книги из ГПНТБ / Ефимов, М. И. Элементы теории вероятностей в задачах (с решениями) рекомендовано Мин.образования
.pdf
|
|
|
|
39 |
|
Замечание |
I . |
Изложенная схема предполагает,что появление |
|||
точки |
М |
|
в любом месте области _/Т_ одинаково |
возмож |
|
но. |
|
|
|
|
|
Замечание |
2. |
Схема применима и в тех случаях,когда |
СО и |
||
- П - |
- одномерные |
или трехмерные области.Тогда |
|
||
где £ |
и |
V |
длина и объем соответствующей области. |
||
Замечание'3 . |
Для указанного определения вероятности случай |
||||
ного события справедливы теоремы сложения и умножения вероят ностей и их следствия.
9.144. В круг вписан квадрат.Какова вероятность того,что точка,брошенная наудачу внутрь круга,окажется внутри квадра та?
9.145. Корабль,длиной 200м и шириной 20м имеет 4 круглые башни диаметром 4,3м. Найти вероятность поражения башни сна рядом, попадающим в палубу,если попадание в любую точку палу бы равновозможны и форма палубы принимается за эллипс (высо ту башни не учитывать).
9.146. Корабль стоит на якоре в гавани с водной поверхностью площади 200 000 м? Длина корабля 160м, ширина 20м. Опреде лить вероятность поражения корабля авиационной бомбой,попав шей в гавань,если кроме прямого попадания для корабля опасны разрывы йа расстоянии Юм от него (форму корабля считать эл липтической).
9.147. Произошел разрыв в некоторой точке К линии ММ
длины G .Наити вероятность того,что точка К удалена от точки М на расстояние,не меньшее f] .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
.;i - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S .l-tt . |
Какохд, вероятность попасть по |
ц ел я сь |
беск он еч н о малой |
|||||||||||||||||||||||
пулен |
в |
квадратную реш етку, |
есл и |
толщина прутьев |
р ею т к п |
|
||||||||||||||||||||
равна |
o l , |
а |
расстояние |
i.e;;wy |
еродш п.п |
л ш ш ш е равно |
t |
? |
|
|||||||||||||||||
• Л-'1£. |
иПиная позиция |
|
состоит |
из |
трех |
участков |
паз разденш! |
|||||||||||||||||||
еледующею иритяюнпя. £=-2,5 |
км, |
£а= 4 |
км, |
£ f |
-3,5м.:. |
|
||||||||||||||||||||
вероятности подрыва на этих участках |
соответственно |
равны |
|
|||||||||||||||||||||||
1 , о , |
(,0 |
, |
|
( , , |
. |
Найти вероятность |
подрыва upu |
.дорса- |
|
|||||||||||||||||
ровашш |
это .; |
|
позиции. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
‘. Л ' П е т р |
и |
Ш ан уел о ш т с т- |
в ст р ет и ть ся |
выеду |
|
1Ь ч а с а ш |
||||||||||||||||||||
*i Часе .л д н и |
в |
определенном |
в и с т е . Ириыеди .и |
иервим |
вдет |
|
||||||||||||||||||||
д р у г о ю |
|
1 . |
те Чейне |
I f |
ыпнут, |
несли |
чеЮ |
у х о д и т . |
1С1..у равна |
|
||||||||||||||||
вер оя тн ость |
1 |
стречл |
Пе^зь |
и |
Ивгыа |
есл и |
приход |
к а а д о ю |
и з |
|
||||||||||||||||
ню; |
! тьчеш ю |
у к к я а п ю х о часа |
ю ..ц т |
произойти иауд-.в»у |
и |
|
||||||||||||||||||||
i .OI.Limi |
UpilllU. ,а |
:1’3 ЗАВИСИМ . . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
i » l b l . |
Точка |
орм клш |
наудачу |
внутрь |
круз-а |
радиуса |
R . |
|
||||||||||||||||||
iiiuiTii в ер оя тн ость |
т о г о , |
что |
расстояни е |
точки |
от |
центра |
|
|
||||||||||||||||||
оКЧйДЗТСЯ В-ЫШие |
ц |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
