис. 1.7. Восстановление производной с регуляризацией
Приведем результаты вычисления производной без регуляризации
для
шается до
ε
01.0
(рис. 1.8), когда задается шаг
01.0=h
(сплошной линией изображен график «точной» произ-
h
5.0
и далее умень-
,001.0=δ
водной), при этом аппроксимация дифференциального оператора ухудшается (в некорректных задачах ожидаемый эффект от уменьшения шага
не наблюдается в силу отсутствия непрерывной зависимости от входной
информации).
Рис. 1.8. Восстановление производной без регуляризации
63
Модуль 1. Прямые и обратные задачи. Понятие о некорректных задачах
ε
−
δ
δ
′
′
−=′
′
=
δ
=
ε
Аналогично осуществляется процедура нахождения производных более
высоких порядков. Для примера приведем формулу и оценку для приближенного определения второй производной от функции, дважды дифферен-
],,[ ba
цируемой на отрезке
т. е.
xv ∈ε∈
η
yy Рассмотрим сеточную функцию
δ
[]
,
baC
=
)(
δ≤−
ε+ε−
2
h
заданной с точностью ,δ
.
+−+
δδδ
hxyxyhxy
Можно показать, что
4
() ()
η
где
′′
xyxv
−
[]
,
,0)( >hm
причем
Таким образом, если
0→δ
при
при
<
q
−
стремится равномерно к
,0)( =hm
полагая
2
ε
c
log1
δ
4
.
baC
δ
),(
hm
+
≤
2
h
0)( →hm
при
0)( →δh
при
q
,)(
ch δ=δ
получим оценку
2
δ
[]
+ε−∈
baCxy ,)(
,
)()(2)(
].,[),,0(,
baxh
(1.7.6)
(1.7.7)
.0→
,0→
так что
)(xy
на отрезке
2
,0)(
→δδ h
то
].,[ ba
Например,
)(xv
η
Приведем результаты приближенного вычисления второй производной
(рис. 1.9) для рассмотренного выше примера
ей (слева) и без регуляризации (справа) при
xxy sin)(
с регуляризаци-
,001.0
.01.0
Рис.1.9. Восстановление второй производной с регуляризацией (слева)
и без нее (справа)
64
1.7. Регуляризованные методы вычисления значений неограниченных операторов
δ
N
<<=
=
N
=
x
S
Второй способ численного дифференцирования основывается на интер-
поляции функции, заданной таблично с точностью
,
с помощью сплайн-
функций [10]. Интерполяция сплайнами третьего порядка — это быстрый,
эффективный и устойчивый способ интерполяции функций, позволяющий
осуществлять операцию дифференцирования.
В основе сплайн-интерполяции лежит следующий принцип. Интервал
интерполяции разбивается на небольшие отрезки, на каждом из которых
функция приближается полиномом третьей степени. Коэффициенты полинома подбираются таким образом, чтобы выполнялись
определенные условия (какие именно, зависит от способа интерполяции). Общие для всех типов сплайнов третьего порядка требования — непрерывность функции
и, разумеется, прохождение через предписанные ей точки. Дополнительными требованиями могут быть линейность функции между узлами, непрерывность высших производных и т. д.
Основными достоинствами сплайн-интерполяции являются ее устойчи-
вость
и малая трудоемкость. Системы линейных уравнений, которые требуется решать для построения сплайнов, хорошо обусловлены, что позволяет получать коэффициенты полиномов с высокой точностью. В результате даже при очень больших
вычислительная схема не теряет устойчи-
вость.
Фактически применение оператора предварительного сглаживания исходной информации позволяет преодолеть некорректность поставленной
задачи вычисления неограниченного оператора и аналитически определить
производные от предварительно построенной гладкой сплайн-функции.
В качестве интерполяционной функции обычно используются многочлены
n-ой степени (в зависимости от необходимой точности и порядка дифференцирования).
Рассмотрим одномерный случай и наиболее употребительную кубиче-
].,[2bаC
скую сплайн-интерполяцию из класса
],[ ba
Пусть на отрезке
в узлах сетки Δ:
значения некоторой функции
),(iixff
bxxxa
...
