книги из ГПНТБ / Ефимов, М. И. Элементы теории вероятностей в задачах (с решениями) рекомендовано Мин.образования
.pdf9
§ 2. Теорема сложения вероятностей несовместных событий.
I» |
Суммой событий |
ft |
, |
В |
называется |
событие,состоящее |
||
в том|что осуществляется |
flj |
или |
В |
или, |
Л й И 6 |
|||
совместно.Сумма событий обозначается |
я + |
в |
. |
|||||
2. |
Теорема. Если |
л |
и в |
- внесовместные |
события,то |
|||
Р ( Й + В ) = Р Ш + Р ( Ь )
Теорема обобщается на любое число несовместных событий
Wi, Яа,...Лц 1
Р С Я ^ Й * ^ ..♦ Л « ) - Р ( Я | ) * Р ( Я » > - ; - " * Р ( Я » 0
3» Событие |
Л |
называется противоаоложным событию Я , |
|||
если |
Я |
состоит |
в том,что Я |
не происходит.Вероят |
|
ность |
противоположного события находится по формуле |
||||
|
|
•т |
|
|
|
|
м ( й ) - |
I |
И (1 |) |
|
|
О
2.19. Одна карта выншается из колоды игральных карт
(52 карты).Какова вероятность того,что это будет туз
или король?
I .
t
2.20. В рвкзане геолога лежат 15 одатясовых мешочков: |
||
О |
& |
|
5 с образцами гранита, 4 с |
образцами сиенита и ё с об- |
|
р«. щами диенита.Из рюкзака вцяут0один мешочек.'ЦРны а |
ве |
|
роятность, что этот мешочек будет с образцами гранита |
° |
|
ил" с образцами сиенита?. |
|
|
о |
|
|
10
2.21. Мишень, состоит из круга и двух концентрических колец.
Вероятность попадания в круг равна 0 , Я | в меньшее кольцо - 0,13; -в большее кольцо 0 ,2 .Найти вероятность промаха,
2.22. Заочный факультет Норильского вечернего индустриаль ного института получает пакеты с контрольными-работа™ ив Дудинки,Диксона .Хатанги.Вероятность появления пакета из Ду динки равна 0,6° с 'Диксона - 0 ,3 .Найти вероятность того,что очередной пакет получен с Хатанги.
2.23. В лотерее 1000 билетов.Выигрыши распределены следую щим образом: I билет выигрывает 500 рублей, 10 билетов - по
100 рублей каждый, 50 билетов - по 20 рублей и 100 билетов -
но 5 рублей.Остальные билеты проигрншные.Какова вероятность выиграть на один билет не менее 20 рублей"?
2.24. При подсчете обнаружено,что на механическом заводе в среднем на 25 остановок токарного станка приходится: 12 для смены резца, 4 из-за неисправности' привода,8 из-зй несвое временной подачи заготовок.Остальные остановки происходят по другим причинам.Найти вероятность остановки станка по
другим причинам.
Г>
2.25. Заводское здание сос оит из двух корпусов.Вероятность попадания одной бомбы в первый .корпус равна 0,32; в другой
0 ,19.Определить вероятность*того,что бомба, не попадет в за водское здание. „
II
2.26. При'бомбометании по трем складам боеприпасов сбрасы вается одна бомба.Вероятности попадания в первый,второй ,
третийс склад соответственно равны: 0,007 ; 0,015 ; 0,015.
При попадании в один из них взрываются все .три.Определить вероятность того,что склады-будут взорваны.
2.27. Пассажир отправляется на |
работу |
с некоторой трамваи- |
|
ново остановки,через которую проходят |
трамваи |
маршрутов |
|
ft I и № 2 до места его работы, |
а всего |
через |
данную оста |
новку проходит 5 маршрута.Из 20 трамваев,курсирующих через
данную остановку,имеется ч трамваев маршрута it I и 9 |
трам |
||
ваев маршрута tt |
2 .Найти вероятность того,что Первый |
прохо |
|
дящий трамвай соответствует требуемому маршруту, если из |
|||
трамвайного парка еще не приходил ни один трамвай. |
|
||
2.28. Ь лотерее |
2000 билетов; из них на 4 |
билета падают |
|
выигрыши по 250 |
рублей, па 10 билетов -- по |
100 рублей, на |
|
20 билетов - но 50 рублей, на 50 билетов - по 10 рублей.
