книги из ГПНТБ / Ефимов, М. И. Элементы теории вероятностей в задачах (с решениями) рекомендовано Мин.образования
.pdf99 |
|
|
рнтргльным моментом К |
г*о порядка случайной величины.# |
|
разываетея математичеокое |
ожидание |
К -ой степени центри |
рованной случайной величины |
К |
|
М к(Х)*М(х‘). м[(к-ш,}‘] •
Центральные моменты вычисляются по формулам
W * ( x ) » Z |
n«< |
“ |
I»T |
MK(x) * 5
Математическое ожидание случайной величины X есть ее
первый начальный момент,и дисперсия - второй центральный.
14 (х)®<4Дх) , Д 0 0 в М2(х)
Центральные момрнты выражается через начальные по формулам
a |
|
|
4 |
</«3~ 8 |
+ £ ^ • л. |
Л |
"* ^ |
^ S' ^ j i | |
Асимметрией (отклонением |
от симметричного распределения) на- |
|
зывается |
♦ |
|
отношение центрального момента третьего попдка к кубу |
||
среднего |
квадратичного отклонения |
* |
|
|
|
|
100 |
|
|
3 |
|
|
б* |
|
Если асимметрия положительна, то максимальная ордината кривой |
|||||
в плотности (с |
одним максимумом) |
смещена влево от математичес- |
|||
|
|
|
|
|
* о |
кого ожидания и смещена тем больше,чем больше аси’'иетрия.При |
|||||
отрицательной асимметрии кривая плотности смещена вправо от |
|||||
математического ожиданий. |
|
|
|||
йссцеесом |
<2 х |
называется характеристика,которая опре |
|||
деляется ^равенством: |
|
|
|
|
|
|
9 |
_ |
Jill |
х |
|
|
|
“ |
~ |
¥ |
3 - |
Для Нормального распределения |
асимметрия и эксцесс равны нулю. |
||||
|
|
|
о |
0 |
|
«Ксцесс служит для оценки "крутости" кривой плотности,т.е.
большего или меньшего подъема кривой распределения случайной величины
24.381. Вычислить центральный |
момент 4-го порядка для нормаль- |
|
|
|
О |
ного распределения N |
^ й |
) . Определить эксцесс. |
24.382. Производится три независимых выстрела по мишени.Беро-
ятнщеть попадания при кавдом выстреле равпа 0, б,Случайная ве-*
личина- Я - число попаданий.Определить асимые^рИА.
о
24.383. Непрерывная случайная величина |
й |
подчинена |
закону |
|||||
распределения с пйшюстыо |
f |
W - |
i r |
* 4 |
(распределе- |
|||
г |
* |
О |
|
|
эксцесс. |
-■ |
“ |
|
ние Лапласа)»»Определить асимметрию м |
’ |
|
||||||
& |
|
О |
, |
' |
|
|
|
|
IOI
24.384. Случайная величина |
К |
подчинена |
закону распределе- |
||
'ния с плотностью,которая |
задана формулой |
х 4 |
о |
||
' |
Q |
|
прм |
||
иПри 0 < х 4 1
|
|
1 0 |
|
при |
X> * |
|
Найти асимметрию распределения. |
|
|
|
|||
24.385. Случайная величина |
X |
распределена |
равномерно в |
|||
промежутке ( |
U. t h |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
при |
X < Q , |
X > Й |
|
|
^ £ -а |
|
при |
О. < X < & |
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти асимметрию и эксцесс. |
|
|
|
|
||
24>386* Найти начальный момент |
К |
-го порядка для нормаль-, |
||||
ного распределения |
( 0 , 4 ) |
|
|
|
||
24.387. определить математическое |
ожидание и дисперсию случай |
|||||
ной величины |
X |
распределенной по закону Пуассона |
||||
о
24.388л Определить коэффициенты асимметрии и эксцесса случай ной величины X .распределенной по закону Пуассона
24.389. Найти коэффициент асимметрии биномиального распределе ния.
