2683

Перепишем равенство (4) в виде

Равенство (5) для разных значений Ti и соответствующих

m возможно в том случае, если m /T =const, т.е.

Теперь покажем, что энергетическая светимость R T4 .

Излучательная способность a.ч.т. r( ,T)= ( ,T)= c u( ,T).

4

Мощность излучения единицей поверхности тела по всему спектру частот (энергетическая светимость) равна

Подынтегральное выражение явно не зависит от T, а интеграл в (7) имеет конечное значение. Поэтому можно сделать вывод что R T4 .

6.229. Имеется система трех параллельных друг другу аб-

солютно черных плоскостей. Надо найти температуру Tx в

двух случаях:

а) внешних плоскостей, если внутреннюю плоскость поддерживать при температуре T.

201

Каждая поверхность имеет две стороны. Пусть площадь поверхности пластины с одной стороны есть S. Тепловое излучение между пластинами является равновесным.

Вне пластин пространство пустое. Направление излучений показаны на рис.1. По закону сохранения энергии для од-

ной из крайних пластин можем написать T4S Tx4 2S Отсю-

да находим Tx T /42 .

б) внутренней плоскости, если внешние плоскости поддерживаются при температурах T и 2T (см. рис.2). На среднюю пластину с двух сторон падает излучение мощностью

T4 (2T)4 S , а излучает мощность в обе стороны Tx4 2S .

В состоянии равновесия T4 (2T)4 2Tx4 . Отсюда имеем

Tx 417/2T .

6.230. По правилу смещения Вина напишем: m1 b/T1 ,

Постоянная смещения Вина b=0,29 см К.

202

6.231. Здесь не требуется каких-либо размышлений, достаточно воспользоваться законом Стефана-Больцмана и прави-

(M0 - M(t))/ M0 =1%, где M- масса Солнца в произвольный мо-

мент времени. Солнце принимается за тело, близкое к абсолютно черному.

Потерю массы Солнца будем связывать только с теп-

Теперь о времени потери Солнцем массы на 1%. По-

скольку рассматривается малый процент убыли массы Солнца, воспользуемся линейным приближением:

203

интегральная плотность энергии равновесного теплового излу-

где R – газовая постоянная. Для полностью ионизированной водородной плазмы M=1 г/моль. Подстановка табличных вели-

чин дает T 1,25 107 K .

6.234. Медный шарик помещен в такие условия, что он только испускает тепловые лучи, падающего на него излучения нет. Излученная энергия всей поверхностью шарика за время dt равна RЭSdt T4 d2dt . Приращение количества те-

204

пла шариком за то же время равно Q cmdT . Убыль внут-

ренней энергии равна излученной энергии, поэтому

T4 d2dt cmdT.

Получили уравнение

Подставляя исходные и табличные данные в формулу (3), найдем что t=3ч .

6.235. Введем обозначения геометрических величин: R – радиус Солнца, r – радиус Земли, L – среднее расстояние между центрами Земли и Солнца. Земля и Солнце рассматриваются как черные тела. Земля поглощает солнечную радиацию и одновременно излучает в мировое пространство, температуру которого сочтем равной нулю. Пусть температура поверхности Солнца Т0, Земли – Т. Мощность излучения Солнца в единицу телесного угла равна

T04 4 R2 /4 T04 R2 .

Поток теплового излучения в сторону Земли определяет-

ся телесным углом , под которым виден из центра Солнца тело Земли, при этом r2 / L2 .

205

Поток тепловых лучей, падающих на полусферу Земли, обращенную к Солнцу, равен

Ф1 T04R2 T04r2R2 / L2 (Вт/с).

При этом Земля испускает поток энергии

Ф2 T4 4 r2 .

В состоянии теплового равновесия Ф1 Ф2 . В результате получаем:

Необходимые величины известны:

T0= 5500 К, R=6,95 108 м, L=149,5 106 км, следовательно,

средняя температура на поверхности Земли T 266 К.

6.236. Согласно рисунку 6.5 сборника, отверстия в оболочках 1 и 2 расположены на одной нормали к их поверхностям. Абсолютная отражательная способность внешних поверхностей оболочек позволяет рассматривать «взаимодействие» только открытых частей. По условию, отверстия в полос-

Полный поток энергии, исходящий от элемента S1 (через отверстие полости 1) равен:

Ф0 S1 cos d S1 cos sin d d

2 2

S1 d cos sin d S1 .

0 0

206

Элементарный поток энергии в телесный угол d равен:

dФ Jd Ф0 cos d .

Теперь вычислим телесный угол, под которым видно из элемента S1 (практически точечного) отверстие S2 полости 2 (см. рис.):

d /2

d

2 O1

r

С учетом последних: dФ Ф0 sin cos d d .

Поток энергии, падающий на отверстие 2:

где 1 – полярный угол, образуемый направлением на край отверстия 2.

207

где d –диаметр отверстия.

Далее перейдем к энергетическим светимостям:

Ф T4 S2 , Ф0 T14 S1 ;

T4 S2 = T14 S1 d 2 .2

Сокращая на и учитывая, что S1= S2, получим:

6.237. Внутренняя энергия равновесного теплового излучения в объеме V при температуре Т равна:

где u - плотность лучистой энергии, с - скорость света. Общая теплоемкость излучения в полости при V=const:

Далее применим к равновесному излучению известное уравнение термодинамики:

6.238. Из уравнения первого и второго начал термодинамики для адиабатического равновесного процесса имеем

dU pdV 0.

(1)

Для теплового излучения:

6.239. Пусть N есть число квантов равновесного излуче-

ния с энергией =ħ в единице объема полости, а N0- полное число квантов в единице объема с всевозможными значениями энергии (частотами от min до бесконечности). Для заданных значений температуры T и объема V число N0 является определенной величиной. Вероятность того, что в единице объема имеется N квантов с энергией h равна

P N( )/ N0 .

Число N( ) определим отношением u( ,T)/ , т.е.

209

N( ) A 3e /T / A 2e /T .

Вероятную длину волны излучения определим через соотношение u( ,T)d u( ,T)d :

(здесь знак минус отброшен).

Из условия dU( ,T)/d =0 найдем:

Для заданных и T b 1,44 мкм.

6.240. Приведем формулу Планка для спектральной плотности теплового излучения

Рассмотрим два случая, когда kT (a) kT (б). а) При kT e /kT 1 /kT и

210