книги из ГПНТБ / Ефимов, М. И. Элементы теории вероятностей в задачах (с решениями) рекомендовано Мин.образования
.pdf
|
|
|
|
|
- |
219 |
|
\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М(Х*) |
« |
А • 0о‘+ |
|
|
|
|
98* + - § - в Т * + |
||
+ А |
^й * + Й * Ш° а + 5о ' |
i0<1 |
* |
9421,4 . |
|||||
(ИХ)4 |
- |
9Т * » |
9 403 . |
|
|
|
|
||
Д (Х ) |
- |
М(Х-‘) . - ( М Х ) ‘ |
= |
12,4 . |
|
||||
6 ( Х ) |
“ |
/ Л ( Х ) |
«■ 3,52 . |
|
|
|
|||
18.313. |
Общая площадь всех |
участков |
15 + 25 + 22 = 62 га. |
||||||
Поэтому |
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
M W |
“ |
«8-Л |
+ « " f f |
+ |
2 1 - Ц - |
18,93 . |
|||
М ( Х * ) - |
« ' g |
+ 19 | f |
+ |
24* | f |
- |
53^,98 . |
|||
, ( И Х ) 8= |
18,98 * “ |
360,2-) . |
|
|
|||||
Д( х) |
- |
и ( х * ] - |
( M X ) 1 - 5,74 . |
|
|||||
б ( х ) « -/ Д ( х ) ' - |
1,954 . |
|
|
||||||
18.314. |
Пусть |
Л |
- время обслуживания.Находим |
||
М ( Х ) |
» 1 - О ,С 2 + 2 |
0,25 + 3 0,2 + 4 • |
0 ,14 + |
||
+ 5 - 0,11 + |
б ‘ О4О0 |
+ Т -0 , Об + 8 - 0 ,0 5 |
+ 9 0 ,0 1 + |
||
+ 10 • 0, 0 3 |
« |
4 ,5 . |
|
|
|
|
|
|
228 |
м ( х ) = |
25, 68 ; |
1 8 , 4 3 |
|
Д ( х ) |
* |
М ( х ‘) - ( М Х ) 1 « 5,1S . |
|
б ( Х ) |
= |
1 / Х о Г У |
= 2, 278 . |
18.315. Пусть X - ЧИсло испытаний до первого откааа.Рад
вероятностей |
X |
|
имеет вид 6 |
|
|
||
X |
О |
1 |
|
г |
К |
|
|
р |
р |
РЧ. |
|
Р Ч г |
■ • ■ р<г* |
|
|
где |
ц, - 1 |
р |
.Далее находим ; |
|
|
||
|
ро |
|
со |
3 |
о |
± |
|
М(х-) -2^ Х‘Р*=ч^ |
КИ КрУ= |
к р Ч Р% |
|||||
|
* =0 |
|
к=о ° ° |
|
0 ~ Р ) 2 |
р |
|
Здесь использована формула
ОО“
я __
( * т я ) г |
К ! <1 7 |
|
которую легко получить,дифференцируя сумму Оесконечной убывакь щей геометрической.прогрессии:
ц - я + я 4+ * 3+ - - - + У ~ ' + |
. . . » |
_ t _ |
||
I + i ^ + 8 ^ ‘ + ... + n q n_,+ |
•• ■ |
|
1 |
|
|
|
|
|
0 - 9 ) * |
Умножив на |
,найдем |
|
о |
|
« |
v |
|
О о |
|
к «о
:e.3I6. Пусть |
X |
- рост всходов.Всего обследовано растений |
|||||
• 1 +■2. + ••■+ !0*S5tПоэтому |
находим |
|
|
|
|||
М (х ) " 5 ^ 4 - 7 - i - ь в - ^ + в - А + |
|
|
|||||
+ |
|
+ » « • & + 12 ^ + 10 - & + « 5 & + |
|
||||
+ |
Н ' 1 |
= |
10, м . |
|
|
|
|
М |
( х 2) |
=122 , М |
; |
( м х ) ® « 120, <2 |
. |
||
|
|
* |
Д ( к ) * |
М ( X * ) - ( M X ) * в |
2,86 . |
|
|
|
|
|
<3(х) = |
т Ш |
* |
1,69 |
|
18.317. |
Пусть |
X |
- |
число слов в телеграмме.Тогда,в еоотвеТ' |
|||||||||
ствии |
с |
таблицей: |
|
|
|
|
|
|
|
||||
М ( х ) |
- |
s |
|
S00 ' |
, э |
soo |
j. |
, Ш & |
. 4- |
<!g . iiS. |
+ |
||
|
T |
gee |
^ |
see |
|||||||||
|
|
|
|
|
, |
* , |
24 |
b a s |
800 |
|
800 |
17, S S 4 |
|
|
|
|
|
|
+ |
3 3 ' £ М |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
м (х*) |
* |
|
|
аоо |
|
„2 |
303 |
. |
, |
9 |
= 3 5 5 , |
||
|
|
»3 |
« 0 0 |
r |
^ |
800 |
|
||||||
( ^ х ) 2 - S o s , s s . |
|
. |
• |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Л |
( |
* |
) |
3 S S , 6 0 -- 3 0 9 , 5 5 « 4 6 , И . |
|
||||||||
|
ж |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
б ( Л ) f У л (xj‘ = 1/46, ii ' = 6, 79 .
