книги из ГПНТБ / Ефимов, М. И. Элементы теории вероятностей в задачах (с решениями) рекомендовано Мин.образования

49

I I . 201 В ящике у слесаря имеются болты и гвозди.Число гвоздей

О

составляет 0,8 общего количества болтов и гвоздей.Скольно В ящике должно быть болтов и гвоздей,если наивероятнейшее число

гвоздей равно 50 ? »

11.202. На каждые 10 яблок,взятых из ящика,приходится в сред­ ней 2 испорчешшх.Найтн наивероятнейшее число хороших яблок из 9 взятых наудачу.

11.203. Вероятность купить в некотором магазине чулки без изъянов равна 0,7.Покупатель покупает 8 пар.Каково наивероят­ нейшее число пар чулок,не имеющих изъянов ?

11.204. Для Ивана вероятность выиграть шахматную партию у.

Петра равна 0,8.Сыграно 12 партий.Найти наивероятнейшее число партий,выигранных Иваном.

11.205. Игральную кооть бросают 100 раз.Найти наивероятнейшее число выданий шестерки^

11.206. В телевизоре стоят 12 ламп.Каждая из них о вероятностью

0,4 может выйти И8 отроя в течение гарантийного срока.Найти наивероятнейшее число ламп,вышедших из строя в течение гаран­ тийного срока.

11.207. Вероятность купить в магазине лампочку первого сорта равна 0,7.Покупателю необходимо купить 12 лампочек.Каково на­ иболее вероятное число лампочек первого сорта ср%ди 12 куплен­ ных наудачу ?

51

12.210. На проверку всхожести зерна берутся 500 зёрен.Установ­ лено, что количество всхожих семян составляет 3/4 всего количес­ тва зерен.Найти вероятность того,что из взятых 500 зерен 400

окажутся всхожими.

12.211. Известно,что 3/5 рабочих никелевого завода имеет сред­ нее образование.Для некоторого обследования наудачу выоирается

1500 человек.Найти вероятность того,что 1000 человек из них имеют среднее образование.'

#

12.212. В цехе работают 400 автоматов,каждый из них в течение смены может потребовать внимания настройщика с вероятностью 0 ,2 .

Найти вероятность того,что I0U автоматов потребуют внимания настройщика в течение смены.

12.213. Каждый из 900 рабочих совхоза может выполнить производ­ ственное задание с вероятностью 0 ,5 .Какова вероятность выполне­ ния задания 500-ми раоочини ?

12.214. Вероятность попадания в цель равна и ,3. По цели одиноч­ но сбрасывается Ю. бомб.Определить вероятность того,что в цель попадут 3 бомбы .

12.215. Вероятность положительного результата при химическом анализе равна О,В.Найти вероятность получения 75 положительных исходов при 100 анализах .

§ 13. Интегральная теорема Лапласа.

Пусть производится серия испытаний в условиях схемы Бернулли.

Для подсчета вероятности события,состоящего в том,что число появлений события .А удовлетворяет неравенству можно использовать приближенную формулу Лапласа:

52

фК,1

Последняя формула позволяет оценить отклонение частоты появле­ ния события в схеме Бернулли от вероятности сооытия в отдельном испытании.

ъъ

13.217. Вероятность попадания в цель равна 0 ,4 .По цели одиноч­

но в неизменных условиях сбрасывается 40 бомб.Определить веро­ ятность того,что число попаданий в цель будет не меньше 12.

13.218. Вероятность того,что деталь не прошла проверку ОТК равна 0,1 5 .Определить вероятность того,что среди 250 случайно отобранных деталей непроверенных окажется от 80 до 120 деталей.

13.219. Вероятность попадания в цель равна 0 ,4 .По цели одиноч­

но в неизменных условиях сбрасывается 40 бомб.Определить,какое

13.220. Вероятность выхода из строя детали за время испытаний на надежность равна 0 ,0 2 .Какова вероятность,что при испытании

200 деталей выйдут из строя не менее 8 деталей ?

13.221. Вероятность соединения с абонентом равна 0 ,8 .Найти ве­ роятность того,что при 120 вызовах число соединений будет между

62 и 86.

13.222. Вероятность появления события в условиях схемы Бернулли

появления этого события (промежуток принять симметричным4отно­

конденсаторов; 2) не более 30 конденсаторов; 3) от 20 до 40

конденсаторов ?

54

13.224. Вероятность попадания в цель резна 0 ,4 ,По цеди одиноч­

но в неизменных условиях производится 30 выстрелов.Определить

13.225. Пользуясь теоремой Лапласа,найти вероятность появления не менее 420 и не более 460 первосортных деталей,если всего деталей в партии 800 и вероятность появления первосортной де­ тали равна О,?.