10
i
....,,0
Интерполяционным
=<
N
заданы
кубическим сплайном
творяющий условиям
==
ii
)(
называется многочлен третьей степени, удовле-
....,,0,)( NifxS
(1.7.8)
65
Модуль 1. Прямые и обратные задачи. Понятие о некорректных задачах
N
j
=
N
−
=
N
j
N
N
N
N
j
Построим кубический сплайн по правилу
2
11 jjjjjjjjj
3
1
∈−+−+−+=
1
−−−−
].,[,)()()()(
xxxxxdxxcxxbaxS
(1.7.9)
Сплайн на каждом из отрезков
тырьмя коэффициентами, и поэтому на всем промежутке
4
определить
коэффициентов. Условия непрерывности сплайна и его
производных во всех внутренних узлах
венств. Таким образом, вместе с условиями (1.7.8) получается
],,[
1 jjxx−
,jx
,...,1
определяется че-
],[ ba
необходимо
1...,,1
дают
)1(3 −
24 −
соот-
ра-
ношений. Два дополнительных условия обычно задаются в виде ограничений на значения сплайна и его производных на концах промежутка
],[ ba
и называются краевыми условиями. Существует несколько различных видов краевых условий, из которых наиболее употребительными являются
следующие типы:
′
=
′′
=
′′′
′′
′′′′
rr
)()(
=+
rbSaS
′′′
pp
′
=
=
==
).()(),()(.I
bfbSafaS
′′′′
′′
bSaSилиbfbSafaS
=
).0)()(()()(),()(.II
=
(1.7.10)
.2,1),()(.III
.1,1),0()0(.IV
−=−
NpxSxS
Перейдем к непосредственному описанию алгоритмов построения ин-
терполяционных кубических сплайнов. Введем обозначение
i =
где
,...,,0
тогда для
2
,
xxh −=
1 iii
+
∈
],[
xxx
получаем
1
+
ii
1
./)(
hxxt −=
ii
22
2
−−−+−++−=
iiiiii
++
1
′
),1()1()23()21()1()(
tthmtthmttfttfxS
Кубический сплайн, представленный в таком виде на каждом из проме-
жутков
−
водной всюду на
],,[
xx
1 jj
=
].,[ ba
Выберем величины
,...,,1
непрерывен вместе со своей первой произ-
m
так, чтобы была непрерывна
i
и вторая производная. Так как
′′
1
2
i
++
+−++−+−−=
1
htmhtmhtffxS
)62()64()126)(()(
iiiiii
и
−
ff
1
′′
xS
i
′′
xS
i
6)0(
=+
6)0(
−=−
ii
2
h
i
−
ff
2
h
i
1
−
h
ii
1
−
m
24
m
1
i
i
m
h
i
i
++
−−
1
i
−
,
h
i
42
m
i
++
,
h
11
i
−−
mxS =
ii
(1.7.11)
(1.7.12)
,)(
66
1.7. Регуляризованные методы вычисления значений неограниченных операторов
+′′
N
μ−=
N
N
N
=
−
′
N
p
то условие непрерывности второй производной
,ix
ках
Здесь
i
,1...,,1 −=
принимает вид
⎛
⎜
32
mmm
+−
11
μ=μ++λ
iiiiii
⎜
⎝
111−
+=μ
−−
,)(
hhh
iiii
−
ff
ii
h
i
λ
.1
ii
−
ff
−+
λ+
i
ii
h
−
i
1
⎞
11
⎟
.
⎟
⎠
′′
=
xSxS
)0()0( −
ii
(1.7.13)
К уравнениям (1.7.13) следует добавить уравнения, вытекающие
1+
из краевых условий. Таким образом, получается система
для определения
1+
неизвестных
,im
i
....,,0
уравнений
В случае краевых условий типов I и II находим
*
,2
cmm
=μ+
01*00
,1...,,1,2
Nicmmm
−==μ++λ
iiiiii
11
+−
*
1
−
*
,2
cmm
=+λ
NNNN
(1.7.14)
причем
в точ-
⎛
c
μ=
ii
⎜
⎜
3
⎝
ff
−
ii
λ+
h
i
−
i
h
⎞
ff
11
ii
⎟
.
⎟
−−+1
i
⎠
Здесь для условий типа I
**
0 NNN
*
==λ=μ
0
*
′
0
′
,2,2,0
fcfc
=
а для условий типа II согласно последним двум уравнениям (1.7.12)
**
0 N
*
с
==λ=μ
0
−
3,1
h
0
0
01
−
2
*
′′
0
3,
cf
=
NN
h
ff
ff
NN
h
1
N
−
h
1
−
+
1
N
−
′′
.
f
2
Чтобы вывести систему уравнений в случае краевых условий типа IV, из
формулы первой (1.7.12) определим
⎛
′′′
6
xS
)(
⎜
⎜
2
h
⎝
i
mm
1
+
−+=
ii
1
+
h
Отсюда получаем условия непрерывности функции
:1...,,1 −=
⎛
1
⎜
1
2
h
1
−
p
+
⎜
⎝
−+
mm
2
pp
−
ff
1
+
h
p
⎞
ff
−
ii
⎟
.2
⎟
i
⎠
′′
в точках
)(xS
⎞
pp
⎟
⎟
⎠
⎛
1
⎜
2
h
−
p
p
⎜
1
⎝
−+=
mm
1
−
p
−
h
p
⎞
ff
1
−
pp
⎟
,2
⎟
1
−
⎠
,px
67
Модуль 1. Прямые и обратные задачи. Понятие о некорректных задачах
γ
γ
−
x
f
из которых вытекают уравнения, отвечающие краевым условиям типа IV:
2
=γ−γ−+
mmm
2
01
2
N
,
−−
N
=
где
2
00
2
N
2
N
hh=
100
Исключив неизвестные
к системе
*
,)1(
=γ+γ+
cmm
12010
11
+−
где
*
1
Если
1
cc
3
γ+=
1
)(
— периодическая функция, то, продолжая периодическим
−
0
h
1
⎛
−
⎜
ff
⎜
h
0
⎝
2
01
γ−
0
⎞
−
ff
12
⎟
,2)1(
⎟
h
1
⎠
(1.7.15)
⎛
mmm
N
1
⎜
=+γ−+γ−
⎜
⎝
.
