книги из ГПНТБ / Ефимов, М. И. Элементы теории вероятностей в задачах (с решениями) рекомендовано Мин.образования

М м

-/■

х* dx

=

»

J

п

Д(х) .

1

12

20.347.

о

при

X

4

0

Sin X

0 ,5

при 0

< X 4

п

о О

при

х

> тт

М(х)-" о,5 х

Sin

x d x

г

л

f

Xd

cos’x

-=

к

о

0,S X

COS х

•

0,5

f

cos

х d х

=

—

^ о

2

M (x’) = [

o , 5 S i n

'*dx

=

-

J

xz d cos

x

=

'

о

. .

9

. x

IT

. ‘

2

0

■J x1 cos X

j ■+■ — j

2 x cos

x dx

=

~

4- | x cl Sin x

+ x

Sin x

~ fJ"

Sin

xdx

t=i z

i ix-,

v2

Пг

-

П1

П?

Д (Х) » M ( x ‘) - ( M X ) 1 =• ~ - 2 - ^

= ~ - Z ,

24

i

2 0 , 3 4 8 .

<f->

2

2

/ v '

ч а

sj „ -а л .

И (■*)

~.уТ

I 0Л

^

dx

По ло ж и м |

= p * x l

,

d t

*

а * x d x

Тогда

М (Х) - &

со .

г

-£

=

л

2 lV

= I td£

О

а

at'

it L

“

. | | (Х>

Г £ Jdt ) - -£=г -

ak ( t e

J 4

/

аттт

M(x!) -

.

cw

i

^

If. / x V

“ ‘

dx

’*Этот интеграл находим методом

интегрирования

по частям,нодаган

u

-

а 4 У

d o = x e “

*dx

d u =

3 l / d p

/

О

I

р - » ’ *1

2aT

е

Тогда

1‘;

4 а “

/

n i „ i

с

У т Г

- -/-1

1

2 о*

6 a

Оо

*

2

х *ч:

л г

а А

d x

.Далее

аналогично

полагаем

и

d l)

-

j

а*х 1

A t.

dx .

Тогда

М ( к 1) =

.Здесь

оил использован

интеграл

Il/pc-

сона

г

->

Л

=

J~/ Л

е-

dx

2 4 г

д ( х ) =М ( х 1) - f MX )! - -~р -

.

« * ) - h ( f

- 1 ) .

20 .349.

Коэффициент

А

найдем

о

90

из

упленил | f ( » ) d , . i

г 00

i

А )

х €

d x = — -

Г -

2 а 1

I О

eim

) =

А

-

i .

2 а 1

К -*ск>

'

2а

Произведем в этом интеграле замену

переменной,положив а 1* ’ = 1

2 а 1х dx

:t

=<dt

.Тогда

М

ОО

- J . V

X i )

О

а ‘

Тогда

Д ( - л )

QJ

II

W

Медианой называется

такое

значение

оргумента

х = С й,что

выполняется

условие

0

°

“

\ ~

f (»)'<!» - т

•

I

п

Для данной задачи

о

, I

- а"х* ,

- а 1 * * I

.г

о

- а 1 с г

.

д а

х е

d x = - e

= е

-

X1

I

а * с* = и г

с = / ё п Т

,21.350.

Пусть

X

- вес тела,Нужно найти

вероятность нера­

венства

4,3

£ *

< 4,4.

И

Используем формулу

В данной

задаче

X,

= 4,3

•

K t

=

4,4

; б - 0,02 } а

4,36

Поэтому

£ X <

Xj )

а

р

( 4,3

$

X

< 4,4 )

М

г

А

Н

)

_

(t) (

4,3 -4,56

N

0, 0 1

/

1 4

0,Q2

у

* Ф ( г ) - с р ( - з ) -

с р ( г ) + ф ( 5 ) -

= 0,4772

+

0 ,4 9 8 6

=

О ,9 7 5 8

* 9 7 , 5 8 ^

21.351. Пусть

К

- длина детали.Известна вероятность

р (

| Х - а |

<

0,5 )

«

0,Т5 .

Согласно формуле. Лапласа

К 1 * - о | <

6 )

= 2 ф ( | )

В нашем случае

6

= 0 ,3 .Поэтому

2 Ф ( - £

~

)

=

0,75 .

