книги из ГПНТБ / Ефимов, М. И. Элементы теории вероятностей в задачах (с решениями) рекомендовано Мин.образования
.pdf
|
89 |
|
Q |
при |
Д 4 О |
Ft*)32 s , § H - e o s M j |
при o < x < i |
|
I |
при |
X > I |
Найти плотность .математическое ожидание и среднее квадратичес кое отклонение.
20.348. Модуль вектора скорости молекулы газа есть случайная величина,распределенная по закону Максвелла,т.е. имеет плот
ность |
° |
^ |
|
t |
|
|
|
| { X) * |
|
X |
ПРИ ^ >0 |
и I(х ) = 0 |
|||
при |
X < 0 |
.Найти среднюю скорость и дисперсию величины |
|||||
скорости молекулы. |
|
|
|
|
|||
20.349. Случайная |
величина |
распределена по закону |
|||||
Р елея.т.е. |
имеет |
плотность |
|
|
|
||
|
|
|
О |
* г |
при |
X 4 |
О |
|
'?(*) |
2 ЙНi. - Й Х |
при |
X > О |
|||
Найти коэффициент /1 .математическое ожидание.дисперсий медиану.
§ 2 1 .Нормальное распределение.Правило 3 о |
.Предельная |
теорема. |
• |
I . Если плотность распределения случайной переменной опреде ляется выражением
|
е |
(X-Q.J |
|
♦ |
Т |
б 7 |
|
f (*) tf v T F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
90 |
|
|
|
|
|
|
|
то говорят,что |
X |
|
имеет нормальное распределение с парамет |
||||||||||||
рами |
й |
и |
б |
|
.Вероятностный смысл параметров |
& |
= М (К}, |
||||||||
б |
= У д ( х ) |
. |
Обозначение: |
Х е |
N |
|
) |
|
|
||||||
2. |
Для подсчета вероятности ' p ( H t < X < |
Xg ^ |
|
исполъзу* |
|||||||||||
ется формула |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
р (*,**<*,)* |
|
|
|
- Ф |
|
|
|
, |
||||||
где |
Ф « - у ^ |
* |
|
- 4 |
« |
• |
|
|
|
|
|||||
|
5 |
/ |
|
|
|
|
|
||||||||
Функция |
ф |
(к) |
табулирована.В частности |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
P ( | X - Q | < 6 ) a 2 ф { - | ) |
|
|
|
|
||||||||
Это соотношение |
называется формулой Лапласа |
|
|
|
|||||||||||
3. |
С вероятностью,очень близкой к единице (равной*2 ф Ш = |
||||||||||||||
= 0,9973) |
нормально распределенная величина |
|
X |
удовлетворяет |
|||||||||||
неравенству (правило 3 6 |
): |
а - З б < |
X < |
й .- И б |
. |
||||||||||
4. |
Если |
X, |
и |
Х4 |
независимы и распределены нормально |
||||||||||
с параметрами |
|
СЦ , |
б , |
и |
|
О-g |
,то |
X j + |
X2 |
также рас |
|||||
пределены по нормальному закону с параметрами |
й |
= (X(4-0g |
|||||||||||||
И б |
Я |
У б ® |
+ |
б У |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
Если |
X j |
, |
|
|
, Х п |
- |
взаимно независимые одинак во рас |
|||||||
пределенные случайные, величины,имеющие равные г., .тематические |
|||||||||||||||
о.лщания и дисперсии |
|
|
Д ( Х „ ) . в * |
и - 1.2.......*) |
|||||||||||
|
|
|
м { х „ ) - а , |
||||||||||||
то для случайной величины |
X |
= )С |
Ха 4*... -ЬХц |
справед |
|||||||||||
лива аормула (предельная теорема)":
Погрешность этой формулы у.1еньгнется с увеличением fl
Формулой можно пользоваться при |
П |
» |
30. |
|
|
' |
|
Следствием последней формулы являются следующие соотношения |
|||||||
т> |
! Д < х <. | ) « |
Ч (*в' £ ) - Ф ( £ & |
|||||
* |
1 |
||||||
•П £ j x - a j < £ ) = г |
|
|
& V n V |
’ |
|
||
|
|
|
|
6 |
f |
|
|
где |
$ _ |
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
ф (| x - r i a [ < £ } « |
2 ф ( |
8 |
) |
|
|
||
б-/г' |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||
21.350. При взвешивании тела получен средний вес |
4,36 |
кг,сред |
|||||
нее квадратическое отклонение веса |
© |
= 0,02 кг.Какой про |
|||||
цент всех взвешиваний дает результат |
от 4 , 3 |
до 4,4 кг |
? |
||||
21.351. На станке изготовляются детали,длина которых должна
равняться а * ем.Известно,что 75% деталей отклоняются от
нормы не более,чем на - Змм. Какой |
процент деталей будет от |
|
клоняться от й |
не более,чем на |
, 4 5мм ? |
21.352. Средний вес снаряда равен 12,2 кц.Вес снаряда распре делен, по нормальному закону.Установлено,что отклонения веса от номинала,превосходящие * ЮОг ,в среднем,встречаются 4
раза на каждые 100 снарядов.Найти среднее квадратическое от клонение веса снаряда.