hh
iiiiii
*
=γ++γ
cmm
NNNNN
ff
12
,2
21 −−
NNN
,0m
m
из уравнений (1.7.13) и (1.7.15), приходим
N
,)1(
112
−−−
*
1
1
3
ff
−
−
NN
h
1
−
N
,2...,,2,2
−==μ++λ
Nicmmm
cc
1
−−
2
1
γ−
N
γ+=
NNN
−
h
−
N
ff
NN
h
2
N
−
⎞
ff
21
−−
NN
⎟
,2)1(
⎟
2
⎠
(1.7.16)
21
−−
.2
образом сетку Δ и в соответствии с этим полагая
,
mm =
0
N
mm
Система для определения
,
N
11 +=N
,2
cmmm
=λ+μ+
11211
N
11
+−
12
−−
iiiiii
,0hh
=
можем записать условие (1.7.13) в точке
m
выглядит следующим образом:
i
,1...,,2,2
Nicmmm
−==μ++λ
.2
cmmm
=+λ+μ
NNNNNN
0
N
N=+
1
(1.7.17)
,
ff
1
.Nx
,
ff =
Итак, построение интерполяционного кубического сплайна по формуле
.im
(1.7.11) сводится к вычислению величин
Для граничных условий типов
I и II они находятся из системы (1.7.14), для условий типа IV — из урав-
нений (1.7.15), (1.7.16), а в случае III — из (1.7.17) в предположении
.
mm =
0 N
Матрицы систем во всех четырех случаях суть матрицы с диагональным
преобладанием. Такие матрицы невырожденные, и потому системы имеют
решения, и притом единственные. Таким образом, справедлива следующая
теорема.
68
1.7. Регуляризованные методы вычисления значений неограниченных операторов
x
S
x
x
xxx
=
=
N
=
N
N
Теорема 8 [10]
Интерполяционный кубический сплайн
),(
удовлетворяющий усло-
виям типа (1.7.8) и одному из типов краевых условий I — IV, существует
и единственен.
После определения коэффициентов сплайн-функций определяются путем дифференцирования значения производных (первой и второй в случае
кубического сплайна) в заданной точке ,
ределить, к какому отрезку
],[
1 iixx−
относится точка
На рис. 1.10 приведены графики функции
причем сначала необходимо оп-
.
y +
,sin)(
ее первой
и второй производных. Интерполяция осуществлена с использованием кубических сплайнов, соответствующие результаты изображены точками,
точные значения — сплошными линиями. Точность задания входной ин-
001.0=δ
формации
зоне
. Значения функции задаются в
].4,0[
15
точках в диапа-
Рис. 1.10. Восстановленные функция, ее первая и вторая производные
Следует отметить, что некорректность задачи выпукло проявляется
при увеличении числа разбиений, например для второй производной
25
при
(рис. 1.11).
Замечание
Задача численного дифференцирования также может быть решена
Рис. 1.11. Восстановленная вторая
25=
производная для
в рамках идеологии обращения интегральных операторов типа Вольтерра
69
Модуль 1. Прямые и обратные задачи. Понятие о некорректных задачах
∈
f
sxK
≤
≤
−
x
на основе равенства
′
∫
0
−=
численное обращение которых
),0()()(
yxydxxy
возможно с использованием регуляризованных алгоритмов, например метода Тихонова.
1.8. Дискретизация некорректных задач. Регуляризованные
методы анализа конечномерных некорректных задач
1. Построение обратных к вполне непрерывным операторам на примере
уравнения Фредгольма 1-го рода
Как указано выше, одной из наиболее часто встречающихся на практике
некорректных задач является процедура решения уравнения Фредгольма
1-го рода с гладким или непрерывным ядром. Исследуем регуляризованную процедуру его численного решения на основе метода Тихонова [29],
считая для простоты ядро непрерывной функцией:
b
∫
a
∈==
×=
Пусть вместо
что
ff Предположим, априори известно, что
δ
L
2
гладкая, тогда выберем
функция
h
нам известно такое ее приближенное значение
.
δ≤−
1
2
что
),,( sxK
−
h
тегральный оператор, соответствующий ядру
,],[,)()(),( dcxxfdssusxKAu
].,[)(]),,[],([),(
dcLxfbadcCsxK
2
].,[
baWU =
,hKK
тогда ,
Пусть вместо
h
h
1
LW
→
2
2
).,( sxK
(1.8.1)
)(su
— кусочно-
),(
известна такая
hAA
где
— ин-
A
h
f
,
δ
Используя схему построения регуляризирующего алгоритма Тихонова,
перейдем от (1.8.1) к минимизации стабилизирующего функционала
α
],[uМ
dcb
α
L
2
22
W
⎛
⎜
1
2
∫∫
⎜
a
⎝
hh
−=α+−=
b
2
∫
a
2
⎞
⎟
dxxfdssusxKufuAuM
)()(),(][
δδ
⎟
⎠
′
()
+α+
+
(1.8.2)
2
dssusu .])()([
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]