книги из ГПНТБ / Ефимов, М. И. Элементы теории вероятностей в задачах (с решениями) рекомендовано Мин.образования
.pdf69
17.290. В аппаратурный отсек космической ракеты за время ее
полота попадает^ |
% |
элементарных частиц |
с вероятностью |
|
Р а (А ) — £ |
1г г |
.Условная вероятность для каждой из |
||
|
‘U |
|
р |
.Найти |
них попасть при этом в уязвимый блок,равна |
||||
вероятность попадания в блок: а) ровно К |
|
частиц; |
||
б) хотя бы одной частицы. |
|
|
||
§ 18. Дискретная случайная величина.Функция распределения.
Чиоловне характеристики случайной величины.
Вероятность случайного события,состоящего в выполнении
неравенства |
% < Х |
называется функцией распределения |
|||||||
случайной величины |
К |
и обозначается |
F { x ) .По опреде |
||||||
лению |
|
|
F{«) =■ р (Х< х} |
■ |
• |
||||
|
|
|
|
|
|||||
Пусть |
случайная'величина |
X |
задана таблицей |
|
|||||
|
Ж |
|
X, |
X, |
Х3 ... |
Хп |
|
|
|
|
р |
|
Г, |
Ра Pi |
... |
Ь |
|
|
|
Можно считать,что |
X . < |
3 |
Х _ < |
• • • |
< X _ |
|
|||
|
|
|
|
• * |
$ |
|
1» |
|
|
Составим график функций распределения |
|
|
|||||||
® - о о |
<X |
< X, |
|
|
Ffx) * О |
|
|||
х* |
<X |
< |
х # |
|
F f х) |
= 'Pt |
с |
||
X, |
<х |
< |
х , |
|
FCK) = Р,+Рг |
||||
|
|
|
|
|
|
r w _ “ P , + P ^ P S |
|
||
Х,н < X S |
Хп |
|
Ffx) - Р,грД“ 5|~“ |
||||||
X п < X < + ОО. • |
F ( * ) ~ |
70
т \ |
• |
|
|
|
|
|
i |
, |
|
|
|
|
|
|
|
• |
|
|
|
|
|
|
г ~ - |
* г |
! |
! |
|
|
|
1 |
1 |
|
||
|
|
|
1 |
1 |
{ |
|
|
, - |
М |
1 |
i |
1 |
|
|
1 |
i |
] |
|
||
|
|
|
|
|||
|
|
i |
1 |
1 |
1 |
|
М |
1 |
f |
i |
л |
|
|
' I |
1 |
|
||||
X, |
х а л 3 |
*4 • • • |
Хм х,- |
X |
||
Рис. 5
Функция распределения дискретной случайной величины есть ступенчатая.функция,которая имеет скачки в точках,отвечающих возможным значениям случайной величины,Величина каждого скач ка равна вероятности соответствующего значения случайной ве-
лгЛинк,Сумма скачков равна единице.
Функция распределения. есть неубывающая функция,непрерыв ная слева ,т.е. Г = F (к) ,и удовлетворяющая условиям
Г (-С*») — 0 | Г ( + С*э) = I
Математическим ожиданием случайной величины- X |
называется |
ее среднее значение.Оно обозначается • |
|
М (X)И Л И Ш или X . .
Для дискретной случайной величины,которая^принимает ко
нечное число значений,математическое ожидание вычисляется по формуле
Если случайная величина |
X |
принимает бесконечную сово |
купность значений,то |
|
|
/71
оо
M ( X ) = Z * » p »
Математическое ожидание обладает следум’нши свойствами. I . Математическое ожидание неслучайной ве-ячина рЩщо
этой величине.
М £ С ) - С
2. Математи^зск- е ожидание суммы двух или нескольких слу чайных величин равно суш е математических ожиданий этих ве-
шчии
М ( Х + У ) = М ( Х ) + М ( Ш
3« Математическое ожидание произведения независимых слу чайных величин равно произведении математических ожиданий .
