книги из ГПНТБ / Ефимов, М. И. Элементы теории вероятностей в задачах (с решениями) рекомендовано Мин.образования
.pdf139
Поэтому |
|
|
|
|
|
р(А) “ 0,42-е,й-0,46 + 6 |
, 1 |
8 ММ,46+ в,530,52 0,54 =0,39. |
|||
7.126. Событие |
А |
- |
попадание в цель может произойти при |
||
следующих гипотезах* |
|
|
|
||
Й^ - бомбометание с |
высоты й , |
, |
|||
й , - бомбометание с |
высоты |
, |
|||
Hg - бомбометание с высоты |
|
||||
Вероятности этих гипотез равны: |
|
||||
р{Н4) * |
о#** |
р {Н5} = Q,fi5 . |
p(HJ = 0,32 , |
||
р(н4) в |
; |
|
|||
Условные вероятности равны |
|
|
|||
РЩ |
* 3,55 |
; р (А/на)* QJS ;р(А/«,)* 0,4*; |
|||
Р (АЛц) * fliM |
; |
|
|
. |
|
Еокомув вероятность найдем по формуле полной вероятности
4- 0,5 • ОД + 0,32 *0,42 + 9,11 * 0,25 4* M J - j y f - 0,43 .
7.127* |
Событие |
А |
- сброшенная бомба попадет в цель - |
может |
произойти |
при следующих гипотезах: |
|
М| - посылается отличный экипаж,
Hs - Посылается хорошо подготовленный экипаж,
И, - посылается удовлетворительно подготовленный экипаж.
- |4в
р(Н ,Н ,2 |
p(Ht)« 0,э |
; |
р/Н,) «9,S |
|||
Условные вероятности равны: |
|
|
|
|
||
Р (А/н.) ' 0,6 ; р(А/„.) - 0/ ; |
р (А/иа) |
0,3 |
||||
По формуле полной вероятности найдем |
|
|
|
|||
Р IА) |
« 0,2'0,0 i fl,3 • 6,4 |
+ 0,5 • 0,3 » |
в,39 |
|
||
7,128. |
Пусть событие |
А |
состоит, |
в том,что взятая книга |
||
есть книга по математике.Обозначим |
н , |
, н , |
. н , , и , - |
|||
события,состоящие в том,что книга берется соответственно на
первой, второй, третьей или четвертой полкахЛак как всего
книг |
& * 20+ 24 + 50 + |
|
то |
|
... |
» |
^ |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
23= 10?, |
|
|
р, (, И,) |
|
|
» |
i. |
|
|
Р(«.) - |
£ |
> Р W |
- и |
|
|
р(н*) = § |
■ |
|
|
||||||
Условные вероятности равны |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
V |
М |
; |
Р (А/нг)= |
0 , 7 1 |
; |
р ( а/ й,)= 0 ,4 |
; |
рM J - R I |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По сЬрмуле полной вероятности |
получим |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р ( А ) * 2 |
р ( Н1) р ( У н1 ) = |
f |
|
0 , 6 * § -0,75 + |
|
|
|||||||||
|
|
l= I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ i f ' |
|
+ | г Л * |
= |
О*63 |
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
7.129. |
Пусть гипотезы |
Й, , |
й | |
» |
Mj |
состоят |
в том,что бом |
||||||||
бометание совершается соответственно с высот |
fl{ , i>,, j\s .Обо |
||||||||||||||
значим |
|
А |
- событие,состоящее |
в попадании |
в цель.По усло- |
||||||||||
вго задачи |
|
|
|
» р ( н ; ) * в , * в |
I |
р ( и s} a |
o,i5 . |
||||||||
Условные вероятности ра^ны: |
p(A/g ) |
= 1,1 |
} |
p ^ /р |
J |
={j 2, * |
|||||||||
Г Г А/н, |
- Q - . |
.Вероятность |
попадания одной бомбы |
|
|
||||||||||
- 0,6 |
0J |
+ 0,25 |
0 , 2 |
4- 0,1Г0,3 |
- |
0,155 . |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
- Hi |
|
|
|
|
|
' С* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вероятность |
попадания всех*четырех бомб равна |
О |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[j}(A)]4= 0,Ш* = 0,00096 |
|
|
|
||||||||
7.130. Введем гипотезы: |
|
Й, |
- |
самолет произведет бомбоме |
|||||||
тание о высоты |
f l ,; Н8 |
и |
Hj |
- |
соответственно |
с высот |
и |
||||
4lj «По условию |
р(Н |) |
= |
р (Hj) |
