книги из ГПНТБ / Ефимов, М. И. Элементы теории вероятностей в задачах (с решениями) рекомендовано Мин.образования
.pdf20 9
м (X) |
= |
С 0,5 |
+ |
( - С ) • 0,5 |
= |
О • |
д (X) |
* |
с *: 0,5 |
1- ( - с ) г 0/5 |
= |
Сг . |
|
<$ (X) |
- |
V ~ A ( х ) |
' = с . |
|
|
|
Таким образом |
М(х)=о , |
б(х)-С |
|
|
||||||||||
18.295. |
Пусть |
X, , |
Хг , Х5, X,, |
-'выигрыши стрелка в 1,2,3 и 4 |
||||||||||
выстрелах.Ооставим для них закон распределения |
|
|||||||||||||
X, 2 |
|
-1 |
|
х 4 г |
-I |
|
л |
л |
-1 |
x j 2 -1 |
||||
|
|
|
|
|||||||||||
р 0,6 |
0,4 |
|
Р |
0,4 |
|
С б |
|
Р |
с, 5 |
0,5 |
р (о,? |
0,5 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W { |
X,) |
= |
2 • 0,6 - |
1 0 / |
= |
0,3 |
|
М (Xj) - 2.• 0,5 —• • 0,5 - |
0,5 |
|||||
WffX») |
= Z-0,4-1 |
С,б = 0,2 |
|
М ( Х , ) « 2 - 0 , 1 - Г 0 , Э - |
1,1 |
|||||||||
’Пусть |
X = Х , + Х г + Х 5 + Х„ |
|
- вьшгрьп стрелка за четыре |
|||||||||||
'выстрела.По |
теореме |
сложения |
математических |
ошадапий |
|
|||||||||
|
|
=*0,8 |
♦ 0,5 |
+ 0 , 2 + |
1,1 |
- |
2 . 6 |
рубля . |
|
|||||
■£8.296. |
Пусть |
X |
- |
выигрыш игрока при одном в> стреле.Ряд |
||||||||||
'вероятностен |
X |
имеет |
|
вид |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
в X |
21 |
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р |
0,3 |
|
ОД |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
величина |
X |
НсалОдИТСЯ Ио ) JiOi.S’iH безС’Ж'-лкдпп ,ц'ры |
|
|||||||||||
Получим |
ii |
■Ь,5 + |
х - о д |
= |
0 |
|
|
|
|
|
||||
-210 -
Отсюда X = - 9 .Нужно платить но 9 ру.'дей за выстрел.
18.297. из условия задачи следует,что за 2 месяца вклад состав лял 5000 ; уб., 3 месяца - 5400 руб., I месяц - 7400 руб.Поэтому среднее значение вклада за б месяцев
|
|
.?-_±-Ё1_0 0 |
5 ♦ < - ^ 0 0 .... |
_ 5 б о о ру5 |
|
||||
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
± d . 25е. |
Величина |
X |
|
числа аварии |
является случайной |
величи |
|||
ной и может . ринтшатъ значения |
х^ |
; |
0 ,1 ,2 ,3 ,4 .Найдем |
вероят |
|||||
ности этих значений и запиые*.. таблицу |
|
|
|||||||
Xi |
0 |
Гм 2 |
3 |
|
|
|
|||
Pi |
120 |
|
24. |
! |
15 |
.0 |
|
|
|
170 |
|
170 |
! |
170 |
170 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
______ L
Составим пункцию распределения
р ( X < 0 ) - О
р ( х < 1 ) - р< = {f
p ( x < i ) - Р , . + Р * - # + й
Р ( х < 5 ) « Р. + Р4 1-Рв - Ш + Й - Т О
р ( * < 0 - Р . + + р* + Р - , - { й т а - тйг
Функция распределения F ( х ) |
зав .ется в виде: |
- 211
0 |
|
п р и |
|
|
|
X 4 |
0 |
|
|
|
|
|
Её график |
|
|
|
|||
12 |
п р и |
|
о < х |
4 |
1 |
|
|
|
F(x) |
|
|
|
|
|
|
||||
|
IT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
«ТО |
|
|
1 < х |
4 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 4 4 |
п р и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cF(*) = < |
( 5 9 |
п р и |
|
|
|
|
|
|
|
1- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 7 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
I |
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 6 9 |
п р и |
|
5 < Х ^ А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 7 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
п р и |
|
4 |
< |
Х |
|
|
|
|
|
|
! |
I |
|
• |
|
||
Ч |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
Ji___L. |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
Найдем математическое |
ожидание |
|
|
|
|
Рис. за. |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
||||
^ (Х) s Z l |
Xi Pt = |
|
' 170 + |
170 + ^ |
|
1 |
|
|
ц |
|
|||||||||
|
170 + |
^ ‘ 170 =" 3 5 |
4 |
||||||||||||||||
|
t»l |
|
|
|
|
|
|
|
|
Д (Х ) |
|
|
ач |
_ |
I |
..„ч* |
|||
Дисперсию определим по формуле |
* И ( х я) |
- |
( № |
) |
|
||||||||||||||
M;W * 4’ §5.+ /»*§о +9 |
Л |
j . ip,. _i_ |