13.226. При штамповке металлических клемм для соединительных пластин получают 15% брака.Какова вероятность в партии из 400

клемм найти от 75 до 90 бракованных ?

13.227. 75% изделий,поступивших на склад магазина являются изделиями первого сорта.Какова вероятность того,чт<4 из 50 взя­ тых наудачу изделий не менее 30 окажутся первосортными ?

13.228. Вероятность поражения м-шени стрелком при одном выстре­ ле равна 0,7 . Определгть вероятность того,что при 80 выстрелах стрелок поразит мишень не менее 50 и не более 70 раз .

13.229. Проектируемая телефонная станция должна обслуживать

2000 абонентов.Считается,что каждый из абонентов занимает ли­ нию связи,в среднем, 4 минуты.Сколько необходимо иметь каналов, ''тооы практически не допускать потери вызовов ?

13.230. Собрание в 100 человек принимает решение голосованием.

Вероятность того,что каждый участник собрания принимает пра-

V

внльное решение,равна 0 ,7 .Какова вероятность,что решение Соб­ рания,вынесенное большинством голосов,будет правильным ? с 13.231. Найти вероятность того,что при 100 независимых испыта­ ниях. частота появления событии д. ет отклонение гг его ьероятг

55

Найти вероятность того,что при 200 выстрелах отклонение часто­

ты от вероятности попадания по абсолютной величине не превы­ сит 0,007.

13.235. Сколько нужно произвести испытаний,чтобы с вероятно­ сть» 0,7 можно било ожидать,что частота появления данного со­ бытия отклонится от 0,4 не более,чем на 0,01 ?

13.236. В среднем на каждые 10 телефонных вызовов в двух слу-

чаях бывает отказ.В течение часа поступило 900 вызовов.Найти вероятность Того,что относительная частота вызовов,которые окончатся разговорами,отклонится от вероятности соединения при единичном вызове не более,чем на 0,05.

13.237. 8а показаниями амперметра проводятся наблюдения.Веро­

ятность точного показания равна О.Э.Сколькд наблюдений надо

А4 провести,чтобы с вероятность» 0,7 можно было предполагать5:то

относительная частота точных показаний отклонится от вероятно­

56

сти точного показания при единичном наблюдении не более,чем на 4% ?

13.23&. При производстве деталей 9% составляет брак.Произво­ дится 200 деталей.Определить доверительный интервал для бра­ кованных деталей, который можно гарантировать с- надежностью

стаканов первого сорта во всей' партии.

■13.240. Найти вероятность того,что при 5000 бросаниях играль­

13.241. На сигнал определенного уровня приемник реагирует в

7-м.и случаях из 10.Произведено 150 испытаний.Какова надежность

13.242. Сколько раз надо бросить монету,чтобы с вероятностью равной 0,7 можно было ожидать,что отклонение относительной частота появлений герба от постоянной вероятности 0,5 окажет­

ся по абсолютной величине более 0,03 ?

13.243. Произведено 10 000 бросаний монеты,при этом герб вы -■

пал 5010 раз.Насколько хорошо это согласуется с тем,что веро­ ятность выпадения" герба рав^к? 0,5 ?

5?

13.244. Вероятность соблюдения правил при прохождении пасса­ жиров через автоматический контрольный пост метрополитена рав­ на 0 ,? .Сколько пассажиров должно пройти через автоматический контрольный пост,чтобы с вероятностью 0,8 можно было ожидать отклонение относительной частоты соблюдения правил от вероят­ ности не болие,чем на 0,02 ?

13.245. Из партии ротовой продукции в 10000 единиц для опре­ деления доли брака производится выборка.Определить необходи­ мый объем этой выборки.который с вероятностью 0,99 гарантиро­ вал бы ошибку,не превосходною 0 ,1 .Выборка производится с возвращением.

§ 1^. Дискретные и непрерывные случайные величины.

Закон раопредгления вероятностей дискретной случайной величины.

дискретной случайной величиной называется такая переменная величина,которая может принимать конечную или бесконечную со­ вокупность значений,причем принятие ею каждого из значений есть случайное событие с определенной вероятностью.

Непрерывной случайной -величиной называется случайная вели­ чина, возможные значения .которой непрерывно заполняю® некоторый промежуток. •<•

58

Дискретная случайная величина характеризуется тем,что все

еезначения можно пронумеровать.

Случайные величины будем обозначать большими буквами латин­

ского алфавита: X , У , 2 .Их значения - малыми буквами то­

го же наименования: ОС,, 3 2 * , ...... 32ft, причем указанную после­

довательность значений принято записывать в возрастающем поряд­

ке.

Соответствующие им вероятности обозначают: ,

Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение устанавливающее связь между возможными значениями

случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Закон распределения может иметь разные формы.Простейшей

формой является ряд распределения.

Рядом (или таблицей) распределения дискретной случайной