|
|
|
|
|
222 |
|
|
|
|
|
|
18.318. Пусть |
А , Ь |
,С |
, |
Д |
- |
события, заключающиеся в том, |
|||||
что |
будут поражены соответственно |
блок,. М |
, К , |
L |
.Ис |
||||||
комая функция распределения |
. Р(х) |
равна вероятности |
того, |
||||||||
что |
при числе |
попаданий |
п < |
X |
прибор не выйдет из |
строя, |
|||||
т . е . |
F ( x ) = р (А + В С Д ) |
|
|
|
|
|
|
||||
А + ЬСД = А ( В + С + Д ) * A-В t'A C |
+"А-Д * |
|
|
|
|||||||
* А + Й + А + с + Д+А. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
На основании теоремы сложения вероятностей получим |
|
|
|||||||||
F(x) = 1 - р |
(А+а |
+ А+С + А+А) |
- |
|
|
|
|||||
» i - р { аТ & ) - р ( А + С ) - р ( аТ Д ) t |
|
|
|
||||||||
+ р ( А + й • А *С ) + р ( А Т а ’ А + д ) + р( а^-с -а +д ) -
- Р ( А + й • A + G •А + Д ) ,
где все вероятности определяются при условии попадания в при бор а частиц.Так как при каждомпопадании частицы в при бор обязательно дает отказ только один из блоков и
М Р * + М Р < “ |
t0 р ( а“ ь ) « ( р а + Р 4 > п |
|
|
fJ | А+А) •* (М Ра)Л |
|
|
р(<Пчь • А‘ Д } в |
|
|
Ц |
И ) - о . |
Учитывая, что |
р ( =0 , 4 ; |
Pt |
Р* = Р* = 0,3, получим |
- е.25 -
F(X) - i - э (2rpa )" - 5 p" = t - 8 p j {2n- t ) .
Подставляя значение p i |
- 0,2,пол,учим |
|
•р{Х) * 1 - » |
у |
. ( 2 Л- 1 ) |
(0,2) |
||
Найдем значения функции |
Г ( к ) |
ДОИ п = I ,2,3, 4,5 ,6. • • |
!r 0 , 4 |
при |
П |
= I |
I |
< |
|
|
0,64 |
при |
П = 2 |
2 |
< |
|
F 0 0 - |
0,832 |
при |
Й |
= з |
3 |
< |
0,928 |
при |
п = 4 |
4 |
< |
||
|
0,97024 |
при |
П = 5 |
5 |
< |
|
|
0,987914 |
при |
п |
= 6 |
6 |
< |
На основании этих данных строим таблицу. |
1 |
' |
||||
Так как |
f e t f ( 2 |
|
|
|
||
- 0 - |
Н |
[(* > ' |
5" |
|
||
n-* <*> |
|
|||||
то £im F(х) |
= S |
|
|
|
|
|
1
0,9 CVS
<И
о,в
0,9
0$
о,а
0,1
X |
2 |
X 4 |
3 |
X 4 |
4 |
X 4 |
5 |
X 4 |
6 |
X 4 |
7 |
0, |
|
■г
Й24
§19. Функция распределения и плотность распределения непрерывной случайной величины.