— |
31 |
|
|
|
|
|||||||||||
170 |
т |
10 |
170 |
|
п |
|
|
|
|
|
|||||||||
А ( х ) = “ |
- Щ |
| |
|
= |
Ц |
Ц |
= |
o ,s5 * r |
6 . |
1 |
G |
K |
- |
W |
|
||||
18.299. Выполнение |
заводом плана - |
величина случайная,она при |
|||||||||||||||||
нимает |
значения: |
8 0 ,8 5 ,9 0 ,...,1 3 0 . |
Вероятности |
этих |
значений |
||||||||||||||
соответственно |
равны: |
304 |
|
|
, |
. . |
. , |
_JL3L . . . . . |
ДН~ . |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
304 ’ |
|
’ |
304 |
|
* 304 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— |
130 |
|
Xi |
80 |
85 |
|
90 |
|
95 |
100 |
105 |
НО |
115 |
|
120 |
125 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pi |
0,03 |
0,04 |
0 . |
|
0,1007 0,16 |
0,20 0,13 |
0,10 |
0,09 |
0,05 |
0,03 |
|||||||||
|
|
|
1. „ |
,J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
гФункцию распределения выполнения дневного клана заводом находим по этой таблице в виде сумм вероятностей тех значений случайной
- |
2 \ 2 |
- |
|
|
' |
' |
“ о |
величины .которые удовлетворяют условии Я < п |
для каздото |
||
значения х . |
С |
|
|
*
F fc W
в
Г |
0 |
при |
|
при |
|
||
. |
0 ,0 3 |
|
|
|
0 ,0 7 |
при |
|
|
0 ,1 4 |
при |
|
|
0 ,2 4 |
прй |
|
|
0 ,4 0 |
при |
|
|
0 ,6 0 |
При |
|
|
0 ,7 3 |
при |
|
|
0 ,6 3 |
при |
|
|
0 , £2 |
0 при |
|
0 , £7 |
при |
0 |
|
^ |
I |
при |
|
Построим*'график.
ео
65
•£0 £5
О о
105
до
"115
120
125
130
*4 CJ
<X £ 65
< |
х |
^ |
£0 |
i |
X |
4 |
£5 |
<* &100
<X 4 105
< К 4 н о
< |
х |
4 |
П 5 |
< |
х |
< |
120 |
< « V |
125 |
||
V |
|
V |
со м |
|
|
|
О |
< |
X |
|
|
213
М ( х ) = 80 |
0,09 + 55 |
0,04 |
|
+ 00 |
0,07 |
+ |
0L |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
+ |
105 •0,10 |
+ |
110 •0,15 + |
И 5 0,10 + |
120 0, 09 |
- |
|
|
|
|
|
|||||||||
v |
I S O • 0, 0 5 |
а |
105 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
М(Х*)* |
6*00-0,09 +7225*0,0* + S100 |
0,07+ 9025-0,1 |
+ |
|
|
|||||||||||||||
+ 104 0,16 + |
11025* 0,2 + 12 100 ■0,13 + 13225 -0,1 + 1**С0 |
О, oS + |
||||||||||||||||||
♦ |
ise*5 |
• 0,05 + 10900 ■0, 05 |
« |
11235 . |
|
|
|
. |
, |
|
|
|||||||||
|
Д ( х ) |
а М (Х *)- |
(МЛ)* |
- |
210 |
|
|
6 » V 2 l « |
|
|
|
|||||||||
|
18.300. |
Чтобы найти среднее |
значение |
числа |
проб |
при подгонко |
||||||||||||||
|
в 20 приборах,нужно найти |
среднее |
значение |
X |
|
чиста |
проб, |
|||||||||||||
|
необходимых для |
одного |
прибора |
и результат |
умножить |
на |
20, |
|||||||||||||
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X » |
i- 0,05 + 2 - 0 , 0 8 |
+ 3* 0 ,0 9 |
+ А |
• 0 ,1 + |
5 • 0,3 |
+ |
|||||||||||||
|
+ |
б *0,2 |
+ 7 * 0 ,1 2 |
+ |
8 * 0 , 0 6 |
« |
4 ,9 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Тогда |
|
5Г-20 |
в |
9S |
проб. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
18.301. Число лотерейных билетов,на которые выпадут выигрыши,
может быть: 0 , 1 , 2 , . . . , 5 0 . Так как рассматриваются независимые ■
испытаниям каждом из которых вероятность наступления события
постоянна,то по схеме Бернулли получим
М(х) = пр = 50*0,2 |
* 10 билетоЬ |
|
||||
18.302. Вероятность появления зеркального |
500 |
|||||
карпа • р = {д0дд = |
||||||
0,05.Среди*120 отловленных рыб |
зеркального карпа может быть: |
|||||
|
|
Ъ |
|
математическое- |
ожида |
|
О',1 ,2 ,...,1 2 0 .Имеем схему Бернулли.Тогда |
||||||
ние равно |
ор |
= 120.0,05 |
= б рыб зеркального карпа. |
|
||
18.303. Йусть |
X |
-число |
попаданий.Зга |
величина имеет |
бино |
|
миальное распределение вероятностей (схема Бернулли).Поэтому
М (х )= пр .в данной задаче n = g, р = 3 /4 .Значит
М (Х ) - 8 * f = б
-m -
18.304, Для определения среднего значения случайной величины составим таблицу распределения в зависимости от отдельных выиг рышей.