= р (Н , ) = |
.Пусть |
А „ - |
|||||
попадание бомбы в цель.По формуле полной вероятности |
|
||||||||||
р{А)* р{Н,)р{А/й<}+р(й*}р(Уц|}+ р($$)р(¥й8] |
|||||||||||
Находим по теореме умножения: |
|
|
|
|
|
||||||
р ( ¥й.) |
|
|
|
|
|
|
|
* |
м и |
|
|
H Y H iI ■ { < - « , » * ) • М = |
|
|
|
||||||||
pfflu) |
* {* - |
8* BS)- ,SS |
а |
о, ОШ |
|
|
|||||
Подставив в формулу,ползаем |
|
|
|
|
|
||||||
р ( А } « |
0,518 |
-Ь -|” а , Ш - Ь - 1 - 8,0855 * |
0,1961 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
. |
7.131. Вероятность выбрать какое-либо ружье равна |
|||||||||||
Пусть |
А |
-событие,состоящее в попадании в цель при од |
|||||||||
ном выстреле.Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
||||
р{А)«|С 0,524-S,^+6,*1 + 0,34+0,18 |
= 0,75 |
|
|||||||||
7.132. |
Пусть событие |
А |
- |
извлеченный шар белого цвета. |
|||||||
А |
может произойти |
совместно с одной из гипотез: |
|
||||||||
й9 - в урне |
|
0 ^ шаров белых |
р ( И . К - s i r |
|
|||||||
Н, - в урне I |
шар белы? |
|
|
р (]},) = |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л |
|
|
Й „ - в у р н е |
|
ft |
шаров белых |
р С ^ п ) * ; ^ |
|
||||||
142
Далее находим условные вероятности
|
с |
• |
|
|
|
? ( А/ и , ) - ~ |
» |
К = |
0 |
, |
Г . |
По формуле полной вероятности
р(а)= 2 p (w* W a/h*)- -т(“T+l-f
к=а
<t а 4-...+п ^ |
п ( *п О |
n (fH-i) in (n*( У ** 2
|
§8 |
формулы Б айеса. |
* |
0 |
|
|
|
<1 |
|
|
|
8.133. |
Обозначим |
н, , |
н , " события,состоящие |
в выборе 1 -ой |
|
и 2-ой урн соответственно |
р ( Н , ) = Р ( Н г) |
=» -|- |
.Пусть собы |
||
тие |
А состоит в том', что вынимается красный шар.Вероятность |
||||
вынуть красный шар при условии,что выбрана I -ая урна. |
|||||
? |
{А/ н .) * J |
.Аналогично, р ( A / f j J |
^ ~ |
- ~ |
|
По формуле Байеса поучим |
|
|
|
||
!>{н>Ь(А/и,)_____
р ( н , ) р |
|
|
|
0,2S |
» |
Ё |
» 1 . |
0,25 + 0 ,1 |
" |
73 |
3 |
О|
8.134. Пусть |
А о |
- |
событие,состоящее в Обнаружении пробо |
ины.Обозначим |
Н |
, |
Hi 0 события„состоящие в попадании пер- |
вого”и гторого |
стрел ов соответственяоТбгда P ( V M . ) - 0 , T ; |
||
н §
р(А/ н * Ь°/5 ; р(Н,) - 1-0,1 * од .
(второй стрелок не попал в цель,а обнаружена одна пробоина).
р(н2} ~ |
1- о д |
- а , з |
|
(первый стрелок не попал в цель, |
|
|||||
одна пробоина обнаружена). |
|
|
|
|||||||
По формуле Байеса |
|
|
|
|
|
|
||||
Р |
|
О |
“ |
0,5*ОД + 0,5-8,6 |
“ 8,7 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8.135. Вводим следующие события: |
И, - |
самовар изготовлен |
|
|||||||
первым заводом, |
Hg - |
саМовар изготовлен вторым заводом , |
|
|||||||
А |
- |
самовар стандартный.По условию р (И,) * 0,в , p(Hg)*G,4, |
||||||||
Р (А/н,) *°«75» Р(У«|) * |
.Для подсчета условной вероятно- \ |
|||||||||
сти p(Ht |
используем формулу Байеса |
|
|
|||||||
[fj |
/ |
) |
|
|
р ( 8г) Р ( У н * ) |
|
^ |
|
||
Н ’А ' = ИЙ.)р ( % , ) ^ ( Н . ! р (У н.) “ |
|
|||||||||
(^6 0,95+6,4 0,75 |
|
|
|
|
|
|
||||
8.136. Пусть событие |
|
А |
- данный человек страдает дальто |
|
||||||
низмом. |
|
- данный челд%- (.уячина, |
hg - данный человек- |
|||||||
женщина.По условию |
Р |
|
p(Hj)s S,S> |
* РiVtif} = |
» |
|||||
Р l AA |
j ) = ®,ва25 *По * |
* |
* * |
* Байеса |
|
|
|
|||
( и / |
Y |
|
|
р ( Й ,} р |
|
|
- |
|
||
Р'Г*'Я р(Н,}р(А/н } + р й ) Р ( Л/иг!
