книги из ГПНТБ / Ефимов, М. И. Элементы теории вероятностей в задачах (с решениями) рекомендовано Мин.образования

где

а

~ расстояние между ли-

ниями.Случайная величина л рас­

пределена равномерно,т.к, все ее

значения равяовозможны.Капейка

А

пересечет линию,когда расстояние

от точки 0 до прямой меньше ра­

рцс. 55

j -

,т .е . когда

диуса

О

Л

4 X < ~

р

(о 4 х <

|

)

d_

а

По условию

задачи

р ( о

4

X< о>а ) =

м .

= 0,53 .

19.331.

За

начало

отсчета примем середину

О

отрезка

MN .

Тогда абсцисса

,

X

точки

А

окажется случайной перемен­

ной величиной,равномерно распределенной в промежутке ( -

а

, а )

Точка

А

окажется ближе к точке

0

,чем к точке

М

или

N

,если

она попадет на отрезок М, N,

.концы которого явля­

ются серединами отрезков

МО

и

N 0

соответственно.Длина

М,

=

tt

.Тогда

a

I

о \

=

1

г ~ Г Т /

а - ( - а )

~

2

19.332. Коэф^циент

а

найдем из условия

19.335.

I) Для непрерывности функции

Г ("*) нужно выполне­

ние следующих условий

А +

Ь qicsin

(-1)

=

о

А - В f-

- О

Ь вгсл1п

=.

иди

= i

А +

1

1

А + Ь |

к * Т

>

в = т

2)

Й ( - - 2 ^ Х < ^ ) = F ( f ) _ F ( ~ f j ~

I»

“ I

f ¥ a x c s i n т

"

i ' "

"t QXCSin ( ~ i )

о

_L_____

/ - o < * c o ) ( закон арксинуса)

f ( X ) «

r '( x ) =

0

(* < - a i л > а )

моды не им еет,т.к .

функция

f 0

0

не имеет г,.дссимума,Медианой

расцредедения называется величина

С. определяемая'равенством

F ( с ) = \

.?ршая

уравнение

±

+

4

< ncsin -

= ~

находим

*

.

ь

и

a

z

в) Если

Я

,то

Г (х) = О

в

X

Если

—

,ТО

' f ( X )* f

- —

-g- cos X ctx

! 0

dx+ f

'-.«я

Й

*

X

г

=

Sin X | _ |

- j

Sin х + | ® j

( 1 + Sin х ) .

Если X>

|

cos

x dx « 4

• то F(x) * j j *

r)

p

( o 4 * < f )

i f

dx

« 2 A ' 0 « 5 ^ -g-

А п - l

19.337. M

А = Т Г

Если x < —a.

, то

F (к) = О .

Если -а

< х

< а

2 3 3

г

- /„л

1

(

dx

,то гк*' ~

j

a x c s l n - £

= 1 c n c s i n £ - i q x c s i j r i ( - i ) =

*

t

^

a * e s in £

и

^

*

**

•'

Если

*

> a

,

m o

F (* ) *

iff /

Y ^ C ^ T ~ 4 ■

0

при

x < - a

f (x)={|+ ^ aacstn f

п р и - а ч< Х < а

1

при

x ^ a

ах

при о

<r X

< 1

f

(«У

о

при

X

< 0

Х > 1

Ни основании

свойства плотности распределения можно найти

л

<

i

<

,

0

J ^ ( x ) d x *

; J a x d x = ^ - 1

о = 2 ,

M(к) * jV t*

dx

« | x4l’

- |

•

20.340. Плотность случайной величины Т

определяется по

формуле

С

при

t

< о

Л £

- 4 .t

t

> о

цри

20.341. лоэффицивиГ ■

найдем из условия

I I (X) ctx

Так как функция

Д •£ •|х|

-

Четная,то

I Д £

dx « 2 А I -£ dx *• - 2 А £

~ 2 А

К

1*

Следовательно,

А

,

f (х) «. ^ £ ”***

М (*)“ /

* f £

dx

=*

О

, т . к. функция

X £

нечетная.

Д ( Ю *

J ^ x * 6 * dx - j ^ x W ' d x .

вносим функцию

■€’"’*

под знак дифференциала.

-

вЭб

r ° °

- *

j

f

CO

=-2 1 кd6

=-2 *e"*

+2 J €~*dx =

*'$

00

*0

j

if

- -

x

= l .

2 £

о

20.342. Так как

Г ( x )

_

непрерывна,то F ( - 1) = о и

F ( - 0

= а

- 6 Q^ « L n

1 -

а

- |

£

.ид условий

a - S - | = o f

P ( i ) = a + ^

=

l

находим параме­

тры

а

и

б

:

а = 1

,

8 = ~ .

Тоща

плотность распределения имеет вид:

A W - M ( x ‘).i|': ed*

_

i_

f ' ■ * 2 d *

- I

V «-x*‘

~

n

J 0 V T ^xT

Сделаем замену переменной

x = S in

t

, dx = c o s t d t

Тогда

A W = | [ ’- ^ i L ^ t d t

A p S i n M d t

»

J o V l ^ S l n M

I

-

2 5 7

• О

20.343.

М(Х) * [

f

x ( l - x z)dx = о

тле. подынтегральная функция нечетная.

Д(Х)

= м ( х г)

= J

j V

( i - x 2Jdx

= f j;Cx'-x‘ ;dX

- J_

5

»

*о

u

6

^ v

S

w ’

- j| ,

■

О

3 0 . 3 4 4 .

М ( х ) . 4 | .x -c o s V d x - О

,т. к, функция

х-

c o s * x - нечетная/'

Д ( к )

-

М

f

J

%2 соs*xdx =

«

а

£

У

~ Д J o х

cos*xdx

~

¥ J.

х2( i

+ c o s 2 х )

dx, =:

я

= ^ " 1 I ! + Л f e‘ ^ c o s 2 x d x = Д + 2 Г*х * co s 2 x d x

-» г»

Й

*

по частям,»

-ц

д

о

J

cos 2х dx

- {

j

2 x*d

Sin 2x - | *

и

Sin 2x |

°

» ’

- I

I

2*

§iR ? * d x

s

f

x d cos 2.x

=

*

* a

... i

* j

* cos 2x

—

j 2 cos 2x dx -

_ JL

Д( х) =

n 1 2_ П. _ П2

_1_

П ' 4 ~ и

2

X

. '

F ( * ) = i i ? J

dx

А г

/Я г-Х2

при

|« U К.

nR.1

г (*)» f (Л)

при

Л > R

Среднее отклонение от вертикального диаметра

М ( х ) = | X•

dx

= 0

, т , к . функция