Указание, для нахождения начальных моментов использовать функцию
* f |
~ Л \ 0 |
mt т |
m n-m |
nt).=(!>en} =21. е |
c n р |
% |
|
пч = О
Ответы и решения
- газ -
|
агдаы |
и евш им |
|
§1 . Основные понятия. |
9 |
вероятности. <?'. |
|
Определение |
|||
I . I . Лампочка оканотся дефектной,если |
возьмем одну из 9 де- |
||
фектных лампочек. |
|
rt |
|
|
|
|
|
т = 9, |
0=225 |
|
|
Р= |
9 |
|
|
225 |
|
|
|
1 .2 . Выпишем номера страниц,оканчивающихся на 5: 5,15,25,
3 5 , 235.Число благоприятных случаев 24.Поэтому
Р=25524
1.3. Всех возможных случаев 7! =*- 5040.Случаев благоприят
ствующих 2. Поэтому
_ J ___
Р= 252С
1 .4 . Общее число случаев равно числу размещений из 4-ех
элементов,т.е. 4! = 24.Благоприятствующих 2 случая.Поэтому
P ^ J L
Ш
1 .5 . & ) Всего в комплекте домино 28 костей.Вын :мается одна
кость.Вероятность того,что она будет 5 |
: 5 равна 1/2 8 ,т .к . |
|||
событию благоприятствует только один случай. |
|
|||
. |
5:5 |
|
gctaaesk. |
|
б) После извлечения кости |
в комплект®^" костей с |
|||
пятью очками 0 :5 , 1:5, 3:5, |
3:5, |
4 :5 , |
6 :5 .Благоприятствую- |
|
щих случаев 6. а всего костей |
27. |
** |
С |
о |
Поэтому^а— = -г- |
||||
О |
|
<• |
|
|
|
- |
т |
|
- '* |
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
кетонов |
|
|
|
0 |
||||
1.6. |
По условию всего |
' О.Из них 27 не содержат |
|||||||||||
цифры 2. Если |
Я |
- |
искомое. событие,то Р ( А ) -- щ |
= 0,675. |
|||||||||
1.7. |
Пусть |
А |
- событие,заключающееся в том,что |
премий вы |
|||||||||
ждана или ученому или рабочему. Всего их будет 5 + 3 |
= 8 чело- |
||||||||||||
век.Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
“ |
||
|
|
|
|
Р '( А } - 4 |
= 0' 8 |
|
|
|
|
||||
1 . 8. |
Пусть |
|
А |
- |
событие,состоящее |
в том,что первая извле |
|||||||
ченная монета будет достоинством IG копеек.Очередность извле |
|||||||||||||
чения не имеет |
значения.Это |
з н а ч и т , что если вторую М о н е т у |
|||||||||||
считать первой,а первую - второй,то росле того,как будет |
|||||||||||||
вынута 2-я |
монета (по начальной нумерации) монет останется |
||||||||||||
13-1=12,в том числе |
С |
|
|
|
|
* |
|
|
|||||
3 монеты по 10 копеек и вероятность еще . |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
раз вынуть 10-копеечную монету равна: |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
P ( A ) - T T - o . i 5 |
|
|
|
|
|||||
1 .9 . |
Количество возможных случаев (сопряжений валика и втул |
||||||||||||
ки) |
равно |
п |
|
=15.30=450. Узел имеет |
нормальное качество |
||||||||
при сопряжении нормальных валиков с нормальными втулками |
|||||||||||||
m |
= 11.26 = 286.Сопряжений с |
пониженным качеством всего |
|||||||||||
450-286 = 164.Пусть |
.А |
- событие,состоящее |
в том,что со |
||||||||||
бранный узел |
пониженного качества. Тогда |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