X 100 |
50 |
25 |
5 |
I |
р 2/500 4/500 8/500 20/500' 466/500
X = 100 0,004 + 60- 0, 004 +25 • О, 0»6 +
+ 5 0, 04 + 1 • о, ваг = 2, 3 3 2 .
Справедливая цена одного оилета должна составить 2 рубля 33 ко пейки.
18.305. |
Пусть случайная |
величина |
X |
- |
чувствительность те |
||||||||||
левизора. Относительная частота каждого значения случайной ве |
|||||||||||||||
личины |
X |
равна |
Pi |
= |
|
|
,где |
N |
- |
общее число обследо |
|||||
ванных телевизоров, |
пц |
- |
число телевизоров |
данной |
чувствитель |
||||||||||
ности.Величина |
Pi |
( ' i |
= 1,2 , . . . , 7 ) |
принимает значения |
|||||||||||
15 |
|
|
75 |
|
72 |
|
64 |
|
38 |
|
|
26 |
|
.0 . |
|
300' |
’ |
300 ’ |
300. |
’ 300 |
’ |
300 |
|
’ |
300 |
’ 300 |
|||||
Тогда |
|
М (х ) = |
200 • |
0,05 + |
з о о • о , 2 5 + 4 о о |
о,24 |
+ |
||||||||
+ |
5 0 0 - |
0,21 |
+ 6 0 0 |
0,13 |
+ 7 0 0 0 ,0 9 |
+ |
8 0 0 |
|
0 ,0 5 5 |
= |
|||||
= |
451 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Среднее |
квадратическое |
отклонение равно |
|
( 5% ■ V T . |
|||||||||||
Д , » M ( x ‘j - ( м х ) ‘
|
|
- Д18 |
- |
I |
|
|
|
|
|
№(X8) * 200 |
• 0,05 |
+ soo2- 0,25 |
+ 400*- 0, 24 + |
|
+ oOO"10,2? + 000®-0,13 ♦70O4vO/ OS |
+800*-0,035 = |
|||
Я 2000 + 28 |
50Q + |
з а 400 + 58§00 |
+ 4 6 8 00 + |
|
+ 44TQO *. 8H20 ft |
227420 |
|
|
|
|
Д Л = 22T4SO — 46* * « |
24019 |
||
|
|
€ x = iss |
|
|
18.306. Всего |
пакетов проверено |
1 0 0 . Поэтому,на основании статис |
||
тического определения вероятности,указанные в таблице значение
веса |
X |
|
принимаются с вероятностями |
0,1; 0,3? |
0,45; 0;1;и,05 |
||
Далее |
находим |
|
' |
|
|
||
М ( X ) * 4# Q1 * |
49,5 • 0,5 + 50 • 0,45 + 50,5-0,1 |
+ |
|||||
•f 54 |
■ 0,05 « |
4 9 , Sfi . |
|
|
|||
М (X/j |
= |
49* |
0,+ + 4 9 ,5 s-0,3+ 50* 0,45 |
+ 60,5*- 0,1 + |
|||
f 51*- 0,05 |
■* |
2485, 25 . |
|
|
|||
(Й'Х)* “ 2 4 3 5 ,0 2 2 5 . |
|
|
|||||
Д(Х) * |
|
|
|
« 0,2270 |
|
|
|
б (К) |
я |
У Д {$ “ |
0,4?<>«? . |
|
|
||
M ( x ) « 4 g , 3 S ; Д ( Х ) « 0,2275 ; б{х) « 0,477
|
|
|
2 I 6 |
|
|
© |
|
|
|
>w |
|
|
|
u |
«■. |
|
|
|
|
■a |
|
|
|
|
|
||
18.30?. |
Пусть XK - |
число очков |
на |
Ч |
-ой кости{ К - сум |
|
ма очков |
на всех |
костях.Тог.4,а X |
= |
к г + |
» ( t *• * t - x e . |
|
Рид вероятностей |
X к |
имеет вид |
|
|
|
|
CL
Отсюда
1 |
2 |
3 |
4 |
8 |
6 |
1 |
1 |
Т |
т |
т |
т |
е |
6 |
4 |
6 |
6 |
6 |
М (Х > - j- i + j - 2 + ••• 1- 6
По теореме сложения математических ожиданий
йа
М(Х) - 2 ^ М ( Хк) = |
, |
К = I |
» |
далее находим |
„ |
я |
|
<» А(х«) - M(x*)-(MX°/ =i-i +4-Т +
+ 9 - у |