этдх величин.
М |
fX-У) = М |
(X) •м |
, |
|||
если X , У |
- независимы,- |
|
0 |
|
||
Центрированной |
случайной величиной |
X |
называется |
|||
разность между случайной величиной X |
и |
ее математи |
||||
ческим оиданием: |
„ |
= X ~ гпх |
|
|
||
|
X |
|
|
|||
Математическое ожидание центрированной случайной величи |
||||||
ны равно нулю: м ; х ) - о . |
|
|
|
|
||
Дисперсией случайной величин» |
X |
называется матема |
||||
тическое ожидание квадрата |
соответствующей центрированной |
|||||
сот"чайной величины. |
«• |
ф |
|
|
|
|
Д(х)и т а 'Д х |
|
|
||||
Дисперсия обозначьзтся |
«По определению |
|||||
д ( х ) |
= м |
[ х ‘ |
|
|
|
|
о
72
Вычисляется дйсперсия дискретной случайной величины по фор
мулам п г
-д о ч - г с
U i
(дач случайной величины,принимающей конечное число значений)
Д ( Х ) = 5 ( х „ - т ()г Р„ ,
П*1
если случайная величина принимает бесконечную совокупность значений.
При решении задач дисперсию удобно вычислять по формуле
|
|
A(X) = M(X‘) - [ M W ] ' |
• |
|
|||
Дисперсия обладает следующими свойствами. |
Д(6) - о. |
||||||
1. Дисперсия неслучайной величины равна нулю: |
|||||||
2. Постоянный множителе за знак дисперсии выносится в |
|
||||||
квадрате: |
Д(СХ) - |
С ' 0 ; |
- |
■ |
|||
|
|
||||||
3. |
Дисперсия |
суммы независимых случайных величин равна |
|
||||
суше их дисперсий: . |
|
|
|
||||
|
|
Д И ] |
= Д ( Х ] + Д ( У ) |
, |
|
||
если |
„ X |
, |
У |
независимы. |
|
|
|
4. |
Дисперсия разности независимых случайных величин |
|
|||||
равна суше |
дисперсий этих величин |
|
|
||||
Д И ) . - М Х ) + Д ( У Ь
если X , У - независимы. |
1 |
?3
Средним квадратическим |
отклонением |
0 |
х |
случайной вели |
|||||||
чины |
X |
|
называется корень квадратный из |
дисперсии |
|||||||
|
|
|
|
|
о , = !/д7 ‘ |
|
|
|
|
||
Дискретная |
случайная |
величина |
. X |
|
называется распреде |
||||||
ленной по биномиальному закону,если ее |
возможные |
значения |
|||||||||
0 , 1 . 2 |
, П |
, а ‘вероятность того, что |
Х ® Ш |
|
(fT*3 0,1,2,.. vn) |
||||||
выражается формулой |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
, |
|
|
\ |
т\ |
/лго |
о» п -ю |
|
||
|
|
Р (X*fn) |
- Pf i . m |
а |
С\ д Р |
||||||
где |
^ = |
1 ” |
р |
, |
0 |
< Р < |
1 • |
|
|
|
|
Для случайной |
величины |
X ' |
.распределенной |
по биномиаль |
|||||||
ному |
закону,имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
i
М(Х) * пр > Д(Х)~ npq, .