Р(А)“ J64I4 5 0 |
о |
|
|
|
|
||||
1.10. |
Если первую кость |
удалить,останется 27 |
костей,Пусть |
||||||||||
первая |
вынутая кость имеет |
X |
очков^на одной половине. |
||||||||||
Тогда найдется еще 6 костей,на |
которых будет |
по ас |
бчков |
||||||||||
на одной.; половине «Аналогично, у очков |
в». |
половины по |
|||||||||||
вторяется "еше на /дести костях.Следовательно,из 27 случаен ° |
|||||||||||||
благоприятными |
будут 12,^сли |
Л - искомое событие,то |
|||||||||||
* Р(А) = |
9 |
1 .1 1 . В високосном году 52 недели и 2 дня.Этими двумя днями могут быть:
воскресенье и понедельник понедельник и вторник вторник и среда среда и четверг четверг и пятнице пятница и суббота
°суббота и воскресенье
Чисяо различных комбинаций равно 7 ,благоприятных - 2 (первый
и последний).Если событие Я заключается в том,что високос
ный год содержит 53 |
воещэееенья.то |
Р (А ) — ~f~ |
|
||||
1 .1 2 . |
Всего у куба 12 ребер .При каждом ребре |
будет 3 |
кубика |
||||
с двумя окрашенными гранями,а всего их 3 6 .Если |
- событие, |
||||||
заключающееся в том,что вынутый кубик имеет две окрашенные |
|||||||
грани,то |
Р (А )“ 1Ц “ =0Д&6 |
|
|
||||
|
|
|
|
||||
1 .3 3 . |
Возможно |
Р6 |
= 8! перестановок этих букв.Благоприятно |
||||
лить одно.Если |
А |
- событие, заключающееся |
в том,что раз |
||||
ложенные буква составят слово "Норильск",то |
|
|
|||||
|
Р М |
- ^ |
' й |
к - 0'0011025 |
|
|
|
I . I 4 . |
Всего различных перестановок из 7 букв может быть 7! |
||||||
|
О |
|
|
буквы К возможно 2 ! ,из Л - |
2 ! ,из |
||
Различных перестановок из |
|||||||
0 - 3 ! |
Пусть Л |
- |
событие, заключающееся в том,что будет |
||||
составлено слово "колокол" .Число случаев, благоприятствующих данному событию будет 2!2S3!.Поэтому
i 0 5
|
|
n,,. |
2‘2 !з! |
|
i |
|
|
|
|
P(A) |
fj |
- go |
|
|
|
1 .15. |
Пусть |
С |
- событие,состоящее з том,что последние |
||||
3 цифры набраны верно.Всего из 10 цифр по 3 |
можно составить |
||||||
ЛД |
= 720 комбинаций,однако |
событию |
С |
благоприят |
|||
ствует только один нсход.Позтому |
|
|
|||||
|
Р<2)=т|о=о|оон |
|
|
|
|||
|
|
|
.no Z . |
|
|
ij |
= 21 комбинации. |
1 .1 6 . Всего ив 7 чпеелМйокно составить |
С7 |
||||||
Но сократимы лишь те дроби,которые образованы числами 3 ,6 ,9 ,
IS .Из этик чисел |
можно образовать |
С7 = б |
дробей.Цусть собн- |
тие А состоит |
в том,что полученная дробь |
сократила.Тогда |
|
р (а) = ! = ! |
|
|
|
|
|
|
* |
1 .1 7 . |
Ч и с л о |
способов,которыми можно выбрать ь букв из 30 равно |
||
f,so |
.Из |
них благоприятно только одно.Вели |
В |
- событие, |
заключавшееся в том,что появится слово "тундра",то |
|
|||
|
|
” 50 |
|
|
I .I S . Из 5 |
отрезков но 3 можно составить £ $ |
= 10 |
рааяичнше |
|
комбинаций.Но треугольник можно построить лишь тогда,когда оуьма даук сторон больше третьей.Такие комбинация дают отрез:
