книги из ГПНТБ / Ефимов, М. И. Элементы теории вероятностей в задачах (с решениями) рекомендовано Мин.образования
.pdf59
Так как |
X' |
может принимать только указанные значения, |
||
то должно быть |
|
оо |
|
|
|
П |
|
|
|
J |
£ p |
L = i |
или |
= I |
i.? ‘Ь |
|
К —1 |
d |
|
Ряд распределения можно изобразить графически.Для этого по оси абсцисс откладыьаюг значения случайной величины,по.
оса ординат - вероятности этих значейий.Полуценные точки со единяют отрезками прямой.Построенная фигура называется мно гоугольником распределения вероятностей.
Можно на оси абсцисс отложить значения случайной величины
и в |
каждой |
точке |
восстановить перпендикуляры,длины кото |
рых |
равны |
в заланном |
ыасштаое значениям вероятностей случай |
ной величины.Полученный график называют “гребенкой" распреде
ления |
|
|
|
|
|
л |
14 , |
|
|
|
|
|
|
|
ft |
|
|
(Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
ч |
р, |
|
1 |
|
|
Р, |
|
• |
й |
Ч |
Р , |
|
|
|
х 3 |
х 4 |
х 5 |
х < |
XL |
|
|
|
|
|
Рис. 4
60
Для непрерывной случайно» величины вместо многоугольника
распределения оудем иметь кривую распределения.
Значение случайной величины, которое обладает наиоольшей вероятностью,назидается модой.Для случайной величины. непре рывного типа моде соответствует наибольшая ордината кривой распределения,для дискретной случайной величины - наибольшая ордината многоугольника распределения.
оv'* .
14.247. Бросается один,раз игральная кость.Составить ряд рас пределения случайной величины' X - числа выпавших очков.
Построить многоугольник распределения.
14.248. Нонета бросается два раза.Составить таблицу распре деления числа появлений герба.
14.249. Охотник имеет 3 "патрона и стреляет в цель до первого .
попадания.Вероятность попадания 0 ,8 .Построить ряд распределе ния числа израсходованных патронов.
14.250. Стрелок стреляет в цеАь до первого попадания.Вероят ность попадания при одном выстреле равна В .Запас патронов не ограничен.Составить ряд распределения для случайной вели чины 0 Х - числа израсходованных патронов.
14.251. |
В урвё |
содержится два черных шара |
и один красный.Из |
|
не дважды извлекается шар и по извлечении |
обратно возвращает |
|||
ся в урну.Число |
извлеченных черных шаров может быть: X j = 0; |
|||
Х 2= |
I ; |
Х 3= 2 .Построить ряд и мяогоугогьник распределения |
||
числа |
появления |
черных шаров. |
|
|
61
14.252. Бросаются-две игральные костя.Составить ряд распреде ления суммы вероятностей выпадания очков на двух костях.
14.253. Стрелок производит два выстрела по шшени.Вероятность попадания в мишень при каждой выстреле равна 0,6» За таждое попадание стрелку засчитывается 3 очка.Построить ряд распреде ления числа выбитых очков.
14.254. По некоторой мишени производится стрельба до первого попадания.Вероятность попадания равна " р ".Случайная величина
X- число выстрелов.Построить ряд распределения величины
х.
14.255. Блок включает в себя 4 электронных лампы двух типов,
по две лампы каждого типа.вероятность отказа в течение :аран-
тийного срока для лампы первого типа равна 0 ,2 ,для второго -
0,4» Составить закон распределения числа отказов четырех ламп!