Решив (с

помощью таблиц” ) это

уравнение, найдем

*

!,«5

,

6 * ~ ^ |

-

0, 261 .

Теперь найдем вероятность неравенства

р (| Х-а|

<

0, 5)

a

2tp

(jfii . )

-

2* 5

21,3b/-. Пусть

'X

-

вес

снаряда,

а

= MX

- номинальный

вес. По формуле Лапласа

Р ( | Х а | < Ь ) = . 2 ф ( | ) '

Отсюда

р ( | *

a l

)

“

1 ~ ZCP ( f * )

По условию,при

£>

-

ЮОр = 0,1

кг,

указанная

вероятность

равна 0 ,0 4 .Таким образом

„

«

~

( б*") =0А

Решаем это

уравнение

Относительно

g' (1 *

^ ) - 0 М

; .

f

~ 2 , 0 5 5 .

Отсюда получаем

ч

и

6 = О , 04 9 «г =• 4 tj г .

21.363. Пусть ‘

А -

дальность полета снаряда.Нужно найти

вероятность

неравенства

160 0

(■ 10

ч * i

15 0 0 + 4 0

Используем формулу

р ( | V - 5 0 0 | < 5 ) =

= 0,866 .

Здесь

X - вес тела,случайная величина,распределенная по

нормальному закону.Ил^ем

р ( . . м < Х < » , « » ) . Ф ( А1

- ф (ilk) - Ф ( уй! )

Ф О-6)+ф (*+ 2, -

°

= 0 ,4 4 52 + 0 , 4 9 1 8 =• 0 , 9 5 7 0 = 9 Ъ ( П У

21.350.

Пусть

Х 0 -

емкость конденсатора.По условию,это

случайная

величина,паспределенная

нормально.Обозначим MX = л •

Применим

правило.

3 б

: о

247

равно 25$,т .е .

т—-

= О,25.Отсюда

б

=

5

.Далее

на-

сь>

ходим искомую вероятность

р ([ Х-а[ < 0 ,0 O 5 a ) » 2 ф

=

‘

2 ф

( - 0-Г 5° "

) - 2 £ р ( о , о в ) =

2

0,0238 .

=

0,048

21.357,

Пусть

X

-

емкость конденсатора

MX

=

а-

- но

минальная емкость.По условию

р ^ j Х -а|< о, is<v^ = р ( j x - a |

< * 6 } -

l .

Отсюда

3 6

= 0,15а

6 •= 0 ,05а.Далее

последовательно

находим. .

1 . Конденсаторы с отклонением от номинала

± 3$

р ( | Х - М < о , о з о ) - 1 ф

- 0 , 4 51

» 4 5 ,

1%

2. Конденсаторы с отклонением от номинала от 3 до 6$

р ( | х - а | < о,ев a ) - р ( } Х - а | < о,оъ о.) -

-

* Ф ( ■ $ $ & ) -

0 , 4 5 1 -

2 ф

( { , й )

- o,4Si

-

-

О,ГГ ~

0,451

“

0 , 9 1 9

в 3 1 , 9

-

24 *

_

p ^ j x - a j

< Ъ ' О & а ) - р

( f x - a }

<

0 , О б а )

=

a

I ф ( i , 6 ) -

2 ф ( 1 Д ) * О, 8 9 0

-

О,ЧУ О = 0 , П * 1 2 % .

4 .

Конденсаторы с отклонением от номинала от'8 до 15%

p ( ( X - a f

< 0 , f 5 a )

- р

( j X - f t - i <

0 , 0 * а )

=

= Z C p ( s ) - 2 ф

( l , « ) a

j - 0 , 8 9

=

0 , 1 1

a

i i ‘/ w .

v-<

21.358. Пусть

*4

> xj i

X3

- отклонения снаряда от цели.

X

=

Х,+ Хг + Хл

- суммарное отклонение.По теоре­

ме сложения дисперсий

б

( * )

=

=

« У н * * - » - 5 1 + 1 0 *

=■ ] / 3 5 с Г =

1 8 , 7 1

.

пределена нормально,причем MX

= 0 , б ( х ) = 18,71 .Нужно найти

вероятность неравенства | X | <

0 ,4 5 .По формуле Лапласа