книги из ГПНТБ / Ефимов, М. И. Элементы теории вероятностей в задачах (с решениями) рекомендовано Мин.образования
.pdf-169
11.196. Пусть . Р - вероятность выпуска «справных оконных блоков.Тогда Ц. = 0,04 ; р = 0,96 .Так как п. = 20,то искомое чис.;о находим из неравенства:
гп • в,9б |
- 8,04 4 |
м 4 |
га |,es |
+ a,gs |
|
|
||
Или №, IS 4 М4 28, tS |
|
|
.Откуда |
М=28 |
|
|||
11.197. В данной задаче |
М |
= |
25; |
р = 0,6 ; |
I]. = 0 ,4 . |
|||
Составляем неравенство |
0,6 я -8,4 |
4 28 4 |
0,6 П +0,1 |
|||||
Решая его,находим |
п 4 - ~ ^ — |
■ 42 |
|
|
и |
|||
В > - |
^ |
= 4 8 , ( 6 } |
.Или 4 6 1 ) 4 0 4 42,(3) |
|||||
Таким образом.число всех выстрелов может быть 41 или 42. |
||||||||
11.198. Здесь |
П |
= 30 |
; . |
р |
* 0,4 |
; |
({ ,= 0 ,6 .Составляем |
|
неравенство: |
|
М,4 |
4 М 4 |
12,4 |
|
|
|
|
|
Следовательно,наиболее вероятное число дождевых дней 15 ав -' |
||||||||||
|
густа равно |
12. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
11 .199. Для первого орудия |
П, = 80 ; |
р, = 0,85 ; ■ |
||||||||
|
*|.4 а 0.15.ДЛЯ |
второго орудия |
Пг = 70; |
Рг = 0,9; |
% г = 0 ,1 , |
||||||
|
Составляем неравенства |
|
|
|
|
|
|||||
|
Ш • |
Й,8Й - |
0 i5 |
4 М, |
4 gd « с,8| |
4- 0,81 |
|
||||
|
или |
4 |
M i.4 |
S3* Щ |
j |
/П< |
а |
. |
|
||
|
Для второго |
орудия |
|
|
|
|
|
|
|||
» |
Н |
М |
- |
М |
4 |
N s 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Й2,Й 4 |
|
Мг 4 |
83,1 |
|
|
’ |
V |
|
|
Таким образом, нш:ве| ойтнейшве |
число попаданий для |
|||||||||
|
первого |
||||||||||
орудия равно 63,для второго 63.
11.200. |
Число |
М |
находим из неравенства |
|
|||||||
|
np -*■q |
4 М 4 ftp |
+ q |
|
|
|
|
|
|||
В данном случае’получим |
|
|
3,4 |
4 М 4 4,4 |
|
||||||
Следовательно,наивероятнейшее |
число мышей,пойманных кошкой |
||||||||||
за 10 дней,равно 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
И . 201. |
Здесь |
р = 0,8; |
|
|
q |
= 0 ,2 |
; |
М =* БО.Составляем |
|||
неравенство |
0,8 й - 8,2 |
$ |
50 |
4 г,а н + 0,3 |
|
||||||
Решая его,находим |
п 4 §2,75 |
|
, |
п £ 81,5 |
.Следова |
||||||
тельно, всего гвоздей и болтов в ящике должно быть 62. . |
|||||||||||
11.202. Здесь |
р |
= 0,8; |
|
|
q ■= 0 ,2 |
; |
n = 9 .Составив |
||||
неравенство,найдем |
7 4 М 4 8 |
|
.Следовательно,наивероят |
||||||||
нейшее число яблок хорошего качества из взятых 9 равно 7 |
|||||||||||
или 8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11.203. Здесь |
Р |
= 0,7 |
; |
|
|
q |
= 0,3; |
я = 8.Состазив |
|||
неравенство .получим |
5,5 |
4 |
М 4 |
6,3 |
|
.Следовательно, |
|||||
искомое число |
^ |
= 6. |
|
|
|
|
|
|
.. |
|
|
11.204. В данной задаче |
|
р |
= 0,8; |
|
q = 0 ,2 ; |
Д = 12. |
|||||
Составив неравенство,найдем |
3,4 4 М 4 |
'0,4 |
.Наивероятней |
||||||||
шее число партий,выигранных Иваном у Петра,равно 10. |
|||||||||||
11.205. Вероятность появления шестерки при |
одном бросании |
||||
игральной кости равна 1 |
/6 .Тогда |
р = 1/6; |
q = 5/6; |
||
гг |
= 100 .Неравенство |
примет вид |
~ 4 м |
4 |
|
UMI |
<5,83 4 |
М 416,83 |
|
|
|
Следовательно, |
М = 1 6 . |
|
|
||
414
11.206. По |
условию задачи |
^ |
= 1 2 ; |
Р / = 0,л; |
Ч |
> |
||