f |
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
'Л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- Л ю . |
ц |
кггидрат |
о |
г о puiiiiiiei.ai |
в "’Очках |
0 - к |
)» |
( ' |
ю }» |
|
( ГЛ ) |
, |
||||||||||||||
о ( l ' , j ) |
иауд: чу |
брош ена т оч к а . |
U S i O t |
fc |
i а ре.ЮНПСТЬ |
т о ю , |
|
|||||||||||||||||||
что |
ее |
координаты X , |
У |
|
будут1 yyoj л .творн'гь п о р м д н ет в у у < |
2 х ? |
||||||||||||||||||||
■• •' л . |
П ачсрю но |
пять |
:.ош |
нт |
нчеекпх |
окруя-ностс; , |
радиусы |
|
||||||||||||||||||
-'■Лю: |
р;.j |
Hi |
|
*t , 2 * 1 ,3 |
Т A X |
, 0 1 . |
Крух |
раДП,-■'■■■a X |
U |
два |
|
|
||||||||||||||
UB C |
BH |
,;,H. .. |
Л а у с а м |
j i |
II |
i |
t |
a. j:;ip,.. x-J:.. .ill. i. |
круге |
j fa- |
|
|||||||||||||||
диус; |
§ |
t |
н аудачу |
тибрена |
|
|
:- |
к. ...пть ) |
осдтн ость |
п он а - |
||||||||||||||||
,• :«:я ото., |
точки |
|
>') |
в |
|
|
|
|
и у у. |
; 1 , |
|
|
ю |
л ..* /о , |
аниую |
|||||||||||
ст :.. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
41
9.154. Какова вероятность того,что сумма двух наугад взятых пробольных.
•положитейншг дробей не больше единицы,а их произведение не больше 0,16.
9.155. В любые моменты промежутка времени 1 равновозможны
поступления в приемник двух сигналов.Приемник будет заоит,если
разность по времени между этими сигналами будет меньше |
t |
|||||||||||||
Определить вероятность того,что приемник будет забит. |
|
|||||||||||||
9.156., |
В круг радиуса |
CL |
вписан правильный |
треугольник. |
||||||||||
Найти вероятность того,что четыре наугад поставленных |
в дан |
|||||||||||||
ном круге точки окажутся внутри треугольника. |
|
|
|
|||||||||||
9.157. |
Найти вероятность того,что |
корни уравнения ЗС*Ч-рХ'Н|* 0 |
||||||||||||
окажутся действительными,если |
р |
, |
Q |
выбраны наудачу сре |
||||||||||
ди чисел, удовлетворяющих условиям |
*| р |
14 f , |
1 Ц . | ^ 1 |
• |
||||||||||
9.158. |
Определить вероятность |
того,что |
корни |
квадратного |
||||||||||
уравнения |
X 2* 2 ОХ + § |
~ О |
|
действительны,если равновоэ- |
||||||||||
моцны значения |
коэффициентов |
в прямоугольнике |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
U ) |
/ |
п |
|
|
I п ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ |
й» |
1 |
|
К |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
9.159. |
В квадрат |
с |
вершинами |
|
в точках-(0 ,0 ),(0 ,1 ),(1 ,0 ) |
и (1,1) |
||||||||
наудачу бросается |
точка.Какова.вероятность того,что координаты |
|||||||||||||
точки будут удовлетворять неравенству |
« |
I |
| |
• |
* |
|||||||||
|К “ § j > |
g" |
|
||||||||||||
9.Х60. На горизонтальной плоскости вдоль пряной |
M f S |
через |
||||||||||||
интервалы* |
Й |
расположены оси одинаковых цилиндров с |
радиу |
|||||||||||
сами основания |
К |
.Под углом |
|
vJ* |
к |
прямой бросается |
шар |
|||||||
радиуса |
|
.Какова вероятность столкновения шара с цилиндром |
||||||||||||
если пересечение линии движения центра шара с |
прямий ^ 4 Н р а в - |
|||||||||||||
новозаоьпо |
в любой точке? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
42 |
|
|
9.161 .(Задача £юффона>.На плоскость К |
ОУ разлинованную |
||
прямыми.параллельными оои Од и отстоящими друг |
друга |
||
на расстоянии L |