Остальные билеты невыигрышные.Какова вероятность выиграть не менее 50 рублей^ бСЛИ куп лен ocjuh Гилем -?
г 5. Ьависяыые и независяще события.'Теорема умножения вероятностей независимых событий.
г |
Сооытие Л |
называется независимым от события В , |
|
если |
вероятность |
Л |
не загноит от того,произошло В |
или |
не произошло. |
|
|
12
2 . |
Событие Я |
называется зависимым от |
события |
В .если вероя |
||
ность |
события Я гоняется в зависимости от |
того, |
произошло В |
|||
или |
нет. |
|
|
|
|
|
3 . |
Событие С |
- соатолщее в той, |
что |
Л и |
8 |
происходят сов |
местно, называется совмещением или произведением событий Л и 8 |
||||||
Указанный ([>акт коротко о"означается так |
С = ЯВ |
|
|
|||
4. |
Теорема. Вероятность произведения независимых |
событии равна |
||||
произведению вероятностей этих событий: |
|
|
|
|
||
|
Р(ЙВ)-Р(Л)Р(В) |
|
|
|
* |
|
Теорема распространится, на любое вдело независима событий.
Р(Я«Л...'.Яп)-Р(Л,)РСЯ«)... Р О М
В этом случае предполагается, что |
любое событие |
Л 1 |
не |
зависит от |
||||||||
любой труппы остальных событий. |
Такие |
события называются независи |
||||||||||
мыми в совокупности. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
3.?.£. Среди студентов' Норильскою индустриальною института |
|||||||||||
наудачу выбирают одною. |
Пусть событие Л |
заключается в |
том, что |
|||||||||
выбранный оказался |
юноша, событие |
В .- |
в тсч, |
что |
он учится на |
|||||||
заочном-Факультете и событие С |
б |
том, |
что |
он работает |
на мзхани- |
|||||||
ческом заводе.. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
а/Описать |
событие |
Л в О * |
. |
б/. Описать событие т |
М |
- , |
||||||
в / |
При K8JCOM условии |
|
—В |
? |
|
|
|
|
|
|||
|
3.30. Буквенный замок содержит на обпри оси шесть дисков,ка;.дай |
|||||||||||
йс |
которых соде {кит |
по 8 граней |
о различными нанесенным! на них |
|||||||||
' буква!®. |
Замок откроется только в |
том случае, если катдай даек |
||||||||||
занимает |
определенное полол®нис. |
|
Определить |
вероятность |
||||||||
открытых, |
замш , |
если |
устало) |
лена |
произвольная |
ког.бина- |
||||||
*
13
щш букв,
3 .3 1 , ймеетоя 2 партии тетрадей.В первой партиисостоящей
из 2000 тетрадей 1200 ученических и 800 общих, а во агорой
партии,состоящей ив 4000 тетрадей, 2500 общих и 1500 учени
ческих. Иг каждой партии оерегся по одной тетради. Какова ве
роятность топ ,ч то обе отобранные тетради окажутся общими.
3 .3 2 , Рабочий обслуживает два станка: №I и й 2 .Вероятность
бесперебойной работы на протяжении одного часа составляет
для станка « si-* 0,95 для станка ш Z - |
0 ,7 .Какова вероят |
ность т о п v что на протяжений 4-ех чаоов |
оба станка будут |
работать бесперебойно? |
|
3,33» йв гаража на линию вышли 3 автобуса независимо друг
о? друга.Вероятность того,что автобус придет на остановку
>
"Нулевой пикет" в соответствии о графиком движения равна
О.У.маитй вероятность того,что все три автобуса придут на указанную остановку,во-время.
3 .3 4 . Издательство отправило газеты в 5 почтовых отделений, вероятность своевременной доставки газет в каждое отделение равна 0 , у5.какова вероятность того',-.то все почтовые отделе ния получат газеты во-вреыя?
