книги из ГПНТБ / Ефимов, М. И. Элементы теории вероятностей в задачах (с решениями) рекомендовано Мин.образования

S89

яется,вероятность в этом случае равна ( i - р ) р

.Три пат­

равна

С4 ~ Р ) Р ,к

т .д . Ряд распределения имеет вид

3

См

X

<

г

4

п

(*-р)р 0 -р/р (н/р

.0-1

О-Р) Р

_ и и

и

-

____

Заметим,что

р

р +

-р )2р +

• • • 4- (1 -р ) ft р +- • ■•

=

- р [ « + ( » > р ) + ( < - р ) Ч

(<-*»)""■‘+ - ' - J

= p r ^p - J*i

14.251.

Обозначим

А,

событие.состоящее в появлении

черного шара при первом извлечении,

Аг - при втором.Тогда

X ,

а

А г

события, состояыще в непоявлении

черного шара

(извлечение фасного)

.События

А, , А4 ,

А ,

,

Аг

-

несов­

местны.

p { A ,) = p ( A f ) =

|

; р ( А , )

= р ( А г)

=

^

•

Обозначим вероятности появления чисел

X,

=

0

,

Xt -

1

,

X* =

2

соответственно

р.

, р*

, Р&

.Тогда

Р. - P ( V A e) - - V i * 4

Р* * р ( « . - А ,

А , - А ,) = »

+

= 4

•

Р» * Р ( А, ■А») “

‘ 4 “ 4 ■

X

0

1

а

р

i

4

4

9

9

7

14.252.

Пусть

Xк. - число

очков,выпадающее на первой

кости,

Ус -

на второй.Тогда

Хк 4-Уе - суш а очков,

равна:

£ •

£

= в

'

хк+9е

1 + 1

i +г

1+5

1+л

1+5

i+ 6

2+1

2+2

2+3

2+4

Put

f

1

1

i

<

1

1 .

i

1

36

9 6

s i

зв

э§

5 ё

з 5

5 8

5 Ь З в

г + 5

г + 6

3+1

з+г

a + i

6 «-2

6+э

6+4

6+5

6+6

1

i

1

1

i

1

1

А -

1

5 8

5*

5 5

54

54

58

зв

3 8

Объединив равные числа

в

первой строке -

строке возможных о.

значений случайной величины - получим таблицу распределения

вероятностей величины

X * + у е .

Х *+ - 9 |

2

3

4

5

б

7

а

9

ю ' ЛЧ 1 2

Р * Е

f

г

3

4

3

6

S

4

3

2

1

«Гб з «

3 6 5 8 3 6 3 6

9 6

5 5

3 S 3 6 З в

14.253,

Пусть

X

-

число выбитых очков.Возможпые значения

величины

X

: X, =

о

;

3

;

x s = б

.Вероятности

появления этих чисел обозначим соответственно р , , р*

, р3 .

Событие

А,

состоит в том,что стрелок попадет в цель

при первом выстреле,

А 2

-

при втором.

Тогда

1

9 2

14.255.

Пусть

X

-

число

отказов ламп;

X

может при­

нимать

значения

0

, 4

, 2

,

3 ,

4

.Вероятность исправ­

ной работы всех четырех ламп

(

X

= 0)

равна

Ро =

(1

-

0 , 0 - 0 , 4

) 2

=

0,2304

Вероятность

одного

отказа

( х,

=

i

) слагается

из вероятно­

сти отказа или первой лампы или второй и т .д .

при исправной

работе остальных.

Р,

=

ОД •

0,8

( 0 , 6 ) 4

0,8

0 , 2 '( 0 , 6 /

0,4 ОД +

+

(0,8) 2- 0,6

• 0,4

=

0, 0576

+ 0,0576

+ 0,15Эб + 0,15i .

" + " работу лампы, знаком

- отказ.Первые два

знака -

лампы пе

ого типа

I .

+

+

—

—

0,8

0,8 •

0,4 • 0,4

=

0,1024

2.

+

—

~

+

0,8

ОД •

0,4

.0,6

=

0, 0384

3.

—

—

+

+

ОД ■0,2

0,6

0,6

-

0,0144

4.

. —

+

-Ь

—

ОД • 0,8'

0,6

-0,4

=

0,ОЗЯ4

5.'

—

+

—

+

0,2 • ОД

0,4

• 0,6

=

0,0384

6.

4*

—

4~

—

ОД

ОД

0,6

0,4

«

0 ,0 3 8 4

Складывая, получим

Рг

~

0,2704

я 3 .

Аналогично найдем вероятность для

I .

+

-

— —

0,8 •

ОД 0,4

• 0,4

=

0,0256

2. -

+

— —

ОД •

ОД 0,4 • 0,4

=

0,<Ш6

3.

-

-

+

-

0,2•

ОД • 0,6 • 0,4

=

0,0096

4.

-

-

-

+

ОД • ОД

0,4

0,6

=

0,0096

Складывая, получим

Рэ

= 0,0704

4 .

2

1

3

0,3

0,1

=

0,6*3

5 .

2

2

4

0, 3

0,3

=

0 ,0 9

6 .

2

3

5

0,3

0,6

=

0,1 8

п

3

1

4 .