_ o.gg _ i i = А§№ •
8,05 +0,0025 |
** |
8.137. Вводим следующие события
А- лампа качественная;
Н, - дампа изготовлена на первом i 1воде;
Н, - лампа изготоплена на втором заводе.
По условию задачи |
р ( И,) |
=0,8 , |
р(Н*) |
= АД |
, м(АД )= |
В,в! |
|||||
р (А/нг) |
= 0.^5 |
.Нужно найти условную вероятность |
|
• |
|||||||
Для этого используем формулу Байеса |
|
|
|
|
|
||||||
„ ( |
i u |
) = ........... j |
! M |
p O & i ) ____________ |
|
|
|||||
14 |
/А / |
Р(«, ) Р( А/ н , ) + Р ( « г ) Р ( А / „ , ) |
|
|
|
|
|||||
|
____0 2 |
0,7? |
а__ |
1ГО |
|
|
|
|
Й |
|
|
|
- |
U,Ut |
“ |
|
|
|
|||||
|
0,8-0,91 Б 0,2-0,75 |
878 |
|
|
|
||||||
о> |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8.138. |
Пусть |
А |
- годная деталь |
ошибочно |
забракована . |
||||||
Н, - деталь проверял первый контролер, |
Нг |
- |
деталь |
про |
|||||||
верял второй контролер.Надо найти |
р ( " '/ а ) |
.Используем |
|||||||||
формулу Байеса; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
_____ Р(Н| ) > ( А/ н , )___________ |
|
|
|
|||||
|
|
|
р ( Н, ) р ( А/ н , ) + Р ( Н г ) р ( У н г) |
|
|
|
|||||
|
0,75 |
0,75-0,2 |
_ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,2-1-0,25-0,3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|||
8.139. Введен^ события:
Апродукция признана стандартной по’ схеме упрощенного контрол'. ;
й, . продукция стандартная;
Нг - продукция цео^ндартная.
Нужно найти |
P C . / * ) |
.ПЬ формуле Байеса |
|
|
|||||
( м'/а ) |
р Ш |
р ( а / н Л |
|
|
|
|
|||
И ^ ) р ( А/ н , ) + Н Н а) р ( А / н г ) |
|
|
|||||||
|
|
|
|
||||||
_ |
U U M ____ . |
Ш 1 . |
о |
' |
мм |
|
|
||
9,910,95 + 0,05-6,05 |
0,Ш0 |
|
|
|
|
||||
8.140, |
Цуоть |
событие |
Н, |
состоит в том,что |
автомобиль |
||||
собран из высококачественных деталей, Ма - |
из |
деталей обыч |
|||||||
ного качества.Тогда р ( Н , )= |
0#35 ; |
р (Н ,) |
=0,65 .Обозначим |
||||||
А_ событие,состоящее в том,что автомобиль работал без
отказно . p ( V k , ) - 0,9 i р ( V h2) = 0,75 .По формуле Байеса
р(н*/д)_____ g M P lVtO________Ш |
1М |
г0,397 |
р ( я *)р (А/н ,)+ Р (Н ,)р (А/н,) 0,35 |
0,9 +0,65• 0,Т5 |
|
8 .I4 I. Обозначим Н, , Hj , Hs события, состоящие в том,что |
||
осколок принадлежит к крупным,средним,мелким соответственно.
