Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2683

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

2.05 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 3410 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Потенциальная энергия частицы Ep

fh gVh ,

где h - высота от некоторого уровня отсчёта. Распределение

частиц по энергии E

имеет вид n n

exp(

gVh

) , где n -

постоянная. На уровнях h1 и h2 , будем иметь:

n n

exp(

gVh1

) и n

exp(

gVh2

), h

h .

По условию n1 / n2

при h2

h1 h. Тогда

hV(h h )

hV h

exp

Отсюда получим:

g hV

g h d3

T ln

6T ln

По данным задачи постоянная Больцмана

(0,4 10 6 )3

0,2 103 10 42 10 6

1,4 10 23 Дж / K .

6 290 ln2

6.117. Величины, относящиеся к водороду, содержащемуся в атмосфере Земли, проиндексируем единицей, к атмосферному азоту - двойкой.

По энергетическому распределению молекул газа в по-

ле тяжести Земли напишем: n	n			m1gh	, n		n			m2gh	. Для
		01	e kT			2		02	e kT
1

h 0,

n1(0)/n2(0) n01 /n02

На

высоте

n1 (h) /

n2 (h) (n01

/ n02

(m 2 m1 ) gh

, 0e

(m2 m1)gh

. Отсю-

да получаем:

exp

(m2

m1)gh

, или

exp

(M2

M1)gh

Здесь M1 и M2 - молекулярные массы H2 и N2 .

6.118. Для компонент смеси газов напишем распределения их молекул в поле тяжести Земли:

m gh

;

exp

n1 n01 exp (m2 m1)gh/ kT .

n2 n02

На некоторой высоте h, по условию, n1 n2 . Тогда

n02 exp (m2 m1)gh/kT .

n01

Отсюда получаем:

ln(n02 /n01) (m2 m1)gh/kT ,

hkT ln(n02 /n01)/(m2 m1)g .

Вобозначениях задачи n1 n01 , n2 n02 .

6.119. Будем полагать, что сосуд открыт сверху и углекислый газ занимает некоторую часть. Давление на дно воображаемого сосуда определяется весом газа в объеме цилиндра с основанием единичной площади. При нагревании газа, ограниченного с боков стенками сосуда, увеличится высота столба газа, однако его вес остается прежним. Поэтому можно заключить, что при нагреве газа его давление на дно сосуда не изменится.

6.120. Воспользуемся выражением, определяющим дав-

ление газа на высоте h:

		mgh		mgh
p p					,
	e kT		n kTe kT
0			0

где p0 и n0 - давление и концентрация молекул газа на нуле-

вой высоте (h 0).

При другой температуре T1 T давление

mgh

p n01k Te kT .

Давление газа у основания независимо от температуры

одно и то же. Поэтому можно написать:

n0kT n01k T ,

т.е.

n0 n01. На некоторой высоте h

по условию концентрации

молекул газа при температурах T

и T

равны и, следователь-

но,

mgh

, т.е. n

n e kT

/e kT .

Получаем:

mgh

exp

mgh 1

kT ln

RT ln

, или h

mg( 1)

Mg( 1)

6.121. Потенциальная энергия молекулы в поле тяжести Земли на высоте h равна Ep mgh, где m - масса молекулы.

Потенциальная энергия молекул в объеме элементарного цилиндра высотой dh и основанием единичной площади на вы-

соте h				mgh
	равна dU mgh ndh mghn0e			kT dh. Потенциальная
	равна dU mgh ndh mghn0e			kT dh. Потенциальная
энергия	всего	столба	газа	(S 1м2 )	равна

mgh

U mgn0 0 he	kT dh n0kT /mg . Для среднего			значения по-
тенциальной	энергии	молекулы	газа	получаем:
		93

Ep U / N kT . Из полученного результата видно, что ве-

личина Ep не зависит от природы газа и определяется

только его температурой. Следовательно, средняя потенциальная энергия молекул не зависит от состава газа:

Ep cikT kT ci kT , где ci 1.

6.122. Пусть у заднего торца трубки, движущейся с ус-

корением a, концентрация молекул газа равна n0 , тогда кон-

центрация молекул у переднего торца будет равна n n e

kT .