I9.3fl9. |
I) |
Так как функция |
F (х) |
непрерывна,то должно быть |
|||||||||||||
|
р(’)= I |
|
или |
|
а х 1 X = 1 |
= I.Поэтому |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
г |
0 |
|
при |
|
X $ 0 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|(х) |
= |
?'(*)=• 2Х |
|
при |
0 |
< X ^ 1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
при |
i < X |
|
|
|
|
|
||
3) |
р |
(0,4 |
4 Х < 0 ,6 ) |
= |
Г (0,6) - |
F ( 0 , 4 ) |
= |
|
|
|
|
||||||
|
= |
0,6 2 - |
0,4 |
2 |
= |
0,2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
19,320. |
I) |
Коэффициент |
а |
находим из |
условия |
J |( x ) d x =l |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— с зо |
|
|
|
о о |
|
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
|
' |
|
“ I |
- П Т » = |
20 |
/ |
7+х> |
= |
*a-axctg |
х |„ |
- 1 . |
||||||||
|
|
-Оо |
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Отсюда получим |
|
a |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
, я . |
|
|
|
2 ) |
F (х) - |
— I |
— Ц - dx |
= - 5 - axcto |
х |
. |
|
= |
|
||||||||
|
|
' ' |
■л |
|
i + x* |
|
л |
а |
|
!_«, |
|
|
|||||
|
= I- atctg х - |
|
£ |
axctg (-<*>) = | |
+ £ огсЦ X . |
||||||||||||
3) |
|
р |
(-1 |
|
1 |
) |
* Г (1) - |
F (-i) |
= l + ^ a t c t g i - |
||||||||
- { - i a t e t g (-1)
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
225 |
- |
|
|
|
|
|
|
19.321 |
I) |
|
|
0 |
|
|
|
|
при |
|
* |
4 |
4 |
|||
|
|
|
F (*)=■ |
i - ( & |
|
|
при |
|
х |
> |
4 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
1. |
|
0 |
|
|
|
|
|
при |
|
х |
< |
4 |
|
f |
(* ) = Г (x) =< |
31 |
|
|
|
|
при |
|
х |
> |
4 |
||||
|
|
|
|
|
|
X * |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
p ( Ю * x |
< (6 ) |
= |
F (16) |
- |
F(»o) |
= |
i _ ! 1 |
_ |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
i?* |
|
19 .322 . |
a) |
|
F (х) |
= |
f * |
f |
|
(x) dx . |
|
x |
|
|
||||
Если |
|
Х < 0 , т о |
| |
-«* |
|
|
, |
|
F ( x ) |
= j |
|
-Q |
||||
|
(x ) в о |
|
0 dx |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
Если |
0 Ч< Х < Л |
,то |
[ |
|
0 dx |
f |
f |
0 ,5 - S in x d x |
||||||||
|
- |
0,5 |
( A - COSX) . |
|
• |
о |
|
|
|
Tf |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Если |
x |
* |
JT |
, to |
F(x) = |
J O-dx |
+ |
Г |
0,5 |
Sin xdx |
||||||
|
|
|
|
|
|
rr |
|
|
|
|
|
J 0 |
|
|
|
|
|
= |
0,5 |
( - |
соз |
x ) |
| |
= |
0 ,5 |
( |
1 * l ) |
= l . |
|
||||
is
10* =0,0975,
Итак |
o |
при |
X •> Q |
|
|
г < * И 0,5 ( t - cos x) |
при |
о * x |
< тт |
|
0 |
при |
X |
> ТГ |
б) |
р ( 0 4 X < | ) = F ( | ) - |
F ( 0) = |
|
. |
х
1 2 6
19.323. |
|
|
О |
при |
|
|
|
|
|||
f Cx)= Г '( * ) ’ |
* |
о - -C os2x) |
при |
||
цри |
|||||
« |
|
|
0 |
||
Или |
о |
|
при |
X < 0 , |
|
f w = - |
г е. |
« |
при |
о $ х < IT |
|
|
|
X |
|
|
|
|
X < 0 |
о |
X А * |
X> JC
х» л
19.32$.
|
|
|
|
ех |
2 |
к |
|
|
|
|
|
( e ’+ r ’) |
n e hx |
19.325. |
Используем условие |
|
|
|||
|
j |
U * ) d * |
= l . |
|
|
|
|
—оо |
|
|
|
|
|
1 |
ео |
|
|
|
|
|
се *dx |
= |
^ с е ' х |
с « i |
|
||
о |
|
|
|
|
|
|
|
С |
55 |
1 |
- |
|
|
19.326.
a) f c x e ' A d* = £ j V d x ' - i
ос J о
С=2 .
