книги из ГПНТБ / Ефимов, М. И. Элементы теории вероятностей в задачах (с решениями) рекомендовано Мин.образования

М 3

4 .66. Вероятность промаха одного стрелка равна

1 ~ П

Вероятность промаха всех стрелков равна ^ - П }п

.События

4.67 .

Пусть событие

А

-

выпадение 12

очков на двух костях

А;,;

-

событие, состоящее в выпадении 6 очков

на первой кости,

А ,

-

на второй Р (A,)s P fA ^

~

Вероятность того,что

при одном бросаний двух костей выяадет 12 очков.равна

Р AA.VAq)

=s

.Вероятность того,что при одном

М

зо

з

1

3?

• а

веро­

бросании не выяадет 12

очков.равна

ятность того,что не выяадет 12 очков при

Я

бросаниях,

равна

( | | )

.Событида "при бросании двух костей

П

раз

ни разу не выпадет 12

очкрв" и "хотя бы раз

выпадет 12

очков"

противоположные.Поэтому вероятность того,что хотя

бы раз вы-.

падет 12

очков равна

I

/ $ 4 \ Я

. По условию задачи должно

*| — >

<

быть

I

I гг \ в

*

'

31р/

4 — 1-^-2- ;

ч

, откуда

) \36/

г

Следовательно,при ft

= 2 6

с вероятностью не меньшей 0,5

хотя бы раз появится 12

очков.

9

-

МО

-

4.68.

Пусть

А

-

событие,состоящее в том,что произведено

хотя бы одно попадание в мишень.Тогда событие

А

-

ни од­

ного попадания в мишень. А

=

А ,' Д г

,

где

А, ,

Ag ,

А 3

- события,состоящие в

промахе 1 -го ,

2-го , 3-го

выстрелов

р (А) - О,5 .О,4 .О,2

= 0,04 .Искомая.вероятность

равна

р(А) *• 0,96.

§5

Условная вероятность.

Теорема умножения вероятностей

зависимых

событий.

5.70. Пусть событие

А

состоит в

том,что телефон не

занят, р ( А ) - 0 , 6 , событие

6

-

присутствие

абонента.

p ( eA ) = W

р ( А В ) - р ( А ) | | ( ^ » В , 4 »

5.71.

Искомая вероятность равна вероятности то п ,ч то

не

выйдут из

строя

все

три элемента.Пусть событие

А %

озна­

чает, что

К

-ый элемент ве

выйдет аз строя (

К =

1 , 2, 3) .

События

А,

,

A g ,

т з а Ь я с т т .Ш э т с щ у

р, - р ( М А ) = p W p ( * t ) p ( A , ) -

= 0 ,Г • 0,Т • 0 ,6 * 0 ,1 1 6

Если первый

элемент «те выходит из строя, то

5 .7 2 .

Пусть событие А стачает,что человек дожил до 20

лет,

В

-

от 20 до 60 лет и

С

дожил до 60 лет.Тогда

С -

А

Ь

рГА)-р

л р ( С ) - ъ

р ( С ) ‘ р ( А & ) * р ( А ) р ( Ь / а )

вая карта

окажется

тузом,равна 4/32,Вероятность

того,что вто­

рая карта

окажется

тузом,при условии,что первая

туз,равна

3 /3 1 .Поэтому,иокомая вероятность равна

л щX •Л > JL —О 12

г “ 8

$1

М

6,78»

Пусть событие

А

состоит в том,что письмо не нахо­

д и м

в первых вести ящиках стола.Тогда

JI| А )

в $

*- - | r Р

Пусть,далее,событие

Q

состоит в

том,что письмо находится

в последаем, седьмом ядаке}

р ( В ) «

у

.Находим условную

IQ

9

= M ill

H

' i ?

6 .79.

Вероятность

того,что

человек

сядет на определенное

место из 12 возможных,равна 1/12.Вероятность того,что с ним

рядом сядет приятель (слева или справа).равна

2 / 1 1 ,

Поэтому

вероятность приятелям оказаться рядом при условии,что первый

завял определенное место,равна ^

.Но у первого са­

дившегося 12 возможностей (занять любое из 12 мест). Поэтому

вероятность

\

1

о

ш «

Иначе

l«l 2 12

2

It 1

121

"

И

6,80.

Вероятность

того,что

человек займет одно место из 6 ,

равна 1 /6 .Вероятность

того,что его

приятель займет место ря­

дом (одно из 5 оставшихся) -

1 /5 .По теореме умножения ^

.

Но Приятели могут поменяться местами.Тогда вероятность ока-

заться рядом на двух данных местах

равна

-у •

• £

.На ска­

м ей »

существует 5

пар мест.Поэтому по теореме

сложения най­

денную вероятность надо сложить 5 раз.Тогда получим

И

и

и

Иначе

И

f l

1

“ Г Г * з

9

-

125

-

5 .85.