1, следовательно, e

По условию

1. Получаем:

ma /kT ln(1 ) a

ln(1 ), или a

ln(1 ).

По-

скольку 1, ускорение

. Для аргона

M 40 10 3кг / моль. Для T 300K , 100см и 0,01 ус-

корение трубки a 700м/с2 70g .

6.123. Взвесь коллоидных частиц в некоторой жидкости, помещенная в центрифугу, вовлекается во вращательное движение с угловой скоростью центрифуги.

На частицу во вращающейся системе координат действует центробежная и выталкивающая силы, результирующая которых равна

f (p p0 ) 2r	M	p p0	M	2r.	(1)
	NA
		p	NA
94

Здесь 2r - осестремительное ускорение, NA - постоянная Авогадро, M / NA - объем отдельной частицы. Далее вос-

пользуемся соотношением между силой и потенциальной энергией частицы в поле сил

(2)

Отсюда получим:

(p p )M

2 xdx

2r2.

(3)

0NA

2 0NA

Согласно распределению частиц по энергии

(распределе-

нию Больцмана) можем написать:

Ep1

Ep2

const e

и n const e kT .

По условию n2 /n1 , тогда

e(Ep1 Ep2)/kT .

(4)

Получаем E

kT ln

(p p0 )M

2(r2 r2 ) kT ln

2pNA

2 (kNA)T ln

2 RT ln

(5)

2 (

)(r2

r2)

2 (

)(r2

r2 )

Итак, молярная масса коллоида

2 RT ln

M 2( 0 )(r22 r12 ) .

6.124. На молекулу газа в данной вращающейся системе

действует	центробежная сила инерции f m 2r , где
m M / NA	- масса молекулы.

ar2

Потенциальная энергия молекулы в поле центробежных

сил равна Ep	0	f ( )d m 2 0	d m		2	r	2	. Далее
	r	r
				2

воспользуемся распределением Больцмана: концентрация мо-

лекул

n const e

Отсюда

имеем:

const exp

2kT

n n(r 0)

const,

n(r 1) const exp

. По ус-

2kT

ловию n

. Получаем: exp

2kT

2kT ln

2RT ln

m 2

M 2

Для CO

M 44 10 3кг / моль. При T 300K ,

l 100см, и

угловая скорость вращения трубки 280c 1 .

6.125. Имеется выражение, определяющее потенциаль-

ную энергию молекулы газа в центральном поле сил Ep ar2, a 0. Температура газа T , концентрация молекул в центре поля n0 . Найдем:

а) число молекул в слое (r,r dr) . Воспользуемся рас-

пределением Больцмана n n0e kT .

dN ndV n 4 r2dr 4 n0r2e kT dr . Т (1)

б) наиболее вероятное расстояние молекул от центра

сил f (r)

4 n0r2e

ar2

df (r)

0 2r 2r3

0 r

(2)

н.в.

в) доля числа молекул в слое (r,r dr) по отношению к их общему числу:

a 2

N dN 4 n0 2e kT d


			3									3
	kT									kT
	kT			2		2		t2		kT		2
4 n					t		e		dt 4 n					.	(3)
4 n		a			t		e		dt 4 n		a			.	(3)
0		a			0				0		a		4

ar2

4 n0r2e

dr /(

)

4 (

)

r2e

dr. (4)

г) сравнение концентраций молекул в центре поля при температурах T и T / : поскольку общее число молекул по-

стоянно, то на основании (3) можно написать:


n (	kT		3	n			kT		3	n			3
	kT	)2				(	kT	)2		n	01	2 .
	a	)2				(	a	)2				2 .
0	a				01		a			n0

6.126. Здесь исходные условия те же, что и в задаче 6.125. Получим выражение для числа частиц, имеющих потен-

циальную энергию E в интервале						(E,E dE).		Для этого в
формуле			(1) задачи 6.125. сделаем замены					r2 E / a и
dr	1		dE. В результате получим
dr			dE. В результате получим
2		aE
				3	E
			dN 2 n a 2e kT				EdE.	(1)
			0
			97

На основании (1), функцию распределения молекул по энергии напишем в виде

E	(2)
g(E) Ae kT ,

где A const.

