Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Обратные и некорректные задачи. Учебник
.pdf
3.16. Асимптотические методы при решении задач идентификации дефектов
ξ
ξ
<
+−π
M
p
=
M
p
На основании соотношения (3.16.10) можно построить представление
полей перемещений в дальней от дефекта зоне (
слоя
1
3
Для задачи 1 поле на поверхности имеет вид
.
hx =
эт
),,(
xxx =
30100
M
∑
p
,0>γ
1
=
p
< x
i
ξα−
p
1
101
,0
110
+ε+ξ=ξ
γξ−
1
eOexAhuhu
где амплитуды распространяющихся мод в слое для задачи 1
xi
+
p
p
10
=α
p
эт
vh
α−
p
10
12, pppp
2222
)5.0(
+−π−
phk
,
эт
2211
2
эт
32,300
=λ
p
h
)sh()([)1(),(
300
)5.0(
pi
,
x>
) на поверхности
101
,)(),(),(),(
(3.16.11)
A
имеют вид
p
+αλπε−=ε
vxxukexA
pp
],)ch()()sh()(
vxxuxxiu αλλ−λ+
300
(3.16.12)
....,,2,1
Важно отметить, что в случае малого характерного размера дефекта ампли-
2
,
πε
туды бегущих волн пропорциональны
т. е. площади дефекта. Заметим
1
также, что вся информация о конфигурации дефекта содержится в выражении
для амплитуд бегущих волн (3.16.12), поэтому (3.16.11) далее можно эффективно использовать при решении ОЗ идентификации параметров полости.
Следует отметить, что, наряду с асимптотическим подходом к решению
прямых задач 1, 2, существует и другой подход — приближение Борна,
или приближение
однократного рассеяния. Этот подход широко используется в акустике для определения отраженных полей слабых рассеивателей.
В его рамках поля перемещений на контуре полости заменяются эталонными полями смещений в центре полости
смещений на контуре полости имеют вид
m
l
0
).,(
xx
Таким образом, поля
3010
0
),(
=
xuu
0
m
.3,2,1=m
Приведем выражение для амплитуд бегущих волн, рассчитанных в рам-
ках приближения Борна для задачи 1:
*
xi
+
p
*
=λ
p
p
−π
pi
h
α−
10
1
p
эт
2211
0
0
*
xxukheA
)5.0(
,
=
....,,2,1
*
ναλπε−=
,)sh()()1(
130
pp
(3.16.13)
Как видно из выражений для амплитуд (3.16.12) и (3.16.13), приближение Борна не учитывает изменяемость поля смещений на контуре и в формуле (3.16.13) отсутствуют слагаемые, содержащие производные от эталонного поля.
221
Модуль 3. Нелинейные обратные задачи
ξ
=
==κ
/
=
N
ε
=
κ
На рис. 3.10 представлены графики вещественной и мнимой части поля
на поверхности слоя
=ξ
),(),(
huhu
для задачи 1, которое было рассчи-
112
тано на основе сведения краевой задачи 1 к ГИУ с использованием МГЭ
[5], асимптотического подхода и приближения Борна. Сплошной линией
изображены смещения в соответствии с МГЭ, точками — расчеты в рамках
асимптотического подхода, пунктир соответствует приближению Борна.
Рис. 3.10.
Поле смещений на поверхности слоя
В расчетах принято: толщина слоя из аустенитной стали
полости
=ε
1
Единичная нагрузка приложена в точке
.
hx =
3
Число граничных элементов в расчетах по МГЭ
,18.0
10
,
hx =
,2/30hx
kh
4
(одна бегущая волна).
,0( h
)2
на поверхности слоя
.32
,1=h
радиус
Область корректной работы асимптотического метода и приближения
Борна при расчете волновых полей в дальней зоне оценивается величиной
=ε
1
не; для полостей с
2.0...001.0
для волнового числа соответствующего одной бегущей вол-
=
1
15.0...001.0
и 4
(две бегущие волны) прибли-
жение Борна дает совершенно неприемлемый результат при расчете поля
на поверхности. Асимптотический метод в рамках такого же эксперимента
дает результаты, близкие по сравнению с МГЭ (относительная разница амплитуд менее 6 %). Таким образом, прикладной диапазон метода Борна
достаточно узок и позволяет рассчитывать поле на поверхности слоя для
задачи 1 на частоте одной распространяющейся моды для значений
,2.0
<ε
1
тогда как асимптотический подход применим в случае большей
частоты зондирования по сравнению с методом Борна при условии, что параметр
.1
<ε
2
222
3.16. Асимптотические методы при решении задач идентификации дефектов
∈
ξ
p
r
ε
ε
2. Идентификация параметров дефекта малого относительного
размера
Задача определения дефекта в среде решается на основании некоторой
информации о полях перемещений
}.],,[{
hdcS =ξ∈ξ=
слоя
312
uu
i
S
i
2
1
S
на части границы
21
*
),(
ξ=
На основе представленной выше схемы расчета и анализа волновых полей в слое с полостью рассмотрена задача об определении характеристик
дефекта малого относительного размера по полям перемещений на части
поверхности слоя. Задача идентификации полости состоит в определении
ее характерного размера и местоположения на основе измеренных ампли-
A
*
p
)2,1( =
полей перемещений. Считалось, что контур дефекта
,
x
10x30
). Рассмот-
l
0
туд
имеет произвольную конфигурацию с центром в точке (
рим ОЗ для антиплоских колебаний слоя в рамках идентификации на конечномерных подпространствах. При таком подходе поиск неизвестного
контура полости будет осуществляться в классе окружностей и состоять
в определении трех параметров — координат центра полости
радиуса
,
которые могут быть найдены из условия минимума неквадра-
,
x
x
10
и ее
30
тичного функционала невязки:
*
A
1
)(],[
A
k
*
2
xx −=Φ
3010
Выражения для амплитуд
30101
30102
2
),,(
kxxA
.