*
18.291. производится один выстрел по мишени.Вероятность попа дания равна О,4 .Построить функцию распределения числа попаданий
18.292. По мишени произведено Ь выстрелов.Веронтность попадания при^каждоы выстреле равна 0 ,4 .Построить функцию распределения
чиола попаданий. |
•> |
18.293. Блок включает в себя |
4 электронных лампы двух тиггв, |
по две лампы каждого типа.Вероятность отказа в работе в тече ние гарантийного с ^ х а для лампы первого типа гавна 0,£ , для чторох'О - 0 ,4 .Составить функцию распределения дискретной слу
чайной |
величины |
К |
- числа |
отказов четырех ламп, |
|
18.294. |
Случайная |
величина |
X |
• принимает только 2 значения: |
|
С и |
-С с вероятностями |
0 ,5 .Найти математическое ожидание |
|||
X |
и средн.ез |
квадратическое |
отклонение, |
||
18.295. Произведено 4 выстрела по мишени с'вероятностями попа
даний |
в |
каждом выстреле |
|
|
|
Р, |
= |
0,6 ; Р2 = 0,4 |
; |
Pj = 0,5 ; |
= 0,7 . |
За попадание в цель стрелок получает 2 рубля,за промах он |
|||||
платит |
I |
рубль.Найтисреднее |
значение выигрыша стрелка. |
||
18.296. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна
0,3 .3 а каждое |
попадание стрелок |
получает |
21 рубль.Сколько руб-' |
|||
лей он должен платить з% |
каждый промах,чтобы игра Выла безо |
|||||
бидной ? |
|
|
|
* |
|
f |
18.297. У вкладчика Иванова остаток счета |
на i апреля был |
|||||
5000 рублей, |
I июня он дополнительно внес |
400 -рублей,а на |
||||
I сентября - |
еде 2000 рублей.Какова средняя величина вклада |
|||||
за полугодие I апреля - 30 сентября ? |
|
|||||
18.298. Распределение станочного парка на заводе по числу |
||||||
аварий записано в |
таблице |
- |
1 |
|
||
число |
- |
0 |
I |
2 |
3 |
4 |
аварий |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
число |
• |
120 |
24 |
15 |
10 |
I |
станков |
|
|
|
|
|
|
Записать функцию распределения станков по числу аварий и по строить ее график.Подсчитать математическое ожидание,дисперсию
75
и среднее квадратическое отклонение числа аварий.
18.299. Распределение рабочих дней в году по выполнению плана заводом записано в таблице
Выполн. |
80 . |
85 |
90 |
95 |
100. |
105 |
ПО |
115 |
120 |
125 |
130 |
|
плана s |
||||||||||||
/° |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Число |
10 |
1£ |
20 |
50 |
50 |
60 |
40 |
30 |
27 |
15 |
10 |
|
дней |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Записать функцию распределения выполнения дневного плана за водом и построить ее график.Найти математическое ожидание ,
дисперсию и среднее.квадратическое отклонение выполнения пла на в произвольно взятый день.
I8.3QPПри сборке точного прибора для наиболее точной под гонки некоторой детали в зависимости от случая может потре боваться 1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 или 8 проб.йероятнисти числа проб за даны следующей Таблицей:
х ! |
1 |
2 |
з |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P i |
0,05 |
0,08 |
0,09 |
0,1 |
0,3 |
0,2 |
0,12 |
0,06 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Каково среднее значение числа проб при подгонке в 20 приборах?
оо
18.301. Найти математическое ожидание числа лотерейных билетов, «
на которые выпадут выигрыши,если приобретено |
50 билето^.при- . |
||
чем вероятность''выигрыш1', равна 0°2. |
” |
• |
* |
76
I8.3C2. По приблизительным подсчетам в пруде имеется 10 000
рыб,причем около 500 штук зеркального карпа.Из пруда отлови ли 120 рыб.Каково математическое ожидание числа рыб зеркаль ного карпа среди отловленных ? .
18о303. Определить среднее значение числа попаданий в мишень при 8 выстрелах,если вероятность попадания при одном выстре ле равна 3/4.,
<■ у ,
18.304. Проводится беспроигрышная лотерея на 500 выигрышен,
из которых 2 выигрыша по 100 рублей,4 выигрыша по 50 рублей,
8 выигрышей |
по 25 рублей, 20 выигрышей по 5 рублей |
и 466 |
|
выигрышей по |
I рублю.Какова справедливая |
цена одного |
билета, |
рассчитанная |
так,чтобы сумма выплаченных |
денег равнялась сум |
|
ме,вырученной |
от продажи билетов ?• |
«, |
|
18.305. Произведена проверка чувствительности телевизоров по видеоканалу (в микровольтах).Данные обследования даны таблицей.