14.256. По самолету,состоящему из двух различных по уязвимости
частей,ведется обстрел.Для поражения самолета достаточно одного1
попадания в первую часть или двух - во вторую.Вероятность попа
дания в первую часть при условии,что снаряд попал в самолет ,
равна 0 ,2 ; во вторую 0,8.Стрельба ведется до поранения самоле
та.Построить ряд распределения числа попаданий,которое понадо
бится |
для |
поражения самолета. |
|
|
|
|
|
» |
|
|
|
|
|
|
|
14.257. Число очков,выбиваемых |
при одном выстреле |
одним стрел |
|||||
ком, имеет |
закон распределения |
: |
I |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
0 |
0,3 |
0,7 |
|
Такое |
число о^ков для другого |
стрелка |
имеет |
закон |
распределения: |
||
|
|
|
|
j-------------------- |
£ |
||
|
|
|
|
I |
2 |
3 |
|
|
|
. |
|
0,1 |
0,3 |
0,6 |
|
Щ®.. __________г-Л
Найти закон распределения для суммы очков,выбиваемых обоими стрелками.
14.258. Стрелок |
ведет стрельбу по мишени до первого попадания, |
||
имея 5 |
патронов |
в запасе.Вероятность попадания |
при каждом вы |
стреле |
равна 0 ,7 .Построить закон распределения |
боезапаса,ос |
|
тавшегося неизрасходованным, |
' |
||
14.259. В денежной лотерее 5000 билетов,причем разыгрывается
2 билета по 1000 рублей, 3 - по 500, б - по 250i- 8 - по 200
и 20 - по 100 рублей.Найти закон распределения стоимости вы игрыша для владельца одного билета.
§ 15. Гипергеометрическое |
распределение |
|
|
|
|
|||||
Пусть имеется множество |
М * |
элементов,из |
них |
М |
элемен- |
|||||
» |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тов с некоторым признаком |
d. |
.Извлекается |
случайным образом |
|||||||
без возвращена |
11 |
элементов; |
требуется |
найти вероятность |
||||||
того,что-из них |
ГП |
элементов |
обладает признаком |
cL . |
||||||
Искомая вероятность (зависящая от |
N ‘ , |
М |
, П |
Ш |
) |
|||||
определяется по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
ш |
|
п -т |
|
|
|
|
|
|
Т ) |
|
О М. |
U - M . |
|
|
|
||
|
|
■ Г |
|
|
G и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Указанная схема называется гипергеометричепким распределе нием вероятностей
63
15.260. Кулинар изготовил 15 тортов,“причем в 4 переложил соли.Какова вероятность,что из 3-х взятых тортов все окажут ся не пересоленными ?
15.261. Студент пришел на экзамен, зная лишь 2ч из 32 вопросов
<»
программы.Экзаменатор задал студенту 3 'вопроса.Найти вероят ность того,что студент ответилна вое вопросы.
О
15.262. Из колоды крот (36 карт) наудачу вынимают 4 карты. .
Найти вероятность того,что среди них окажется точно один туз.
15.263. Колоду карт,состоящую из 36 карт,наудачу разделяют на две равные части.Чему равна вероятность того,что в обоих частях окажется по равному числу красных и черных карт ?
D .2 6 4 , В партии 80 деталей.Среди них 15 нестандартных.Выби
рается 5 деталей.Какова вероятность того,что среди них 2 де-
п
тали нестандартны (
15.265. Из 10 билетов выигрышными являются три.Найти вероят ность того,что среди взятых наудачу 8 билетов а) два выигрыш
ные; б) три выигрышные; в) хотя бы один выигрышный.
в
15.266. На складе геодезических инструментов из 50 теодоли
тов имеется 3 импортных.Упаковка у всех теодолитов одинаковая.
Наити вероятность того,что 2 взятых одновременно наудачу тео
долита окажутся импортными . |
® |
|
|
||||
§ 16. |
Биномиальный |
закон распределения |
|
|
|||
В {- 10 |
была рассмотрена |
схема повторения независимых ис- |
• |
||||
£ |
|
|
|
__ |
• О |
. |
|
|
|
|
|
|
|||
питаний.Если |
производится |
Г» « |
независимый испытаний,то « |
|
|||
вероятность |
того,что |
наблюдаемое |
событие появится |
ровно Щ ■' |
|
||
раз,определяемся по формуле Бернулли:
m m n - m
Р
Ч1.сло ill монет принимать ГН *1 различное значение:
о , » , 2 , 5 , . . . , ( п - 1 ) , п ;
Тогда
!<»'
Формулу Бернулли можно рассматривать,как общий член разложе
ния Бинома |
* |
|
|
Рп,п + Рп>-* + л . + Р П/п - (р+Я,)”® I |
|
Этот закон носит название биномиального распределения верот
ятностей.