21.353. Стрельба ведется из .начала координат вдоль оси ОХ .
Средняя дальность полета снаряда равна P500g.Дальность полета снарядов распределена по нормальному закону со средним квадра тическим отклонением 45м.Найти процент снарядов,дающих перелет от 10. до чОм. " .
92
21.354. Разливочный интима! вливает в каждой бутылку 500 си3
молока.Погрешности а работе автомата таковы,что среднее квадра тическое отклонение объема молока в бутылке равно 2ом3.Найти
вероятность,что объем молока в бутылке будет заключаться меж
ду 497 и 503 см3. • * ’
21.355. При взвешивании тела цолучЬн средний вес 2,36г.Среднее квадратическое отклонение веса равно 0,025г. Какой -процент всех взвешиваний дает результат в'пределах от 2,30 до 2,40 ?
а
21.356. Отдел технического контроля 'отбирает конденсаторы с
разбросом * 25/о емкости.Ёмкость конденсаторов распределена
с
но нормальному закону,Какой процент конденсаторов будет иметь
отклонение от номинала не” ботее * 0,52 ?
«
21.357. Допуски на конденсаторы,которые выбраковываются из одной партии,составляют 3,6,8,15/ь.0пределить процент содер жания в партии конденсаторов с указанными допусками.
21.356. При стрельбе из орудия отклонение снаряда от цели вызывается тремя независимыми причинами.Предполагая,что все
три погрешности распределены по нормальному закону со средним значением 0 и средними квадратическими отклонениями 15м, 5м и
10м,найти вероятность,что суммарное отклонение не превзойдет
30м * |
, |
. |
'■ |
ч |
► |
5 |
|||
21.359. |
Произведено 50 измерений нвкоброй |
величины.Среднее |
||
арифметическое результ-тов |
измерений X |
= 119,72.Измерения |
||
равноточные,средне© .квадратическое |
отклонение б = у Т |
•Оце- |
|
о |
о |
• v |
° |
нить б надеш^стьк 0,95 |
значение измеренной величины,,считая, |
||
* |
О |
|
|
что рез^ътаты измерени*: |
имеют нормальное распределение* |
||
93
О
21.360. Сбрасывается 80 серий бомб на полосу укреплений против ника. Известно, что при сбрасывании одной такой серии математи ческое ожидание числа попаданий равно 3, а среднее квадрати ческое отклонение числа попаданий равно 1,75.Какова вероятность что при сбрасывании указанной серии бомб в-полосу укреплений попадет от 230 до 250 бомб ?