0,7

0,1

=

0,07

7 .

8 .

3

2

5 ".

0,7

- 0,5

=

0,21

9 .

3

3

6

° 0,7

0,6

=

0,42

двух стрелков.Из таблицы видно,что

х + У

не может рав­

няться

2 , т 5к . в

этом случае вероятность равна О.Эта суша

может равняться

з

, 4

, 5

,©

.В результатах

(2) и

(4)

х+у=<3 .Вероятность

совмещения этих случаев

о -*-0, 0 5 =0,0 3 .

В результатах (3),(5),(7) для суммы

* + У =4

вероятность

равна

0 + 0 ,0 9 4 - 0 , 0 7

= о, is

Для

х + у = ?

по­

лучим

о, *а +

0,21

= 0,39

Ряд расг зделения имеет вид

X + у

3

4

5

б

Р

о,оэ

0,10

0 ,3 9

0,4 2

14.258.

Пусть

X

- число

неизрасходованных патронов.Тогда

X может быть равным:

0 ,

{

,2 , 3

, 4

.Значению

X = О

р0= (о ,з)

= 0, 00-81 .Если первые три - промах,четвертое -

попадание,то

2

вероятность равна: р, = (0 ,3 )-о,7 = o,o i89

Если первые два прома

а,третье - попадание,тс вероятность

этого события равна;

Рг = ( о , з ) г о,7

= о, овз .Если первый

промах, второЛ - попадание, то р 3 =

0 ,3 - о, 7 = 0 ,2 1

X

0

1

2

3

4

р

0,0081

0,0189

0 ,0 8 5

ОД!

0,7

14.259.

Случайная величина

X

(

стоимость денежного

выиг­

рыша) может принимать следующие значения:

х0 = о

, X, =

1оо ,

X, = 200 ,

Хл =

250

,

Х^= 500

,

Xj =

to o o

Вероятности этих

значений

р 0

=

= 0,9922

(т .к ,

в

лотерее

4961 билет

проигрышный).

Р«

°>004

.

Pa = W

=

,

р » 55 "и о Г

* ° ' 0012 »

Р 4 *

Моо<5

> Ps =

•„

Ряд распределения

запишем в таблицу

X

0

100

200

250

600

1000

Р

0,9912

0,0 04

0,0016

0,0012

0,0006

0,0004

Р

C,j*

н ю 9 _

да

__

“° - 36

Р 3

15 1413

91

15.261.

N

=

32

,

М =

24

m

п - m

Р

с м сN-fl

n

=

з

,

m = s

с

N

п.

Искомая вероятность

..

Ct4

_

24

23-22

_

253

0 ,408

Р ‘

р®

~ 32-5130

“

620"

* г

4

15.262.

При выборе четырех карт возмогши

случаев.

С4в

Один туз

можно выбрать

_ 4

способами, а- три другие карты

( не тузы) можно выбрать

C sa

различными способами.Всего

благоприятных

случаев

будет

С,,

С зг и искомая вероятность

равна

1

4

4-32

31

30

3 4

^•4

^-42

1 - г

0,35

Г*

1 2

3

36

35-34 33

Ч»6

ных будет

С Бв .Девять красных карт

из 18 случаев можно

извлечь

С,®

способами.То

же для

черных карт.Об нее

число

благоприятных

исходов будет

9

9

.Тогда искомая

вероят-

С| 4 С „

п о с т е

равна

р -

=

- Ш Л Г

Р

= 4

!8! ~ eg 36 ! -

4 eg

9 !

=

- 0,5845

,

р = 0,26

15.264. Всех возмогших комбинация

-5

.По условию в выбор­

<-|0

ку попадет 2

нестандартных

детали

из

15

(таких

возможностей

- 2

) и три

из 65 (таких

возможностей

4

) . Общее число

С1Б

С65

событии,благоприятных условию,равно:

2

5

<?

С , , .Тогда искомая

вероятность

будет равна

13

09

4

2

П =

=

0, 19

-

194 -

p i - c u v ' u y -

К = c I ( t ) ‘ -

° - ' * 9S

m

c m

Р ю , m

0

t

Pjo.o

=

(e ,2e ) 10 “

0 , 0 0 0 0 0 0 9 6

I .

ю

Pio,l

=

10 • 0,75(o,25J® “ 0 ,0 0 0 0 2 8 5 *

2.

А 5

Рю,г = 45l0<75)i (O ,15j*»0,00O »e55

3.

120

Р « ,3

= 120 (0,75)* ( О Д б ) 7 a

0 ,0 0 3 0 * S

C

4 .

210

Pio,A

* 210 (0,75)4(0 / aS)*

a

0 ,0 1 5 * 0

5.

252

P to, 5

=

( о ,2 Ъ ) *

*

0, O f f * 3 4

6.

210

P io( 6

= 2IO (o,75)e (0,2S)* «

0,14*9

7.

120

Pio, 7 =

UQ -(0,75)T(0 ,tt)* =

0,2500

8.

AS

P io,s

—45-(0,75)* (0,28)* =

0,2812

9.

10

P 10,9

-

10 (0,75)*

(0 ,2 8 )'*

0,1878

ю .

1

P 10,10 = (0,75) ,0 =

0 ,0 3 6 2 3