О
16.267. Вероятность нормального расхода воды на предприятии
равна 3 /5 .Определить вероятность того,что за ближайшие Ь дня
о6
расход воды будет нормально на протяжении 0,1,2,3,4.,;дней.
65
16.268. Садовод посадил 10 саженцев , причем вероятность то го,что саженцы не погибнут,равна 0,?5.Найти вероятности воз можных исходов.
16.269. В результате многолетних наблюдений установлено,что из каждой сотни книг,выпускаемых типографией, 90 книг не имеют дефектов,Составить биномиальное распределение числа книг,выпущенных без дефектов,из 8 взятых наудачу.
16.270. Монета бросается 5 раз.Составить закон распределения вероятностей числа выпадений герба.
16.271. На улице установлено 4 светофора.С вероятностью 0,5
каждый из них разрешает или запрещает дальнейшее движение транспорта.Построить закон-распределения и многоугольник распределения вероятностей числа светофоров,пройденных ма
шиной до первофотановки. |
|
|
|
|
|
, |
|||||
§ |
17. |
Распределение |
Пуассона |
|
|
|
|
|
|||
I . |
Говорят,что |
слу «йная |
переменная |
|
X |
распределена |
|||||
пос закону |
Пуассона |
с |
параметром |
Л |
.если |
она |
принимает |
||||
значения |
Ч = 0 |
, 1 ,2 . .. . , |
ITI |
, . . . |
с |
вероятностями |
|||||
2. |
Если в схеме Бернулли |
р |
- |
малая |
величина,то вероят- |
||||||
|
|
m |
да |
л - ® |
|
\m |
|
-Д |
3 Рщ (А) |
||
|
|
|
} |
Л |
|
|
|
i |
Щ |
||
где Л = Пр .
66
Этой формулой можно пользоваться,когда J) ~ 0,1 |
и |
9 . |
||
Таким образом,распределение Пуассона является предельным |
||||
случаем распределения вероятностей в схеме Бернулли |
u p и. |
|||
р — ** 0 |
, |
— •*’” А |
|
|
17.272. Автоматическая телефонная станция за час получает А вызовов.Определить вероятность того,что за данную минуту она полуют га вызовов.
17.273. С накаленного катода в среднем вылетает П- электро
нов в единицу времени.найти вероятность того,что за промежуток
времени |
1 |
с катода вылетит ровно |
К |
электронов. |
|||
17.274. При взрыве снаряда |
осколки разлетаются |
независимо |
|||||
друг от друга.Среднее количество осколков на I квадратный |
|||||||
метр на указанном.расстоянии |
равно |
& |
.Площадь агрегата са |
||||
молета, находящегося в потоке |
осколков,равна |
3 |
кв.м.Найти |
||||
вероятность |
того,что в агрегат попадет ровно |
К |
осколков. |
||||
Какова вероятность того,что в агрегат попадет хотя бы один
осколок? '
17.275. Вероятность попадания-в мишень при одном выстреле равна 0,002.Какова вероятность попадания- в мишень двумя и .
более пулями,если число выстрелов равно 3000 ?
17.276. Работница прядилвной фабрики обслуживает 500 веретен,
каждое из которых прядет свой моток пряжи.При вращении верете
на пряжа рвется.Вероятность обрыва пряжи на каждом веретене в течение времени Т равна 0,001.Каково наиболее вероятное
число обрывов? Наг.тц вероятность того,что в течение промежутка
времени Т произойдет не более 8 обрывов.
6?