21.361. Между 30 бомбардировщиками и 60 истребителями происхо |
|
||
дит воздушнйй бой.Каждый бомбардировщик атакуют два истребите |
|
||
ля.Бой ведется таким образом,что происходит 30 "элементарных |
|
||
боев",в каждом из которых участвуют один бомбардировщик и два |
|
||
истребителя.В каждом таком бою вероятность сбить бомбардиров |
|
||
щик равна 0,42, вероятность сбить один истребитель равна 0,6, |
i |
||
- оба истребителя 0,15.Какова вероятность,что в бою будет сби |
|
||
то не менее 40/о бомбардировщиков '< |
Оценить гранили, в кото- |
„ |
|
|
|
|
Л |
рых с вероятностью 0, £5 будет заключено число сбитых истребителе |
|||
|
§ 22. Неравенство Чебышева |
|
|
I. |
Если случайная величина X |
(дискретная или непрерывная), |
|
принимает только неотрицательные значения,то для любого dl>Q |
|
||
справедливо неравенство Чебышева |
|
|
|
2. для любой случайной переменной выполнено неравенство
или
22.362. Среднее значение скорости ветра в данной районе по дан ной высоте равно ЗОкм/час. Оценить вероятность того,что скорость ветра не будет более 120км/час .
22.363. Среднее радиальное отклонение бомб равно 50м.Оценить вероятность тсго.что при бомбометании радиальное отклонение бомбы не будет превосходить 270ы .
22.364. Среднее значение угла рноса самолета равно 4°.Оценить вероятность того,что при полете на самолете данного типа угол сноса будет более 12°.
22.365. Средняя скорость ветра у земли в данном пункте равна
20кы/час.Оценить вероятность того,что скорость ветра не будет превышать ВОкм/час.
22.366. Средний расход воды в населенном пункте составляет
10 С00 литров в день.Оценнть вероятность того,что в этом на селенном пункте в данный день расход воды не превысят 40 000
литров.
22.367. математическое ожидание количества выпадающих в течение года осадков в данной местности равно 50сы.Оценить вероятность того,что в дань )и честности выпадет не более
150мм осадков.
22.368. чис .о солнечных дней в году для до.той местности яв ляется случайной величиной с математическим ожиданием,равным
?0 дней.Оценить вероятнготь тоге,что в данной ^еб'тности в те-
чение года будет не более "150 солнечных дней.
22.369. Среднее квадратитаое отклонение ошибок измерения ско рости самолета 6 = 5км/час,математическое ожидание"равно нулю.Оценить вероятность того,что ошибка измерения скорости самолета не превзойдет 20км/час.
22.370. Среднее квадратичное отклонение ошибки измерения кур са самолета €> * 2° . Найти оценку вероятности того,что ошиб ка измерения курса самолета будет не более 5° .
22.371. Средняя скорость ветра на данной высоте равна 25км/час.
Среднее квадратичное отклонение скорости равно 5км/час.В каких пределах можно ожидать скорость ветра с вероятностью не менее
0,7 ?
22.372. Математичесое ожидание ошибки измерения скорости са-
молота U « 0. Каково должно бить среднее квадратиков откло нение этой ошибки,чтобы с вероятностью не менее 0,9 ожидать,
что ошибка измерения скорости будет не более 15км/час ?
§ 23. Теорема. Чебышева.Неравенство Бернулли.
I . Пусть |
X, |
- независимые случайные величины, |
||
имеющие математические ожидания Q, , 0 4, |
Qn |
и ограничен |
||
ные дисперсии |
' |
» . |
|
|
Д(Х,)*К , д(х,)хкД(Х„,ЧК |
||||
Тогда справедливо |
следующее соотношение |
|
|
|
P(l Jtj* |
+ Xn |
q,4-Qa+ .--+fln I уС |
1«.I K_ |
|
Отсюда следует,что |
при достаточно большом» |
Т1 |
вероятность |
|
сколь угодно малого отклонения среднего арифметичеекогб .слу
96
чайных величин от среднего арифметического их математических
ожиданий сколь угодно близка к единице.