3 .35, |
Самолет заходит |
на цель 3 рава,сбрасывая при |
каждой |
заходе во одной бомба,Высота бомбометания в первом |
заходе |
||
K t |
,во Втором - fofc |
*в третьем h 5 .Вероятности попада |
|
ния в цель при различных высотах бомбометания соответствен'
но равны Р| = 0,2; |
Ру = 0,35; Р5 |
= |
0 ,5 .Определить вероят |
ность того,что все |
3 бЪмбы попадут |
в |
цель. |
3 .36 . Покупатель приобрел радиоприемник и телевизор.Для те левизора вероятность тогоtчто в течение гарантийного срока он не выйдет из строя,равна 0 ,8 , а для радиоприемника - 0,92 .
Какова вероятность того,что телевизор и радиоприемник выдер жат гарантийный срок службы?
3 .37 . Вероятность |
своевременного прибытия каждого |
поезда |
дальнего следования равна 0 ,9 .Какова вероятность |
того,что |
|
4 последовательно |
прибывших поёзда^удут без опоздания? |
|
3 .38 . Автомат штампует детали.Вероятность того,что за один чао не будет выпущено ни одной бракованой детали равна п,?5.
йайти вероятность того,что качественными будут все детали,
выпущенные за 2 часа.
3 .39 . Разведка с вероятностью 0,,9 устанавливает местонахож дение некоторого объекта; снаряд с вероятностью 0,ъ попада ет в цель.Какова вероятность попадания в объект?
3 .4 0 . Приоор,состоящий из трех узлоВ,работает в течение не которого времени.Каждый аз узлов в'течение указанного време ни может выйти из строя,независимо от других узлов.Отказ хотя оы одного узла приводит к отказу прибора в целом.8а
указанное время надежность (вероятность безотказной работы)
первого узла равна |
0,95, второго - 0 ,8 , |
третьего - 0 ,6 .Найти |
надежность прибора в целом. |
|
|
3 .4 1 . Вероятность |
того,что при одном выстреле стрелок попа |
|
дет в цель равна 0 |
,7 .Стрелок произвел 4 |
выстрела.Какова ве |
роятность того,что |
все 4 выстрела дали |
попадание ? |
15
3.42. В цехе имеется d станка.Вероятность занятости каждого
из них равна 0 ,8 .Найти вероятность того,что в некоторый иомен® один из них занят, другой - нет.
•4 3.43. Вероятность соединения при телефонном вызове - 0,8.
Найти вероятность того,что соединение произойдет лишь при четвертой вызове.
3.44. Вероятность соединения при телефонном вызове 0 ,? .Най ти вероятность того,что соединение произойдет не ранее,чем при четверто» вызове.
3.45. Детали изготовляют на станках ft I и ft 2 .Вероятность
того,что деталь,изготовленная на станке t I,Судет первосорт
ной,равна 0 ,8 5 .При изготовлении этой детали на втором станке вероятность первосортности равна ,9 .На первом станке изго- 1
товили 4 детали, на второ*. - 5 .Какова вероятность,что все детали первосортные?
3.46. По одной и той же цели поочередно производят бомбоме-
тание два самолета сбрасывая в каждый заход по одной бомбе.
На борту каждого самолета имеется но 4 бомбы.Вероятность по падания в цель при сбрасывании _даой бомбы для первого само
лета Рц8наО ,2, для второго - 0 ,2 5 .При первом же попадании
*
цель разрушается и бомбометание прекращается.Найт вероят ность того,что бое:апао бу/.ет израсходован не весь.
5.4V. Ь бою ые -ду истребителе!., и бомбардировщиком первым
*
начинает стрельбу истребитель.Он делает по бомбардир»'..^ику
ОДИ.1 БЫС.рел и сопьает- I цр „ * К ратноеТьЮ С ,15.Ьс.':П Оси.- -р-
16
• г
дировщик не обит,он отвечает истребителю огней и сбивает его с вероятностью о ,26,Вели истребитель не обит,он продол
жает атаку,блике подходит к бомбардировщику и сбивает его с вероятностью 0 ,3 5 ,Найта вероятность того,что будет ооит а) бомбардировщик, б) истребитель,
3 .48 . Лтюлет можно вывести из строя,если поразить оба дви гателя • дгЛетчика.При разрыве снаряда на расстоянии " ft "
от самолета,вероятность поражения каждого из двигателей равна 0 ,3 , вероятность поражения летчика равна 0 ,4 5 .Опре делить вероятность того,что при разрыве снаряда на расстоя нии " & " от самолета,саылет будет выведен из строя.