Составив неравенство |
ПР ~ Ч- |
6 м 4 |
пр |
»- р |
|
|
||
найдем 4 , £ * М 4 М |
, |
.Следовательно,. |
М |
= Ь, |
|
|||
11.207. По условию задачи |
Л |
= 12; „ Й = О,?; |
Ц, - 0 , 3 . |
|||||
Составив неравенство,найдем |
6,1 4 М 4 |
9,1 |
|
.Значит |
||||
м - |
' |
|
|
|
|
|
|
|
§ 12. Локальная теорема Лапласа
1,2.208. Искомую вероятность найдем по приближенной формуле
где |
б « /п р ч 1 |
, |
|
tf{*} найдем из |
таблицы.Б данной зада |
||||||||||
че |
П |
= 30; |
m |
= |
26; |
р |
= 0,85; |
|
^ |
= 0,15. |
|
||||
I . |
Определим |
|
б |
= /пр % |
= |
^3,825’ |
|
|
|
||||||
|
|
б |
* |
4,91 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
|
х в -2 -Г £ !£ |
|
e l i r i M |
l M |
i . |
- |
fl |
255 |
|
|
||||
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3, |
|
if ( х ) . * |
f |
(fl,2S) |
- |
fl,39t |
|
|
|
|
|
||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
S'. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Й*М 6 |
я |
|
■ ° ' 391 |
|
= |
а |
, т \ |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
с |
о |
|
|
= |
G,5,где |
. Р |
- ве- |
|
12.203. |
По |
условию задачи |
р |
= |
% |
||||||||||
роятьость появления красной розы. |
m |
= |
ЮЛ; |
П |
200. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
Q 9
|
|
|
|
|
I и |
|
|
б » ] / 200 |
6,S |
(?,§’ |
» 5 ] П |
Г |
» 7,07 |
||
x = |
— ^ — |
= |
- д flyu |
* |
o,se |
||
4> (о,б) |
|
- |
Ojaз* |
|
|
||
r< |
|
* |
- f -Q f |
0,3SJI |
- |
0,04? |
|
200, 164 |
|
|
|
|
|
|
|
12.210. |
Здесь |
' П, = 500 |
; ТП = Д00 |
= 0,25. |
|
|
|
6 « V n p q , |
У ш - о д М з ' * p ? |
||
„ |
W т ПР |
28 |
. _ |
x * “ в " = - 0 Г ~ 2's
Тогда |
|
, |
в У Ш тм, |
= д-аа,* |
|||
р |
|
||||||
Г$вв,«Й0 |
|
gf |
j£ $ f ■ |
«.ВО»4 |
|||
|
|
|
|
|
|
% |
|
12.211. |
По условию задачи |
ff |
= 0,6 ; |
||||
п |
* |
1500 |
; |
m = юоо. |
|
|
|
6 =/ftpq, |
- V(500-0,50,4 ’» (0,8 |
||||||
x » |
m; ftp |
- |
jsi_ |
S' 23 |
• |
|
|
|
|
0 |
|
(5 |
|
||
о Тогда |
по |
таблице |
найдем |
ip » ( p ) “ 0 |
|||
= 0,75
О,О Ш
q, * с,Д ;
1 огда„
|
|
|
|
|
|
- па |
- |
|
|
|
|
||
12.212. |
По условию |
задачи |
|
Р |
= 0,2; |
tj, |
= 0,8; |
Л = 400 |
|||||
m |
s |
100,Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
б |
“ ]ГпрЕ|" |
= 8 |
|
, |
х |
|
|
g --^- = 2,5 |
|
|
|||
Тогда |
Ц ? ( х )~ |
0,0475" |
|
|
и окончательно |
|
|
||||||
|
|
Рюн, tea |
|
0,0175 |
= |
0,0022 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
12.213. |
По условию задачи |
|
П |
= 900; |
т |
= 600 |
; |
||||||
р |
= |
q, |
= о ,5 ; |
б |
= VnpqT |
= 15- |
|
|
|
||||
X в |
|
(П - |
пр |
50 |
|
|
|
|
По таблице найдем |
|
|||
|
б |
|
- - у~— = j ( з j |
|
|
||||||||
|
|
|
" |
«в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ч»(х) » Q,etHt-Toi*a |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Р«мм . ^ - о #вав1 |
|
|
|
||||||||
12.214. |
По условию задачи |
|
0 |
= 0,3; |
£}, = 0,7; |
П =Д0; |
|||||||
m |
= |
з . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б * V npq, |
' |
* |
|
|
|
|
|
|
|||
х |
* |
|
|
- |
о |
|
, |
ф (о ) =» й, sees . |
|
|
|||
Тогда |
П |
|
fl,30U . |
й „ |
|
|
|
|
|||||
|
|
Pis, 3 |
* |
|
|
------ М ? |
|
|
|
|
|||
12.216. |
По условию задачи |