Чувстви |
200 |
300 |
400 |
500 |
600 |
700 |
800 |
тельность |
|||||||
Число те |
15 |
75 |
72 |
64 |
- 38 |
26 |
70 |
левизоров |
е>
Найти среднюю чувствительность телевизора и среднее квадра тическое отклонение,если подвергнуто обследованию было 300
телевизоров.
18.306. Результаты контрольного |
взвешивания |
пакетиков чая |
О |
* |
У. |
приведены в таблице |
|
|
<> |
|
|
7?
Вес |
|
49,0! 49,5 |
i |
50,0 |
50,5 |
51,0 |
| |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
Кол-во проверен- ] |
тп |
30 |
! |
45 |
10 |
|
I |
||
5 |
! |
||||||||
ных пакетиков |
i |
|
|||||||
|
|
|
» I |
|
|
|
|
||
Найти математическое ожидание веса пакета,дисперсию веса и среднее квадратическое отклонение.
18.307. |
Броса |
тся |
И |
игральных костей.Определить математи |
||||
ческое ожидарие суммы очков на всех костях и дисперсию этой |
|
|||||||
суммы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
18.308. Найти закон распределения дискретной случайной вели |
|
|||||||
чины X |
.которая |
может |
принимать только два |
значения: |
с |
|||
вероятностью |
^ |
= |
0,6 |
и |
X , (&4<Хд).При |
этом М (*) = 3,i! |
||
А (н )= |
г д е . |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18.309. Бросают две игральных кости.Найти математическое ожидание сумю вешавших очков, не нриьвняя теорег.у сложения матеыатических ожидания.,
18.310. |
При бросании |
двух |
игральных костей игрок А |
выиг |
рывает |
2 рубля,если |
сумма |
открывшихся очков равна |
2 или 3 и |
выигрывает 4 рубля,если эта сум*’а равна 4 .Во всех остальных случаях он проигрывает г рубль.Найти математическое ожидание
выигрыша |
/I |
.Выгодна ли для |
i f |
эта игра ? |
||
18.311. Два игрока |
Д |
»' 8 |
повторяют безобидную партию |
|||
до тех пор,пока один из них не |
проиграет всех денег.У игрока |
|||||
А - |
а |
рублей, у |
В |
- & |
рублей.Наши верьлтность |
|
разорения |
игрока |
jjj |
|
|
|
|
78
18.312. Производится обследование группы спортсменов из 30
человек.При измерении окружности груда было установлено,
что у двоих она равна 90см, у пятерых - 92см, у четверых -
Эбсм, у троих - 97см, у шестерых - 98см, у троих - 100см и у семерых - ЗШсм.Каков средний размер окружности груди у членой этой группы л каково среднее квадратическое отклоне ние ?
18.313. Получены следующие данные об урожайности трех участков
1 |
JS участка |
|
I |
2 |
3 ■ ■; |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
} |
Центнерог |
; |
16 |
19 |
■ |
1 |
с Р а |
21 |
|||
| |
Размер |
|
15* |
25 |
22 |
1 |
участка в га |
|
|||
|
|
|
|
Найти среднюю урожайность с га по всем трем участкам и ее среднее квадратическое отклонение.
18.314..Для определения среднего времени обслуживания одного телефонного вызова произвели обследование 100 вызовов теле фонисткой РТС,Результаты обследования представлены таблицей
Время об |
|
«I |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
служивания в |
сек. |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Число вызовов |
|
2 25 |
20 ; |
14 |
12 |
9 |
6 |
5 |
4 |
3 |
|
|
|
||||||||||
Найти среднее время обслуживания вызова и среднее квадрати ческое отклонение от него.