.наугад Оросаетоя |
игла длины "£ |
.Какова |
вероятность того,что |
игла |
пересечет |
одну из начерченных линий? |
||
§ 10. Схе&д повторения |
иоштаний |
(Схема Бернулли) |
|||
Многие задачи теории вероятностей сводятся к следующей |
|||||
схеме: |
производится |
К |
независимых испытаний,в |
результате |
|
каждого |
испытания может произойти событие Л с |
вероятностью |
|||
Р.Требуется найти вероятность того,что за Т1 испытаний
еоиытие |
Я |
произойдет |
ровно |
Ш |
раз,Вероятность этого |
||||
сооытия определяется по формуле |
Бернулли |
|
|
|
|||||
|
|
|
Р |
|
m |
п' |
а - я» |
|
* |
|
|
|
~ '-’n Р Я |
|
|
||||
где |
Q, |
* |
1 " р |
|
|
|
|
|
|
Для подсчета вероятности ообыти..,состоящего в появлении |
|||||||||
некоторое число раз,заключенное между известными |
числами ГГЦ |
||||||||
и THg , используется формула |
|
|
|
|
|
||||
Рц#т, 4 пг<т й^ Рп.т^Рп, т** |
|
|
|||||||
вытекающая из теоремы сложения вероятностей. |
|
|
|||||||
10.162. |
Вероятность попадания при одном выстреле |
равна 0 ,7 . |
|||||||
Какова вероятность 4-х попаданий при 7 выстрелах? |
|
||||||||
10.163. |
Число длинных волокон в хлопке равно 5/7 |
их общего |
|||||||
числа.Найти |
вероятность |
того ,чи а |
|
# |
* |
|
|||
пучке хлопка |
из 10 войокон |
||||||||
длинными |
окажутся 8 ? |
|
|
|
|
|
|
||
10.164. На складе никелевого завода лежат слитки ниталла сходных форматов 2-х весовых категорий,причем слитков 1-ой категории в 1,2 раза больше числа слитков 2-ой категории.
Слитки слржены без всякого порядка.Найти вероятность того,
что среди наудачу взятых 8 слитков, 5 окажутся I-ой категории?
10.165. Что вероятнее выиграть у равносильного противника:
3 партии из 4-х или 5 из 8-ми?
ч
10.166. Что вероятнее выиграть у равносильного противника: 4 партии из 6 или 6 из 9 ?
10.167. В семье 12 детей.Считая рождение мальчика и девочки равносильными,найти вероятность того,что в семье поровну маль чиков и девочек.
10.168. Производство дает в среднем 6# брчка.На испытание взято 10 изделий.1) Какова вероятность,что среди них нет бракованных? 2) Какова вероятность,что среди 10 изделий будет 4 бракованных ?
10.169. Производство дает в среднем 6$ брака.На испытание
взято 10 изделий.Какова вероятность,что среди них не более
А
одного бракованного изделие ?
*
10.170. В цехе имеется 8 моторов.Для каждого мотора вероят ность того,что он включен в данный момент,равна 0 ,7 .Найти вероятнодть того,что в данный момент а 1 включено 5 моторов;
б ) включены все моторы; в) все моторы выключены.
10.171. Вероятность того,что расход электроэнергии на протяже нии одних суток не превысит нормы равна 0 ,6 .Найти вероятность того,что в ближайшие 8 CjToit расход электроэнергии в течение
5 суток не превысит нормы.
10.172. Для Петра вероятность выиграть шахматную партию у Ивана ранне 0 ,8 .Сыграно 4 партии.Какова вероятность тего,чжо Петр вы-'
играет 3 партии и I проиграет Ъ
10.173. Вероятность того,что машина ,'изптая напрокат,будет вов-
врашьпа исправной равна 0,В. Какова вероятность того,что йй
4 возвращенных машин 3 окажутся исправными ?
10.174. Вероятностью 0*9 оценивается появление колонии микро организмов данного сорта в определенных условиях.Найти вероят ность появления из 10 случаев этой колоний микрос ганивмов ча менее В раз.