17.277. Проверкой .установлено,что на складе с пшеницей в зерне находится 0,45# семян сорняков.Какова вероятность того,что при случайном отборе 2000 семян обнаружится не менее 4 семян сорня ков; .не более 10 семян сорняков; ровно 8 семян сорняков?
17.278. Завод телевизоров отправил потребителю 3000 доброк'а-'
. чественных телевизоров.Вероятность того,что при транспортировке какой-либо телевизор будет поврежден,райна О,00Т.Какова вероят ность того,что потребитель получил 5 телевизоров с дефектами ?
17.279. Рабочий-сбо^нциг, обслуживающий конвейер за смену соби
рает-в среднем 5000 деталей.Вероятность пропуска не собранной
о
детали за смену равна 0,0016.Какова вероятность того,что за смену рабочий пропустит 6 несобранных деталей ?
|
I7.2B0. Какова вероятность того,что |
в день нового года в неко |
|
|
тором 'Заселенном пункте родилось 10 "еловек.если в данный мо- |
||
* |
мент население составляет II680 |
человек,причем старики,дети , |
|
|
в зрослые мужчины и женщины имеются в равном количестве ? |
||
|
17.281. На метизном заводе налажено |
массовое производство вин |
|
|
тов .Длительной проверкой установлено,что вероятность производ |
||
|
ства бракованного винта равна |
р |
= 0,002.Какова вероятность |
\того,что в коробке из 1000 винтов не содержится брака ?
17.282. Радиоактивное вещество |
в течение Т\ |
минут выделяет |
||||||
в пространство |
ГО |
JL -частиц.Какова вероятность того,что за |
||||||
минуту это вещество |
выделит |
к |
и |
-ЧаСТИЦ? |
|
|
|
|
17.283. ‘Книга в |
200 |
страниц |
содержит |
<i0 опечаток.Какова вероят-, |
||||
|
|
|
|
а |
0 |
. |
. |
» |
ность того,что на случайно выбранной странице не мечее°3 опеча
ток ? -
о
68
17.284. |
Вероятность того,что частица,вылетевшая из радиоак |
|
тивного |
вещества,будет ^регистрирована |
(при даннгч располо |
жении/ |
счетчиком Гейгера-Мю лера,равна |
5.10~^.Из источника |
з° данный промеж;:ок времени вылётелс 4,10^ частиц.Кг сова вероятность тг^о.что счетчик а) не зарегистрировал ни одной
частицы; б ) зарегистрировал ровно 4 |
частицы; в) зарегистриро |
|||
вал более 8 частиц? |
. |
|
||
17.288. На поверхности,имею ей площадь |
. С р ” кв. единиц рас |
|||
сыпаны зерна порошка в количестве |
й |
штук.Найти вероят |
||
ность того,что i.a поверхности |
|
единиц площади находит |
||
ся |
Ш |
зерен. |
|
|
17.286. |
30GJ пакетов денежных знаков |
отправили в банк.Вере1 |
||
ятность т~го,что пакет содержи* недостаточное или избыточное
число денежных знаков ра?на О,0U02.Какова вероятность |
того, |
|||
л’о при проверке будет обнаружено |
5 ошибочно укомплектован |
|||
ных пакетов ? |
|
- |
• |
1 |
Г7. 287. В роятность |
выживания бактерий после радиоактивного |
|||
обличения /авне. р |
s 0,0^2 .Какова |
вероятность |
того,что |
в ко -и |
лонии из 400 бактерий после облучения останется не менее 3~х
бактеоии ? •
17.2880 Аппаратура содержит 400 одинаково надежных элементов,
ве_ оятность отказа для каждого из.которых равна 0,001 .Какова вероятност; отказа аппарату! ы,если он наступает при откате хотя бы одного из элементов?
17.289. Вероятность любому абоненту позвонить на коммутатор
о. - й
втечение часа равна 0 ,0 1 .Телефонная стади я обслуживает 6С0
абонентов.Какова веро-.трость,что в течение часа позвенят 10
абонентов ?