),,(
kxxA
,1A
A
рассчитывались по формуле (3.16.12),
2
(3.16.14)
а нахождение их частного позволяло исключить радиус полости. Минимум
функционала (3.16.14), зависящего от двух переменных, разыскивался
с помощью итерационного процесса, основанного на методе оврагов. Далее
найденные координаты центра полости подставлялись в одно из выражений для
A
1
или
,2A
откуда находился радиус полости.
На рис. 3.11 представлены графики относительной погрешности
восстановления координат центра полости
менении безразмерного параметра
,
Сплошной линией изображена отно-
2
,
x
x
10
и ее радиуса r при из-
30
(%)
сительная погрешность восстановления горизонтальной координаты
пунктиром изображена относительная погрешность восстановления верти-
223
,10x
Модуль 3. Нелинейные обратные задачи
r
=
N
кальной координаты
,
x
30
новления радиуса полости.
Рис. 3.11.
Погрешность восстановления
x
точками — относительная погрешность восста-
x
(сплошная линия),
10
(пунктир) и r (точки)
30
В расчетах принято:
66
⋅=c
10
,1005.5
ложена в точке
,32=
44
.6==κ kh
,1=h
=ρ
10
,1093.7
⋅=c
).,( hh
Число граничных элементов в расчетах по МГЭ
радиус полости
3
,мкг7100
упругие постоянные (
.18.0 h
Нагрузка при-
2
мН
)
Проводился следующий вычислительный эксперимент. Осуществлялся
расчет отраженного поля для двух контуров: эллипс и трехлепестковая
роза. Считалось, что полость малого характерного размера и направляющая полости принадлежит классу окружностей. Результаты представлены
на рис 3.12, где сплошной линией показан истинный контур, точками —
восстановленный.
224
Рис. 3.12.
Исходные и восстановленные контуры
Контрольные вопросы и задачи для самостоятельного решения к разделу 3
<
<
Отметим, что относительная разница между площадями восстановленного и исходного поперечного сечения полости составила менее 7 % для
среднезаглубленных дефектов (
для приповерхностных дефектов (
30
30
≥
hxh 75.025.0
) и не превосходила 11 %
hx 75.0
). Координаты центра полости
находились с относительной погрешностью менее 6 %. Таким образом,
с помощью предложенного алгоритма можно достаточно точно оценить
масштабность дефекта и его расположение в слое.
Контрольные вопросы и задачи для самостоятельного
решения к разделу 3
1. Какова размерность подпространства поиска в решении обратной за-
дачи при аппроксимации полостей эллипсоидами (эллипсоидами
вращения)?
2.
Возможно ли при подходе, описанном в разделе 3 настоящего модуля, идентифицировать полости с негладкими границами (например,
квадратные)?
3.
Можно ли упростить процедуру идентификации малых полостей?
Как формулировать в этом случае операторные уравнения?
4.
Какова размерность конечномерного подпространства, если отыскивать решение обратной задачи об идентификации пространственной
трещины в классе эллиптических трещин?
5.
Как влияет частота колебаний на точность процедуры идентификации
коэффициентных и геометрических обратных задач?
6.
В рамках постановки обратной геометрической задачи в п. 3.16 осуществите процедуру регуляризации на компактном множестве непрерывно дифференцируемых простых замкнутых кривых, расположенных в кольце, ограниченном двумя концентрическими окружностями
фиксированных радиусов [19].
225
Модуль 3. Нелинейные обратные задачи
Тест рубежного контроля к разделу 3
1. Геометрические обратные задачи — это задачи об определении...