2. Если X|,-Xg,-vXe имеют равные математические ожидания
«и дисперсии
|
Д (*,)•=Д(х.)* |
=Д (х,)-Д |
, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
"то предыдущее "еравелство |
Примет вид |
|
|
|
||||||
|
|
п. |
|
- а |
) |
< |
£ ) > |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 . , Пусть производится |
Н |
|
|
|
|
б |
|
|||
|
испытаний подсхеме Бернулли |
|||||||||
на появление событ’я |
А а ; |
„ Я1 |
- число |
появлений А |
при |
|||||
Я |
испытаниях. Тогда,полагая |
в последнем |
неравенстве |
- |
||||||
„число |
появлений |
А |
в |
к |
-ол испытании и учитывая,что |
|||||
М ( х ^ Р , Д М |
= И |
, получим неравенство Бернулли |
|
|||||||
|
p ( i t - r u e ) > i - - $ £ - |
- |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<л |
Это неравенство дает .оценку вероятности отклонения частоты |
||||||||||
~ |
от веротяности |
Q |
|
в условиях схемы Бернулли. |
- |
|||||
ft |
|
|
• |
|
|
|
|
|
|
|
23.373. дисперсия каждой из 1000 независимых слу>'ай11ых величин
о
не превышает 4 .Оценить вероятность тоРо.что отклонение средней
арифметической этих ве'личин от |
средней арифметической и': ма- |
|||||
|
° . |
|
окажется |
|
- , |
' |
тем гичеы<;их ожидании |
|
меньше 0.3. |
|
|||
г. |
<•’ |
' |
О |
U |
' |
|
о' |
д |
4 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
97
23.374. Дисперсия каждой из данных независимых случайных вели чин не превышает 5 .Найти чиояо R таких величин,при котором вероятность отклонения средней арифметической случайных величин от средней арифметической их математических ожиданий не более,
чем на 0 ,4 ,превышает 0,85.
23.375. Имеется 3200 назависиных случайных величин,дисперсии
которых ограничены.Какой должна быть верхняя граница этих дис-
О
персий,чтобы отклонение средней арифметической данных случайных величин от средней арифметической их математических ожиданий не превышало по абсолютной величине 0,25 с вероятностью,боль шей 0,96.
23.376. Дисперсия каждой из 400 независимых случайных величин не превышает 0,25 .Какой величины не должен превышать модуль разности средней арифметической этих случайных величин и сред ней арифметической их математических ожиданий,чтобы вероятность такого отклонения превышала 0,99.
23.377. колхозное поле имеет 1500 га.Для определения средней урожайности с каждого гектара взята на выборку проба с 1'м2 .
Какова вероятность того,что отклонение средней выборочной уро
жайности отличается от средней урожайности'по всему полю не
9
более,чем на 0,1 if .По каждому гектару поля дисгк-рсия не прет вышает 5.
,23. 378. Вероятность положительного исхода отдельного испытания равна 0 ,6. Оценить вероятность толо,что при 1500 независимых испытаниях отклонение частоты от вероятности положительных ис ходов в отдельном исш/ташш по абсолютной величине будет меньше
0,03. •
98
23.379. |
При каком числе независимых испытаний вероятность вы |
|
||||||
полнения |
неравенства ] " |
— р | ^ 0,3 превысит 0,94,если |
веро |
|
||||
ятность появления события в отдельном испытании |
|5 |
= 0, 6. |
|
|||||
23.380. Проверкой ОТК установлено,что при штамповке пластинок |
|
|||||||
брак составляет 2/6. Оценить вероятность того,что при проверке |
|
|||||||
партии в 2000 пластинок обнаружится отклонение от установлен |
|
|||||||
ного процента |
бпака меньше,чем на 0,5# . |
|
|
|
|
|
||
|
§ 24. |
Моменты |
|
|
|
|
|
|
В качестве |
числовых характеристик случайной |
величины |
X |
, |
||||
кроме математического ожидания,дисперсии и среднего квадрати |
|
|||||||
ческого отклонения,используют моменты.Моменты выразит то или |
|
|||||||
иное свойство кривой плотности распределения. |
|
|
|
|
||||
Начальным моментом |
К -го порядка |
d ^ |
случайной ве |
|
||||
личины |
X |
называется |
математическое |
ожидание |
К - |
ой |
|
|
степени |
этой случайной величины. |
|
|
|
|
|
||
|
|
А*М-М(х*) |
|
|
|
|
|
|
Для дискретной |
и непрерывной случайной величины |
|
( % ) |
вычис |
||||
ляется соответственно по формулам |
|
|
|
|
|
|||
■ M i O - z x [ P l , j i * ( * ) = £ * ; ' • ? . .
^ n* t
i'i(x) = 5
-СЮ