Пусть событие

А .

состоит в попадании в первую ми­

шень при первом выстреле,

А„ -

во вторую при втором вне-

трале.

я

;

*

р(Д,]=а-~г

.Тогда искомая вероятность

равна

п f

А

> _

а J&

и/у

Р i

А*/А4у -

15

5.Б6, Пусть событие

А

состоит з том,что ребенок,достигший

10-летнего возраста,доживет до 40 лет,

а

С

событие,сос­

тоящее в том,что он доживет, до 60 де1*.Обозначим

й - собы­

тие, состоящее, в том,что до 60 лет доживет человек 40-летнего

возраста.Тогда С -

кЬ ;

р (С ) -

р ( Л 5) -

р (А) р ( б/А) .

НО р (

А'

6,488

Поэтому искомая вероятность

рСО

_

468

_

Ш

Р(И/*}= pTJ}

~

01S

~

1

М

5.87.

Пусть событие

А

заключается в том,что новокаин

кондиционный,а событие

&

в том,что он однопроцентный,

тогда

р (А )

= 6 , 5 8

;

П ( Б / Л )

s

0,5

.

Искомая вероятность равна

j>(AS]*PW М S/А) « М* •М №

.

5,88.

Пусть сооытие

А

состоит в тсж.,что первый из дней

августа ясный,

$

-

ясным будет второй день.Тогда

-

§

*

Р С

„

217

_ 2

та

p ( A 5 )- Il(A Jp (b/ A ) *^

!4

w

!2.0

5.89. Пусть событие

А

состоит в

том,что снаряд попал в

корабль,

&

- самолет-снаряд сбит в

воздухе, С - корабль

потоплен при попадании в него снаряда

р(Б) =0,4 ; р(й) = 0,б ; р(А/й} * 0;9 ;‘

р ( с / а в ; -

Тогда

p ( a S c )

- p. ( S ) p

( A / 5 ) p ( C / A i )

= o,6 - o , s - 8,r =0,ЗТЯ

5.90. Пусть событие

А

состоит в том, что первый раз вынут

красный шар,

А £ -

что«торой раз вынут красный шар.

а) Событии

А, ,

А ^~

независимы, р (A.)*p(Af}*0,2

Р ( A,

A t ) = 0,2

45

5.91.

Пусть событие

А,

состоит в том,что отсутствует де­

фект

А ,

р

=■

.Событие А .^

состоит в том,

что отсутствует дефект

& S

к г л л

TZ

«

Р 1 М2/ =

io-

■*u' a

Вероятность

отсутствия обоих дефектов равна

.

Р(А,Аг}= $-0,8

= 0,825

5.92.

Пусть событие

А

заключается в попадании бомбы в

кораоль при данных условиях бомбометания,а

Б

состоит в

том,что кораоль потонет

при попадании в него одной бомбы

р {А) = М р(Б/А) яМ

Тогда

искомая вероятность равна

5 .9 6 .

Пусть сббытие

А

состоит в том,те» выбранная корзина

содержат качественный виноград

,

— 8,82 * $ '? ,а собы­

тие

&

,что

этот виноград первосортный.По условию событие

&

зависит

от

события

А

,

.Тогда

р (АВ) = р (А) р (&/д) = 0,98■5,5 я 5,58*

5 .97 .

Щсть

.А

-

событие,состоящее в поранении цели,

р {А } -

0,6

.Вероятность не

попадания в самолет при одном

выстреле равна 0,9 6 ,

а при десяти

выстрелах (5/ § § у 9= 0,665 .

Пусть

&

-

события,состоящее в том,что на один снаряд не

попал в самолет : р ( й ) = 0,М §'

.Пораженке цели соСтоит в осу­

ществлении события

А 5 .

р

р {К )р |А /о,|«П ^ И -й /6б5 =

= 0,309 .

Теорема сложения вероятностей для совместных событий.

6 .9 8 .

р (А + В )

= р { А )+ р ( В ) - р ( А В ) д а в ,6 + 0 Д - $ 4 г = й,88

6 .99 .

Пусть событие

А

состоит в том,что цель поражена

первым стрелком,

а

Е

-

вторым.Тогда по формуле сложения

вероятностей

совместных событий получим: р

* р ( А ) - ь р ( й ) - р ( А & } :д,7 + 0 Д -а,А>- = &,М ;

О

6.100.

Пусть

событие

А

заключается в том,что первый би­

лет имеет равные суммы, а

й

-

что второй билет имеет

равные суммы.По условию задачи

р ( А )* р ( В ) а 0 ,0 6 ? 3 случае

(а) события эти несовместны, в случае б) совместны.Поэтому

а)

р(А+ Ь)

* р (A

)

0,061-1 * frrf «

o f р ( А * В )

Р ( А ) + р (6 ) - р ( А ) р (& ) = & , « * “

»

= а, и