6J р ( х> i) = J ° ° 2 x e ~ x dx = i - .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ш |
|
|
|
19.327. |
Для |
X |
< |
О имеем- |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
F ( x ) = I |
о- dx * о |
|
|
|||||
Для |
0 |
< |
х < |
' |
|
I |
имеем |
|
|
|
|
|
|
Р(д) =J*o dx +|*х |
dx - у |
• |
|
||||||||
|
|
|
|
-о© |
|
|
|
О |
|
|
|
|
Для |
I |
4 |
X |
•< |
|
2 ' |
|
|
|
|
|
|
F (x) |
= |
[ V d x |
+ |
f ’x |
dx |
+ |
J * ( 2 - x ) |
dx = |
||||
|
|
|
'-ев |
|
|
|
J 0 |
|
|
|
|
|
= X _ ^ * ) V |
|
ь X - |
(2-Х)г 1 _ |
^ * 2 |
||||||||
|
г |
|
a |
| t |
|
|
2 |
2 |
|
+ 2 |
||
Для |
X |
>f |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F ( x ) - |
J |
' |
|
+ |
r |
1 |
|
dx |
+ Г о |
dx |
= 1 . |
|
xdx |
j |
( 2-- x) |
||||||||||
|
|
|
D |
|
|
J 1 |
|
|
J * |
|
|
|
Итак |
|
|
f |
|
0 |
|
при |
X 4 0 |
|
|||
|
|
|
|
|
при |
0 4 X < < |
|
|||||
|
|
|
|
|
0,5 x* |
|
||||||
F |
(JO »< |
2x - |
0,5x*-1 |
при |
i 4 X < 2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
при |
Х » 2 |
|
||
19.328. |
По условию задачи случайная величина |
X |
принима |
||||||||
ет |
только |
значения внутри интервала ( |
О-, 6 .).Поэтому |
f |
(* ) = |
||||||
= 0 |
для |
|
X < О. |
и |
х > 6 |
.Определим постоянную |
С |
из |
|||
условия |
|
f 8 f |
(X) dx |
= 1 . |
|
|
|
|
|
||
( |
j |
. |
а |
. • |
|
0ткуда |
с - ■ g |
|
|
|
|
с •dx =i |
|
■ |
|
|
|
||||||
J Q |
|
а |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
Закон |
|
|
|
|
|
v |
|
|
|||
равномерного |
распределения запишется так |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
228 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
при |
x < a |
, x > б |
|||
f |
(X) |
= |
1 |
при |
Q |
4 |
х |
< 6 |
||
|
|
|
|
8 - q |
|
|
|
|
|
|
19.329. |
|
|
F (x) = j |
f (x) dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- oa |
|
|
|
|
|
|
Если |
x |
< a |
, to |
F(x) = j* o dx |
= |
о |
|
|||
Если' |
a < |
x < |
|
,T0 |
|
|
|
|
|
|
F(x)= | |
o- dx + |
к |
= |
x-a |
|
|
||||
1 * ^ dx |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
a |
|
6 - a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если |
X |
t, |
fi |
,T0 |
|
|
|
|
|
|
F(x) = |
f o dx + |
f |
f +о dx |
= |
i . |
|||||
|
|
_oo |
|
Ja ° a |
J g |
|
|
|
||
Искомая интегральная функция имеет |
вид |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
при |
|
х < a |
|
|
|
|
|
|
|
|
при |
Q Ч<X < б |
|
|
||
|
|
|
|
|
яри |
|
X » б |
|
|
|
до блипашей к ней линии.величина |
X |
является случайной |
временно:';, которая принимает любое |
значение в промежутке (0, ту- ), |
|