Тогда
р ( Н . ) .0,(2 ; |
р(Н,)-0,36 ; |
р ( Н |
,) = 0,52 . |
|
Пусть событие |
А |
состоит в том,что броня |
пробита |
|
Р (А/ Н .) * 0,85 |
; |
р (А/„г) * 0,35 ; |
р (A/flj) *0,06 . |
|
По формулам Байеса найдем
_______ В,Ц- 0,85__________ _
0,12-0,85 + 0,56-0,35 + 0,52 ’0,0b
а < Й Ш - - М 9 3 5 .
|
- 146 |
|
|
0,86 |
0,35 |
0,4861 |
|
0,2592 |
|||
|
|||
0,52 • 0,06 |
« 0,4204 |
||
0,2592 |
|||
|
|||
8.142. Пусть А |
- событие,состоящее в том,что анализ дал |
||
один положительный результат и два отрицательных.Введем гипо тезы:
Н, |
- “имеет место первое заболевание; |
|
|||
Н| |
- |
имеет место |
второе |
заболевание; |
|
Hj |
- |
имеет место |
третье |
заболевание. |
е |
По условии р ( Н , ) = |
0,6 , |
p ( H t ) = 0 , 0 6 . ^ ( Н , ) =0,34 . |
|||
|
|
|
|
а |
|
•Далее находим условные вероятности (по теореме умножения):
Р (У н ,} = 8 - V * 1- ОД» = 3 '
с,
Р(А/Н,) = 3 0,«б10Л4 = 5•0.Ш0
Н % ) = 3- О, И* 0,16 = 3 0 J1 2 9
Далее применяем формулы Байеса
р (и./А) - ... .А1Н5У________
z ; p ( M p ( a/h . )
К » 1 |
О |
0,6 0 , 0 3 7 8 |
( |
0,6 0 , 0 3 Т 8 + 0 ^ 6 0 , 0 5 0 0 |
+ 0 , 3 4 0,4129 . |
а,02У.7
0,35^
\ 0 6 4 1
- 147 -
*
Вероятности первого, второго и третьего заболеваний после дополнительных анализов соответственно равны
О,Ж ; |
М 4Г 1 |
|
М 99 |
• |
||
8.14з«Пусть событие |
А |
состоит в |
том,что принят сигнал |
|||
"точка"; событие |
& |
- |
принят сигнал "тире".Возможны гипо |
|||
тезы: |
|
|
|
|
|
|
Н, - передан сигнал |
"точка", |
Н} - |
передан сигнал "тире". |
|||
По условию задачи |
p ( K< ) B j |
i |
Р ( |
’ |
||
Вероятности событий |
А |
и |
^ находим по формуле полной |
вероятности: р(А) = у у |
+ Т ’У с ^ |
||
И 8) a,T 'f + l" T |
= °'5 |
||
Искомые вероятности найдем по формулам Байеса |
|||
•> р ( Н , / д } . |
|
|
- Щ |
|
|
- H I |
- |
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 9 . |
Геометрическое |
определение вероятности. |
|
||||||
9.144. |
Обозначим радиус |
круга |
* |
.сторону |
квадрата |
fi . |
|||
|
|
|
Тогда |
S sip = Tlft |
, |
||||
|
|
|
S «6 = а . 4 = $ k l |
с . ^ |
|||||
|
|
|
Искомая |
вероятность равна |
|||||
|
|
|
отношению площадей |
|
|||||
|
|
|
_ |
Ы |
ssx |
£ |
|
||
|
|
|
Я |
'I |
кр |
1- |
|
||
|
|
|
|
й |
|
|
|
||
9.145. Считаем,что площадь палубы совпадает с площадью кораб'
ля.Тогда площадь палубы будет равйа площади эллипса с полуося
ми Q |
= 10 0, |
fi - |
10 , |
§ э д = ТГаЕ |
= ТГ* ЮОб .четыре |
||
.круглые |
|
|
° |
|
^ |
/ 4 5 |
4**l£/46 Т;' |
башни имеют площадь“ |
} ‘ |
||||||
Поэтому, |
|
|
|
|
|
|
|
|
Р * |
iO-GO |
QyОi 8§ |
- |
MS*/* |
|
|
9.146. |
Искомая вероятность |
равна |
отношению площадей.Опасная |
||||
зона имеет площадь .равную площади эллипса с полуосями 9СГы и
20м.Поэтому -
ТГ90 -20 |
|
,в 1£ |
200000 |
|
|
|
|
|
9.147. На линии}длиной |
d |
..разрыв равновсзмо.^н в |
любой точке.Условию задачи благоприятствует точки,удаленные от
М |
'брлее.чем riti |
ft |
,т.е. следует взять |
отрезок длины |
|||||
„ л « |
,пв |
» |
" . |
- |
n |
— |
KN |
или |
|
О. Г « |
. ГОх'Дй ИСКиМ&Я *ирОлТНОСТЬ |
Р |
(5f|5 |
||||||
|
|
н |
|
|
р |
« |
л |
- Л |
|
|
|
Л* |
|
|
“ |
|
|
а |
|