3 .4 9 . Спортивные общества "Динамо" и "Торпедо" состязаются тремя командами.Игра идет без рчьнх.Вероятности выигрышей матчей команд "Динамо" против соответствующих команд-"Тор педо" соответственно равны: 0,75 для I-ой (против I-ой "Тор пёдо"), 0 ,6 для 2-ой (против 2-ой "Торпедо") и-0,5 для 3-ей
(против 3-ей "Торпедо").Для победа надо, выиграть не менее двух матчей из трехЛья победа вероятнее?
3 .5 0 . В коробке перемешаны катушки с нитками трех цветов:
зеленых 40$,синих 25$,розовых 35$.Наудачу вынимается три
*
катушки.Иакова вероятность того,что а) все три катушки с нитками одного цвета, б) гее три катушки о нитками разных
оцветов?
I?
§4«. Вероятность появления хотя бы одного события.
Теорема. Пусть дано п . событий $ t , - |
R |
i f - независимых |
|
в совокупности.Тогда вероятность события |
I] |
.состоящего |
|
в появлении хотя оы одного из |
событий j |
J j |
. j l g Лпчопре- |
деляется равенством |
|
|
|
Р(А)— I~Р(А,)Р{Ag)— |
P(/Q. |
|
|
Следствие.Коли Р (А ^= Р{Аа^= •••“ Р ( А а ) - р |
,то |
||
Р(А)= |
|
|
|
где О = 1 ~ р |
|
|
|
4.51. Из колоды карт (36 карт) наудачу выбирают три карты.
О
Найти вероятность того,что среди них окажется хотя бы один туз.
4 .52. Найти вероятность того,что при бросании 2-х игральных костей,хотя бы одна из них выпадет с цифрой 6,
4.53. Вероятность того,что первая линия свлзи занята,равна О,р5.вероятность того,что заняты рторая и третья линии со ответственно равны 0,4 и 0 ,5 .Какова вероятность того,что в данный момент все три линии свободны?
|
«• |
о |
|
4.54. Два орудия |
независимо друг от друга ведут стрельбу |
||
по танку.Вероятность попадания в Тршк для |
первого орудия |
||
* |
|
0 |
* |
0 ,6 ,для второго - |
0 ,5 .Найти ВЕРОЯТНОСТЬ ХОТЯебЫ ОДНОГО nt)- |
||
о
падглия в тачк.если из каждого орудия сделано по 3 зыотреле
ГОС. ПУБЛИЧНАЯ t
НАУЧНО-TEX’«ИЧЕС’.КАЯ БИБЛИОТЕКА . ".CP I
а
- 18 -
4.55. Некто црдет разговор по одному из 5 каналов связи.
Вероятности того,что разговор можно вести по одному из 5
каналов связи соответственно равны : 0,75; 0 ,6 ; 0,9;0,85
О,8 .Какова вероятность того,что разговор состоится?
4 .5 6 . (Задача Даламбера).Найти вероятность того,что при подбрасываний двух монет хотя бы на одной из них выпадет герб.
4 .57 . |
ti |
Г’ |
- |
#* |
|
В одном из |
цехов завода имеется 5 телефона.Вероят |
||||
ность |
занятости |
каждого |
из |
них соответственно |
равны: 0,65; |
0 ,2 ; 0,5 3 .Какова |
вероятность того,что хотя бы |
один из них |
|||
|
|
|
|
. |
I* |
свободен?
4.58. В студии телевидения имеются 4 телевизионные камеры.
Для каждой камеры вероятность того,что она включена в дан
ный момент равна 0 ,8 .Найти вероятность того,что в данный момент включена хотя бы одна камера.
4 .59. По мишени стреляют два стрелка.каждый из них делает
по 3 выстрела.вероятность попадании первого стрелка при од*.ом выстреле равна. 0,8 , для второго - 0,6.0пределить вероятность поражения цели хотя бы одним стрелком.
4 .60. В типографий имеется 5 печатных машин.Ддя каждой машины вероятность того,что она работает,равна 0,8.0пре-
делить вероятность того.чт.. в данный момент работает хотя бы одна малина.
4 .61. Игра состоит в набрасывании колец на колыиек.Игрок получает 8 колец и бросаетокольца до перьэго попадания.
Какова вероятность того, что хотя бы одно кольцо останется неизрасходованным если вероятность попадания при каждом