Наиболее вероятное значение потенциальной энергии

найдем из условия dg / dE 0, отсюда получим Eн.в. kT /2.

6.127. Число молекул газа в сферическом слое

	(r,r dr), имеющих потенциальную энергию Ep в централь-
			ar2
	ном поле сил, равно dN n e		kT 4 r2dr (см. формулу (1) зада-
	ном поле сил, равно dN n e		kT 4 r2dr (см. формулу (1) зада-
	0

чи 6.125.).

Потенциальная и кинетическая энергии частицы – независимые друг от друга величины. Последняя определяется температурой газа. Функция распределения молекул газа по скоростям при температуре T имеет вид

	m		3	Ec
F( ) (		)2 e		kT 4 2 ,	(2)

2 kT

где Ec m 2 - кинетическая энергия молекулы.

Из числа dN молекул в слое число молекул, имеющих скорость в интервале ( , d ), будет равно

N d2N F( )dN 16				(Ep Ec )		r2dr 2d .		(3)
			2n e kT
			0
В окрестности наиболее вероятной						скорости		молекул
имеем:
	2kT
2		, d 2 в 2			2kT		;

	m					m
98

кинетическая энергия молекулы

m 2

kT.

н.в.

эти величины в (3), получим:

Ep Ec

2kT 2kT

N 32

exp

2 kT

или

N 32

n0 exp

r2dr .

Подставляя

r2dr ,

6.128. Энергетическое состояние атома водорода охарактеризуем энергией связи электрона с ядром (протоном). Счетную совокупность возможных значений энергии атома обозначим через E1, E2,...En , где E1 - минимальная энергия атома. Энергетические уровни для атомов водорода являются вырожденными. Кратность вырождения уровня En равна

g(En ) 2n2.	(1)
Заданное температурное состояние водорода позволяет
принять, что kT (E EF ) и равновесное	распределение

атомов по состояниям с различной энергией определить законом Больцмана, согласно которому вероятность отдельного

атома иметь энергию En

равна

P g(E

(En EF )

2n2e

(En EF )

(2)

)e kT

kT .

Для нижнего уровня E1

P 2e

(E1 EF )

(3)

kT .

Относительная часть атомов водорода в состоянии с энергией

En к числу атомов с энергией E1 равна

/ N

(En E1)

(4)

P / P n2e

kT .

Разность

En E1

представим

в виде

En E1

n ,

где

n1 R(1 1/n2),

R - постоянная Ридберга. Тогда

(5)

/ N n2e kT .

Для n 2

при температуре T 3000K отношение

Nn / N1 3 10 10.

6.129. Энергия валентного электрона у атомов щелоч-
ных металлов определяется двумя квантовыми числами n и
(En ) и энергетические уровни являются вырожденными	по
квантовым числам m1 и m2 . Кратность вырождения уровня	3S

- состояния атома Na g0 2			( 0, mS 1/2), уровня 3P -
состояния g 6(m1 0, 1; mS			1/2). Отношение числа ато-
мов натрия в состоянии 3P к числу атомов в основном состоя-
					2 c
нии 3S равно N / N0 (g / g0 )e kT				(g / g0)e kT (см. задачу
6.128.).
Для 589нм и T 2400K отношение
	N	(6/2)exp 2 3 108 1,05 10 34		/589 10 9 1,38 10 23 2400

	N0
		1,13 10 4.

6.130. Вероятности нахождения частицы в состояниях с энергией E1 или с энергией E2 , соответственно равны

f1 f (E1) 1/ exp E1 EF / kT 1 и

f2 f (E2 ) 1/ exp E2 EF /kT 1 ,

100

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 3410 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.20222.03 Mб02674.pdf
#
15.11.20222.03 Mб02675.pdf
#
15.11.20222.03 Mб122676.pdf
#
15.11.20222.04 Mб12681.pdf
#
15.11.20222.05 Mб02682.pdf
#
15.11.20222.05 Mб72683.pdf
#
15.11.20222.05 Mб02684.pdf
#
15.11.20222.06 Mб02685.pdf
#
15.11.20222.08 Mб02692.pdf
#
15.11.20222.08 Mб22695.pdf
#
15.11.20222.08 Mб32696.pdf