+ Ш -£ + 25 i + 5 б | - 12,25 |
||
91 |
12,25 |
as |
|
б |
12 |
||
|
|||
По теореме сложения дисперсии ( Хк - независимое)
|
|
д ( х ) |
- т £ |
л |
|
|
I8.3Q8. Ряд |
вероятностей |
|
X |
имеет вид |
||
‘ |
X |
X, |
X» |
|
|
|
|
Р |
0,6 |
1-0,6 |
|
|
|
По условию |
М (х) = |
3,2.Значит |
|
|||
|
• х, -0,6 + аК. |
0,4 |
- |
3, 2 |
|
|
" |
° |
|
|
с |
|
|
Далее* Д (х) = М(х*)-(мх)* |
.Поэтому |
2.17
V 0,6 4- Xj - 0,4 - 10,24 = 2 ,1 6
Для определения *« и xi имеем систему уравнений
0,6 |
X, |
+ 0,4 X* = |
3,2 |
|
|
|
0 ,6 |
X* |
+ 0,4 X* = 12,4 |
|
|
|
|
Из этой системы |
lee можно решить,найдя |
X, или |
х г |
из |
||
первого уравнения и подставив во второе) |
получим |
х, |
= 2 , |
|||
X, = 5.Итак,ряд |
вероятностей имеет вид |
|
|
|
||
. |
X |
2 |
5 |
|
|
|
р0,6 0,4
18.309. Ряд |
вероятностей |
случпйной |
величины |
X- |
- суммы вы |
|||||||
павших очков |
- |
имеет |
вид |
|
|
|
|
|
|
|||
X |
г |
5 |
|
4 |
6 |
б |
7 |
8 |
9 |
10 И 12 |
||
р |
! |
2 |
|
58 |
за |
5 |
б |
5 |
55 |
3 |
2 |
1 |
36 |
58 |
|
55 |
55 |
36 |
S 3 |
5Я |
зУ |
||||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х * *’ Й + 8 - Я + ' - - + " 'Д г + 1Z fo * 7 |
. |
|||||||||||
|
|
О |
|
|
X |
- выигрыш |
А |
при каждом бросании дву* |
||||
18.310. Пусть |
|
|||||||||||
костей.составим |
ряд вероятностей |
X |
|
|
|
|||||||
X |
2 |
5 |
-1 |
-1 |
-1 ••• -1 |
Р* |
561" 36 |
|
Р* |
|
Рз •• Рк |
|
------- --------------------------- |
||||
Здесь р, |
+ р 1:^ . ~ р к |
« i - J L |
- i |
= | 2 |
|
|
|
|
Д О |
Д О |
5 0 |
Далее находим
2 1 а
MX - |
2-зв |
4 • 3<5 |
+ |
(-1 ) ( Pi + |
Pg-J----+ Р к ) |
» |
||
= JL , |
«. |
30 |
~ |
|
( |
|
|
|
зб т ss ~ за" |
~ т ' |
|
|
|
||||
Итак |
МX |
= - |
- j - |
.Игра для |
А |
невыгодна. |
|
|
18.i l l . |
Пусть |
|
X |
- |
выигрыш |
й |
.Тогда для |
X имеем |
ряд вероятностей |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
X |
а |
~ в |
|
|
|
|
|
|
Р |
|
Р |
Я |
|
|
|
Игра безобидная.Это значит,что М( % ) - 0.Поэтому
|
Qp |
- 6q, |
= о |
|
|
\ |
|
||
|
|
|
|
|
|||||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
(<-q,) — % |
« о |
|
|
а |
|
|||
"(а+ Ьj -t- а |
« |
а |
|
= |
а + & |
|
|||
Итак событие |
|
X = - |
6 |
разорение игрока |
й - |
имеет |
|||
вероятность |
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
Я ~ |
Q + S |
|
|
|
|
|
||
18.312. Пусть |
X |
- окружность груди.Тогда, согласно |
данных |
||||||
задачи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М ( х ) * |
i& |
90 + § 0 ■ 9 2 + ^ |
•96 + ^ |
•9 1 |
+ |
|
|||
+ $а‘91 |
+ |
i |
l1 0 0 |
+h>' 101 |
“ 97 |
с м . |
|
||