|
р |
= 0,8; |
^ |
= 0 , 2 ; |
|||||||
Л |
= 100 j |
W |
= 75. Тогда |
|
|
|
|
||||||
б |
* |
VTijnj- 1 |
* 4 |
|
I |
X |
* |
|
= - |
<,25 . |
|||
P . . . U |
• ^ |
‘ |
■ |
' |
. |
- *7* -
§ 13. Интегральная теорема Лапласа
13.216. Вероятность того,что деталь окажется без дефектов,
р= 0 , 8 . Тогда
|
|
Ч. в °#2 |
; |
О a SQ0 ; |
|
а * 400 |
; |
й * |
910 |
||
Найдем |
« Л и |
J & . |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
а - пр |
|
|
= |
1,02 |
|
|
|
||
|
|
V n p % |
|
4V T |
|
|
|
||||
■J» = |
|
|
= ...30.... _ |
ч |
|
|
|
|
|||
У К р У |
|
4V T |
~ |
3' U6 |
|
|
|
||||
.Тогда |
|
p 14S0 4 m 4 §tej |
= |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||
= |
ф ( |
э , 1 |
) - Ф ( 1 , в ) |
= |
0,4998 |
- 0 , 3 4 1 3 |
* |
|
|||
= |
0,1577 . |
|
|
|
* |
|
|
|
|
||
13.217, |
По условию задачи |
|
р |
= 0,4; |
^ |
= 0,6; |
R = 40 |
||||
G = 12; |
§ |
= 40. Тогда |
|
|
|
|
|
||||
|
J . |
О - П Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
лУт
Искомая вероятность
р { m > 12] = р j \г i m 4 4 0 ] *
= ф (7,7) + Ф(1,Э} = 0,5 + 0,483£ - 0,9052
13.218.
Р ® 0,15 |
; |
ф»0,85 |
; |
n s |
260 |
; |
|
|||
a |
= 80 |
|
; |
й = 120 |
• |
|
а |
|
|
|
/ |
a - n p |
|
42.5 |
|
|
|
|
|||
|
= |
6 |
|
|
|
|||||
* |
Т/прчГ |
|
5,6 |
О |
|
|
||||
A - -iififi-* |
= - 1 И |
|
|
|
|
|||||
- |
14,7 |
|
|
|
||||||
J |
Vnptj.' |
|
5,8. |
|
|
|
|
|
||
р |
{ 80 4 m < 1 2 0 1 |
а |
ф (14,7) — |
ф(7,§) |
|
|||||
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
0,8 |
- |
0,6 |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
13.219. |
Вероятность |
попадания в цель |
р |
= 0 ,4 .Тогда |
||||||
|
= 0 ,6 .По условию |
П |
|
= 40.Найдем такое |
mml(| = Q , |
|||||
чтобы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р | а |
4 m ,4 4 o J |
« < p ( f t ) - Ф ( Л ) |
=0,9 |
||||||
|
•» |
|
6л2Р с 4 £ z i« |
= i l |
= > 8 |
|
||||
|
|
tfHpf |
S,i |
|
5,1 |
|
|
|
||
Ф ( ] И * 0/5 .
Следовательно, |
— ф (А) *"3,4 ( |
<А должно быть отрицательно) |
ф ( - Л ) * 0 , 4 |
.По таблице найдем |
- ol = 1,1 .Значит J. = ~1,3 . |
Тогда окончательно |
|
|
6«
аа? т т1„ * (б - 1,3 • 3,1 == 11
С |
m^n * 12 бамв Л |
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
i Т 3 |
|
- |
|
|
|
|
|
13.220. |
Применяем теорему Муавра-Лаплаоа в виде |
|
|||||||||||||
|
р п, гп, 4 |
па 4 п">2 |
~ |
Ф I Ч / |
|
— |
ф (1 |) . |
|
|||||||
гп Г t |
|
|
|
|
|
|
Ф |
( Е . ) |
т , - я? |
|
|||||
ч ь ч ) - |
i |
f |
w |
|
|
|
Ynfjq' |
|
|||||||
В задаче |
|
п |
|
= 200, |
р = 0 , 0 2 |
|
, |
Ц, |
= 0,98, |
т г = 200, |
|||||
т , |
= 8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к |
_ |
|
230 ~ < ... |
|
= |
<95 |
|
L |
|
Ш |
_ |
П а п |
|
||
Ч |
~ |
V гоо - о,аг-о,з5‘ |
|
v ^ IF |
|
|
f,§s |
|
|
|
|||||
\ |
|
..1— |
|
=. - |
Л |
- |
- |
fi go |
|
|
|
|
|
||
t , - |
у a ,W ^ |
• |
Ш |
|
|
£ ,* й |
|
|
|||||||
ф ( У |
= |
ф |
( з м ) |
*a,5 |
; |
' |
ф ( ^ ) * ф ( | , е г ) * а , а з . |
||||||||
Искомая вероятность равна |
0,42 |
|
|
|
|
|
|||||||||
13.221. |
Задача сводится к-схеме Бернулли,причем |
р = 0 , 8 , |
|||||||||||||
О |
= 120, |
|
62 4 m 4 |
|
86, |
и |
|
нужно найти Р)Ми 6 m4 fie . |
|||||||