т : (2 ,3 ,4 ), (3 ,4 ,6 ),(3 ,6 ,8 ), (4;б,8).П усть событие Я сос
тоит в том,что из выбранных сторон можно построить треуголь-
О
ник.Тогда
P ( A ) - ^ = E ‘i
|
|
|
i Q7 |
|
|
|
|
§2 |
Теорема сложениявероятностей несовместных событий. |
||||||
2.19. В колоде 52 нарты,т.е. Ь |
= 52.Цусть |
А |
событие |
||||
заключающееся в том,что вытаскивается король, |
В |
- туз. |
|||||
Тогда |
4 |
Г |
п / п \ |
A |
- J - |
|
|
|
Р ( А ) = 5 2 = 7 5 ; Р ( В ) “ 52 |
13 |
|
|
|||
Р(А-*-В)= Р(А) *-Р(В) = ^
2*20. Пусть |
А |
- событие.состоящее в том,что взятый мешо |
|
чек содержит образцы гранита, |
В - сиенита.Тогда |
||
Искомая вероятность •
Р (A + B j = р (А) + Р ( В ) = |
- f |
|
2. 21. Пусть |
Д 4 - событие,состоящее в попадании в круг; |
|
А 2 - ыопадаЁие в меньшее кольцо; |
- в большее.Тогда |
|
А = |
- событие,состоящее в попадании в мишень. |
|
Тогда |
Р(Л) = Р(А,)+Р(Аг)+Р(А| ) = |
|
|
||
= |
0,15 + 0,18+0,2 |
= 0*5 |
Непопадание в мишень есть событие противоположное А
(1 (А) = 1-р (А ) = 1 -0,5 = 0,5
2.22. События: "пакет получен из Дудинки,Диксона,Хатанги"
образуют полную систему событий,поэтому «сумма вероятностей
д
этих событий равна единице 0,6 + 0,5 + р * 1 .Отовда вероят-
йость появления пакета с Хатанги равна
I OS
P = I - G/6 - 0,3 = G,i
2.23. I-нй способ. Обозначим |
А, |
событие,состоящее в том, |
|||||||||||
* что на синя билет выигрывается 500 рублей, |
A g - 100 рублей, |
||||||||||||
А 3 |
- 20 рубдей.Очезидно.что |
PfA,)= О~001; pfA2)=; 0,01; |
|||||||||||
В (а3)= |
о ,0 5 .Тогда искомое событие |
А » A t+ A g+ А } |
.причем |
||||||||||
A,, |
A g |
А 3 |
|
- несовместные. Поэтому |
|
|
|
|
|||||
|
а |
|
|
p ( A ) = f (A ,)+ p {A ,)+ l> 4 A j) = 0;061 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2-ой способ. Событие |
Л |
|
состоит в том.что либо нет выиг |
||||||||||
рыша,либо он равен 5 |
рублей.Следовательно, |
с |
|
||||||||||
|
|
|
|
р (вА ) - |
0,839 + 0,1 *0,939 |
|
|||||||
'Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р { А ) |
= ) - р ( А ) |
= 1 - |
0,939 |
= |
0,051 |
|
||||||
2.24. Пусть событие |
А |
заключается в том,что станок оста |
|||||||||||
новлен для смены резца,' |
& |
- из-за неисправности привода, |
|||||||||||
С - из-за несвоевременной подачи заготовок.Тогда |
|||||||||||||
. р (а ) = 1 • Р (в>=я • р(с) = ^ |
|||||||||||||
Р { А + а + С ) |
= 0,48+0,16 + 0,32 |
- 0,06 |
|
||||||||||
Пусть |
Д - событие,состоящее |
в том,что |
станок остановлен |
||||||||||
по другим причинам.Тогда |
|
|
о |
|
|
|
|
|
|||||
|
р ( Д ) » * - р |
(А + 6 '+ © ^ |
* |
0,04 |
|
||||||||
2,26,. |
Пусть |
А |
- |
событие,состоящее |
б |
попадании |
в первый |
||||||
ivopnyc, |
ft ° |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а - во второй.Тогда |
|
|
|
|
|
|
|||||||
, - |
■ р (А + В) = 0;32 +0,19 |
=0,51 |
|
|
-вероятность |
||||||||