10.175. Машина-экзаменатор содержит 10 вопросов,на каждый ив которых предлагается 4 варианта ответов;Положительная оцеика выставляется машиной в Том случае,когда экзаменующийся правиль
но Ответит не менее,чем на 7 вопросов.Какова вероятность полу чить нояоптеяьную оценку *выбирая ответы наудачу ?
Ю ;17ь. Ь магазине имеются различные фотоаппараты.Вероятность того,что полу Патоль, который приобрел фотоаппарат,купил аппарат
"Киев",равна 0*4,Найти вероятность того,что из 12 проданных фотоаппаратов будет продано 10 фотоаппаратов "Киев".
10.177. Студент-заочник получает учебник по почте.Вероятность того*что учйТйти» «ssggr переплет,равна 0 ,9 .Какова вероятность того,что из 10 учебников,высланных студенту, 3 окажутся без переплета 7
1D.I78. Б типографии у юется 4 наборных машины.Вероятность того.что машина в данный момент работает,равна 0 ,8 . Какова вероятность,что в данный момент работает i машины ?
|
|
|
45 |
|
10,179. |
В магазин вошли 12 пекупателей,Вероятность того ,!чтр |
|||
в |
|
|
«). |
, |
отдельности каждый из них купит что-нибудь,равна 0 ,4 2 ,Какова |
||||
вероятность того,что |
вое 12 человек совершат покупки} |
|
||
2) |
6 покупателей ооверша. покупки} з ) ни один покупатель не |
|||
совершит покупки ? |
|
|
||
10,160, |
На ооновании |
исследования многих тысяч кристаллов |
|
|
кварца из 6 месторождений,расположенных в равных странах оце
нена вероятность вотречн правых кристаллов р |
а 0,49 и ле |
||
вых 1 ~ р |
= 0,51 .Пусть из этой |
совокупности |
нйудачу ввято |
10 кристаллов кварца.Требуется найти |
вероятность |
того,что среди |
|
этих Ю кристаллов окажется не белее |
трех правых. |
(: |
|
|
|
|
|
10.181. Всхожесть семян некоторого сорта определяется вероят ностью 0 ,7 .Какова вероятность того,что ив б посеянных семян взойдет не меньше 3-х ?
10.182. Отделом технического контроля установлено,что на сотню велосипедов,выпускаемых заводом, 10 поступают в О.Т.К. с дефек-
тёкми.Какова вероятность того,что ив случайно выбранных б ве лосипедов бее дефектов окажется не более четырех 7
10.183. При установившемся технологическом режиме на 500 вере тен аарегистрировано 50 обрывов в час.Найти вероятность того,
что число обрывов в чао на 10 веретенах будет не меньше 2 и
не больше 5 .
10.184. В результате многолетних наблюдений установлено,что
ив каждой тысячи новорожденных в среднем рождается 485 девочек и 515 мальчиков.В некоторой семье 4 ребенка.Найти вероятность
того,что среди детей не больше трех мальчиков.
£
10. 165. Вероятность поражения мишени при одиа^адим виотреле равна 0 ,? .Какова вероятность того,что при 15 выетронах число попаданий будет заключена между 9 и 12 ?
в 10. 166. Длительной проверкой установлено,что определеШйб |
||
л |
” |
* & |
сор? хлопка содержат 12%коротких волокон.Определить вероят |
||
ность того,что в наудачу выбранной пучке на б волокон окажет ся не более Д-х коротких.
ч
10.187. Вероятность попасть в цель при одной выстреле равна
О
0 ,3 .Производится 7 независимых выетредов.Для разрушения цели
достаточно 4'~х попаданий.Найти вероятность пора?, лия цели.
о
10.168. По цистерне’ е горючим производится S независимых м
а.