а)
внутренних границ дефектов по информации о полях перемещений
на части поверхности изучаемого упругого тела;
б)
начального положения объекта по информации о его траектории движения;
в)
коэффициентов дифференциальных операторов по граничным полям;
г)
граничных условий на части поверхности тела по переопределенным
граничным условиям на другой части его поверхности.
2.
Может ли обратная геометрическая задача об определении параметров
полости в теле быть сведена к коэффициентной ОЗ?
а)
да, всегда;
б)
нет;
в)
да, при некоторых ограничениях на геометрию ОИ и форму полости;
г)
да, для полостей в форме сферы.
3.
Интегральный оператор в ОЗ для трещин (3.16.7) имеет ядро...
а)
непрерывное;
б)
сингулярное;
в)
гиперсингулярное;
г)
бесконечно дифференцируемое.
4.
Какова размерность конечномерного подпространства, в котором осуществляется поиск параметров направляющей цилиндрической полости, однозначно описывающих его геометрию и расположение в упругом теле,
если она представляет собой эллипс?
а)
3;
б)
4;
в)
5;
г)
6.
5.
Асимптотический подход в задаче идентификации трещин позволяет...
а)
уменьшить размерность пространства поиска в обратной задаче;
б)
решать прямую задачу;
в)
осуществить регуляризацию;
г)
упростить операторные соотношения в ОЗ.
226
Проектное задание к модулю 3
ω=ω
f
l
=
x
ρ
x
E
=
l
=
l
=
l
=
l
=
l
=
l
=
E
x
ρ
=
l
=
l
=
l
=
l
=
l
E
x
F
=
l
Критерий оценки:
раздел считается зачтенным, если обучающийся дал
правильные ответы не менее чем на 60 % тестовых заданий.
Модуль считается зачтенным, если зачтено 100 % его разделов.
Проектное задание к модулю 3
Решить коэффициентную обратную задачу для стержня по дополнительной информации о смещении торца
Для всех вариантов принимать
p
*
F — константа; по известной
2
xx
1.
точн
1)(
xE
+
+=
,
10
)(
найти
u
.1
).(
.5.0
).(),(
xx
+
2.
3.
точн
точн
xE
+=
1)(
10
xxE +=
x
sin
4.
5.
6.
xE
точн
точн
xE +=
точн
+=
1)(
10
xxE +=
2
x
1)(
,
50
F — константа; по известной 1
7.
8.
9.
10.
11.
точн
точн
точн
точн
точн
x +=ρ
xx +=ρ
2
xx +=ρ
2
xx +=ρ
cos
x
1)(
100
−
x
ex
+=ρ
,
2
,sin1)(
+
)1ln(
,
,101)(
найти
,101)(
,101)(
,sin1)(
,
,101)(
.5.0
.5.0
.5.0
.5.0
.5.0
).(
.5.0
.5.0
.5.0
.1
.5.0
ρ,
12.
— константы, определить
точн
2
),1ln(1)(
++= xxF
).(
.5.0
227
Модуль 3. Нелинейные обратные задачи
=
l
=
l
=
l
=
l
ρ
ω=ω
f
l
ωω∈
ω
ω
f
,101)(
13.
14.
15.
16.
точн
10
)(
xF
точн
точн
точн
=
xF +=
1)(
xxF +=
xexF
+=
10
cos
2
xx
−−
,
xx
,
2
x
−
,21)(
Указания к выполнению проектного задания
1.
По данным в каждом варианте
точн
.5.0
.5.0
.5.0
.5.0
)(
xE
точнточн
))(),((
xFx
решить
прямую задачу. Рассчитать
u
),(),(
].,[
,
ω
ω
21
1
выби-
2
раются между резонансными частотами.
2.
Используя полученные значения
3.
Вывести на печать значение параметра регуляризации, графики точ-
),(
найти искомую характеристику.
ного и регуляризованного решений.
Литература к модулю 3
Источники [1, 5, 6, 9, 15, 16, 19, 27, 30, 32] составляют основную литературу.
1.
Алифанов О. М., Артюхин Е. А., Румянцев С. В. Экстремальные методы
решения некорректных задач. — М.: Наука, 1988. — 288 с.
2.
Андронов А. А., Витт А. А., Xайкин С. Э. Теория колебаний. — 2 изд. —
М.: Государственное издательство физико-математической литературы,
1959. — 916 с.
3.
Аникина Т. А., Богачев И. В., Ватульян А. О. Идентификация неоднородных характеристик вязкоупругих стержней при изгибных колебаниях // Механика композиционных материалов и конструкций. 2011.
№ 1. — C. 107–115.
4.
Беллман Р., Калаба Р. Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи. — М.: Мир, 1968. — 184 с.
5.
Бреббиа К., Теллес Ж., Вроубел Л. Методы граничных элементов. —
М.: Мир, 1987. — 524 с.
6.
Бухгейм А. Л. Введение в теорию обратных задач. — Новосибирск:
Наука, 1988. — 184 с.