Применяем теорему Муавра-Лаштаса |
|
|
|
|
|
||||||||||
Рп,ш, * tn i m, s Ф |
|
|
|
|
} |
■ |
|
|
|||||||
t . - |
mi - |
np. |
|
> |
|
f |
* |
|
,mj - |
np |
|
||||
V |
rrpq. |
' |
|
|
|
• I |
npq, 1 |
|
|||||||
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И |
62 - |
120 • 0,1 |
|
|
-34 |
|
|
- |
J 1 - . |
|
||||
|
VTzoa,8'0,2 |
|
|
|
|
|
|
|
4,582, |
|
|||||
V |
|
|
|
-to |
|
|
|
|
|||||||
|
83 - |
120,- 0,8 |
|
|
|
|
|
2,335 |
|
||||||
|
Vi20 |
0,8 0,2 |
' |
|
J , Ш |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
- И Т |
- |
Искомая вероятность равна
ф [ - 2,335 ) - ф ( - U ) = ~ 0/48 +0,5 = 0,01 .
13.222. Применим теорему Лапласов форме
Неравенство |
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ГГ>—ор |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У я Щ * |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
равносильно следующему |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
пр - |
6 V npft |
п < |
т |
< пр + 6 |
Т/пря' |
|
|
|
||||
В нашем случае |
2 ф ( б ) “ 0,428 .Отсюда |
£ « |
0,565 |
.Поэтому |
|
|||||||
пр - £ |
УпрЯ7 ■ 40 0,378 - |
0,511 У40-8,375-fl,§25’ = i4,23 . |
|
|||||||||
ftp+ £Vftpq,'* 4М2 |
|
|
|
|
|
|
’ |
3 |
||||
Значит |
14^ 28 < m <(8,72 |
.Итак, |
с вероятностью |
|
0,423 |
можно |
||||||
утверждать,что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
14 |
*.171 <17 |
|
|
|
|
|
|
||
13.223. |
По услоыю задачи |
р |
= 0,1 ; |
|
Я = в-9 |
Л = 12Q |
||||||
|
|
|
||||||||||
УпрЯ |
= |
5,28 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
1,2 |
|
|
«ад |
32,6 |
|
|
||
|
|
|
|
|
3,29 |
|
|
|||||
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф (» , г ) = о , и $ . |
|
Ч' |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. J U |
- а |
в 4 - м |
|
|
Jb |
3,29 |
5,5 |
|
|
|||
.3,29 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
i7m |
|
|
|
|
|
|
|
P | m 4 30 J =» 0 ,5 > ф ( } , в ) = 0 , У Ш |
|
|
|
|||||||||||||
^ |
= |
3,29 |
= |
2'^ |
|
j 5 * |
|
5*29 |
= M |
|
|
|||||
p { 2Q 4 m 4 401 |
* 0,5 —ф (2,1) |
» |
0,0032 . |
|
|
|||||||||||
13,224. По условию задачи |
p = |
0,4 |
• |
|
= 0,6 |
* |
П = 30 • |
|||||||||
a = |
|
10 |
; |
S |
= |
fS |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем |
<L |
и |
J b . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
a~np |
|
|
|
-2 |
|
- 0 , 7 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
V rrpq, |
|
|
|
2,68 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
fc -np |
|
|
3 |
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
||
f o |
~ |
Vnpt), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pj l 0 |
4 m 4 « J |
* ф (», ») +ф (0,7) |
= |
|
|
|
|
|||||||||
= |
0,3645 + |
0,2580 |
«. 0,6223 . . |
|
|
|
|
|
||||||||
13.225. Обозначим |
|
p |
- |
вероятность |
появления |
события: |
||||||||||
p = |
0,7 |
; |
q |
= |
0,5 |
; |
Q = |
420 |
; |
ft = 460 |
; |
a = 800 |
||||
Из формул |
a |
= |
np t |
«АУпря ‘ |
|
И |
|
й = |
rip + p |
|
T/npif . |
|||||
найдем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
a - n p |
_ |
|
_ |
<40 |
|
|
|
|
|
|
|
||
/1 |
_ |
8-np |
|
_ |
_ |
= |
- |
7,7 |
|
|
|
|
||||
я |
~ |
i/npq; |
|
|
|
12,96 |
|
|
|
|
|
|
|
|||