«стрелов.Первый понявший снаряд вызывает течь горючего (но не
воспламеняет его),второй попавший снаряд вызывает воспламвие-
" ние горючего.Найти вероятность |
того,что цистерна будет подоа- |
о |
в цистерн при каждом выстреле |
жена,если вероятность попадания |
|
равна 0 ,7 , |
- |
10.189. для новогодних подарков приготовили смесь конфет двух сортов "Шашка на севере" и "Красная шапочка",причем ве роятности выташить конфету каждого сорта равны.Какова вероят ность оонаружить среди случайно взятых 6 конфет меньше 3-х
койфет сорта "Красная шапочка"V
■ч
10.190. G тонна по самоходному орудию произведено 5 независ..-
Г\
мых выстрелов.вероятность попадайся яри каждом выстр'еле равна о ,
0,Д.Дяя. поражения,, орудия достаточно двух попаданий.При одном попаданий ооудие( поражается с вероятностью и,7.К*ков(| всрбят-
носЛ того,что орудгз бу^ет ун'.чТоженоУ
10.191, Среди коконов некоторой партии ЧВА имеется цветных.
Какова вероятность того,что среди 12 случайно отобранных из партии коконов будет 5 цветных ?
10.192, Производится бомбометание но |
кораблю,Самолет имеет |
4 бомбы.8а каждый заход сбрасывается |
по одной бомбе,Бомбомета |
ние прекращается после первого попадания в корабль.Вероятность
попадания в цель равна 0 ,7 .С корабля по самолету ведется огонь.
Вероятность сбитня самолета при одном заходе на цель равна
0*2*0првделить вероятность того,что при выполнении-указанной выше задачи самолет будет сбит»
10.193, (Задача Баноха о спичечных коробках).Некий математик всегда нооит с собой две коробки спичек.Каждый раз,когда он
хочет достать спичку,он выбирает Наугад одну из коробок.На ступит момент,коГда он вынет Пустую коробку,В это время В
другой |
коробке |
может быть |
*1 спичек,Найти вероятность то |
го,что |
в одной |
из коробок |
останется % спичек,в то врем |
как Другая будет пуотая,если первоначально в каждой коробке
было |
ЭД |
спичек, |
|
|
|
|
|
|
§ |
И * Наквероятнейшео |
число появлений события |
в условиях |
|||||
|
|
Схемы повторения |
испытаний, |
|
|
|||
При ЯрЬведеййй испытаний |
но схеме Бернулли событие |
может |
||||||
произойти |
0 раз , |
1 р ай * ,,. |
< ft |
раз.Наивероятнейшее |
число |
|||
появлений |
события |
М |
раз |
можно определить из |
неравенства |
|||
|
|
|
|
4 М 4 П Р + Р |
|
|
||
Вероятность р н Ж |
достигает своего наибольшего |
значения |
||||||
при |
№ |
- М |
|
|
|
|
|
|
48
11.194. Вероятность попадания по быетродвижущейся цели при автоматической наводке орудия равна 0 ,7 .Определить паивероят-
нейшее число попаданий при 100 выстрелах.
11.195. В результате многолетних наблюдений для некоторой местности было установлено,что вероятность того,что в течение
I июля выпадет дождь,равна 4/17 .Найти наивероятнейшее число дождевых дней I июля за ближайшие 50 лет.
11.196. В результате длительной проверки на деревос .елочном
заводе установлено,что яри елпуеке оконных блоков число ира кованных блоков в среднем составляет 4#.Найти наивероятнейш! .
число исправных блоков в партии из 20 штук.
П.1У7. Вероятность попадания в цель при одном выстреле рава^.
О,6 .Сколько надо сделать выстрелов,чтобы наивероятнейшее число попаданий в ■ель равнялось 25 ?
11.198. В результате длительных наблюдений для данной местности устстиВили,что вероятность появления дождя 15 августа равна 0,4
Определить наиболее вероятное число дождевых дней 15 августа ....
за ближайшие 50 лет.
11.199. Первое орудие выпускает 80 снарядов в данный промежу ток времени с вероятностью попадания каждого из них 0 ,85.3а
тот же промежуток времени |
второе |
орудие выпускает 70 |
снарядов |
с .вероятностью попадания |
0,9 для |
каждого из них.Найти |
наиверо |
ятнейшее число попаданий для каждого орудия.
11.200. (Задача-шутка).Вероятность того,что ежедневно кошка ловит мышку,равна 0 ,4 .Найти наивероятнейшее чйсл'о мышей,пой манных кошкой за 10 дней.