228
Литература к модулю 3
7.
Ватульян А. О. Интегральные уравнения в обратных задачах определе-
ния коэффициентов дифференциальных операторов теории упругости
// Доклады РАН. 2005. Т. 405. № 3. — С. 343–345.
8.
Ватульян А. О. Об определении конфигурации трещины в анизотроп-
ной среде // ПММ. 2004. Т. 68. № 1. — С. 192–200.
9.
Ватульян А. О. Обратные задачи в механике деформируемого твердого
тела. — М.: Физматлит, 2007. — 224 с.
10.
Ватульян А. О., Домброва О. Б., Жиров В. Е. Обратные задачи для не-
однородно поляризованных пьезоэлектрических стержней // ПММ.
2007. № 1. — С. 93–101.
11.
Ватульян А. О., Коренский С. А. Метод линеаризации в геометрических
обратных проблемах теории упругости // ПММ. 1997. Т. 61. № 4. —
С. 639–646.
12.
Ватульян А. О., Соловьев А. Н. Обратные задачи теории трещин в твердых телах // Известия высших учебных заведений. Сев.-Кавк. регион.
Серия Естественные науки. 2004. Спецвыпуск «Математика и механика
сплошной среды». — С. 74–80.
13.
Ватульян А. О., Явруян О. В. Асимптотический подход в задачах иден-
тификации трещин // ПММ. 2006. № 4. — С. 714–724.
14.
Галиуллин А. С. Обратные задачи динамики. — М.: Наука, 1981. —
144 с.
15.
Горюнов А. А., Сасковец А. В. Обратные задачи рассеяния в акустике. —
М.: Изд-во МГУ, 1989. — 152 с.
16.
Денисов А. М. Введение в теорию обратных задач. — М.: Изд-во МГУ,
1994. — 208 с.
17.
Ермолов И. Н. Теория и практика ультразвукового контроля. — М.: Ма-
шиностроение, 1981. — 240 с.
18.
Кеч В., Теодореску П. Введение в теорию обобщенных функций с при-
ложениями в технике. — М.: Мир, 1978. — 520 с.
19.
Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассея-
ния. — М.: Мир. 1987. — 312 с.
20.
Кристенсен Р. Введение в механику композитов. — М.: Мир, 1974. —
338 с.
21.
Лаврентьев М. М. Теория операторов и некорректные задачи. — Ново-
сибирск: Изд-во. ин-та математики, 1999. — 702 с.
229
Модуль 3. Нелинейные обратные задачи
22.
Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные за-
дачи математической физики и анализа. — М: Наука, 1980. — 286 с.
23.
Льюнг Л. Идентификация систем. — М.: Мир, 1991. — 137 с.
24.
Мищенко Е. Ф., Колесов Ю. С., Колесов А. Ю., Розов Н. Х. Периодиче-
ские движения и бифуркационные процессы в сингулярно-возмущенных системах. — М.: Наука — Физматлит, 1995. — 336 с.
25.
Романов В. Г. Обратные задачи математической физики. — М.: Наука,
1984. — 264 с.
26.
Романовский Ю. М., Степанова Н. В., Чернавский Д. С. Математиче-
ское моделирование в биофизике. — Москва — Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. — 402 с.
27.
Самарский А. А., Вабищевич П. Н. Численные методы решения обрат-
ных задач математической физики. — М.: Едиториал УРСС, 2004. —
480 с.
28.
Санчес-Паленсия Э. Неоднородные среды и теория колебаний. —
М.: Мир, 1984. — 472 с.
29.
Сумбатян М. А., Боев Н. В. Восстановление формы дефекта по рассеянному волновому полю в двумерной упругой среде // Доклады АН
СССР. 1991. Т. 318. № 4. — С. 880–882.
30.
Тихонов А. Н., Гончарский А. В., Степанов В. В., Ягола А. Г. Численные
методы решения некорректных задач. — М.: Наука, 1990. — 230 с.
31.
Цыпкин Я. З. Основы информационной теории идентификации. —
М.: Наука, 1984. — 198 с.
32.
Яхно В. Г. Обратные коэффициентные задачи для дифференциальных
уравнений упругости. — Новосибирск: Наука, 1990. — 304 с.
33.
Isakov V. Inverse problems for PDE. — N. Y.: Springer-Verlag, 2005. —
284 p.
34.
Ramm A. G. Multidimensional inverse scattering problems. — N. Y.: Longman/Wiley, 1992. — 385 p.
35.
Ramm A. G. Scattering by obstacles. — Dordrecht, Boston, Lancaster,
Tokyo: D. Reidel Publishing Company, 1986. — 442 p.
36.
Tardieu N., Constantinescu A. On the determination of elastic coefficients from
indentation experiments // Inverse Problems. 2000. V. 16. — P. 577–588.
230
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]