2683

частота нормальных колебаний, - температура Дебая. Внутренняя (колебательная) энергия в объеме моля кри-

сталла равна

Для случая T верхний предел интеграла будет очень большим и его можно приближенно положить равным бесконечности. Тогда

Молярная и удельная теплоемкости вещества связаны между собой соотношением C cM , M – молярная масса. Воспользовавшись формулой (5) задачи 6.264, а также тем, что

k m , получим

Для железа M=56г/моль. При подстановке в (*) числовых значений величин найдем, что m 6 1013c 1 .

6.266. Обозначим теплоемкости кристалла при темпера-

ли предположить, что заданные температуры кристалла являются достаточно низкими, то согласно формуле

0,760/0,266 3,38. Как видно результаты совпадают и, следо-

вательно, заданные температуры для кристалла можно считать низкими.

6.267. Количество теплоты, необходимое для нагревания

Отсюда имеем:

33 4Rm(T24 T14) .

5MQ

Для меди M=64 г/моль.

При подстановке числовых значений величин в правую часть выражения получим 330К .

6.268. Нулевая колебательная энергия атомов в моле кри-

в кристаллической решетке сопоставляется три линейных осциллятора. Следовательно, средняя энергия осциллятора

E Eат 3k .

3 8

6.269. Нулевая колебательная энергия атомов в моле кри-

6.270. Без учета нулевых колебаний внутренняя энергия единицы объемы кристалла в интервале частот от доd равна

Отсюда для спектральной плотности колебательной энергии имеем выражение

244

Проанализируем трансцендентное уравнение (4) с помо-

m

На рис.1 показаны точки пересечения графиков f1( ) и f2( ), определяющие корни уравнений (5) и (6). Видно, что

ложен левее ординаты / m 1, в то время как для T /2 -

ные графики для этой функции для T1 и T2 .

246

6.271. Энергия и импульс фонона частоты определяются величинами

где - скорость движения в упругой среде, n - орт его направления движения. При этом максимальные значения этих величин равны

M64г/моль, 8,9г/см3 . Вычисляя, получим:

m 1,38 10 23 330 0,46 10 20 Дж 29мэВ.

pm 1,05 10 34 36 2 8,9 6,02 1023 Дж с/см 64

0,95 10 24 Н с 0,95 10 24 103 102 г см/с 1 10 19 г см/с.

6.272. Внутренняя энергия кристалла, содержащего N

атомов, на частотах колебаний от 0 до m равна

Отсюда для энергии в интервале частот от до d получаем

247

6.273. Частицу массы m, совершающую одномерное гармоническое колебание, называют гармоническим осциллятором. Его энергия

Полагая, что осциллятор находится в равновесии с тепловым резервуаром при температуре T, и применяя теорему о равномерном распределении энергии по степеням свободы, получим среднюю энергию классического осциллятора

Теперь рассмотрим твердое кристаллическое тело, состоящее из N атомов (ионов). Каждый атом может испытывать смещение из положения равновесия. Благодаря взаимодействию с другими атомами возникает восстанавливающая сила, которую приближенно можно считать пропорциональной

248

смещению. Из такого приближения во многих случаях следует, что атом совершает трехмерные колебания. При этом полная колебательная энергия атома будет равна

Силы, которые стремятся удержать атомы в положении равновесия и которые приближенно можно считать пропорциональными их относительным смещениям, таковы, что если бы атомы были связаны между собой упругими «пружинками». Представление кристалла в виде совокупности частиц, связанных упругими силами, называют гармоническим приближением. В такой системе могут распространяться упругие волны разной длины. При малых λ, больших, чем атомные расстояния, гармоническое приближение дает те же результаты, что и модель кристалла как сплошной упругой среды.

Для больших частот, когда длина волны сопоставима с межатомными расстояниями начинает сказываться дискретная атомная структура кристалла, при низких температурах проявляются квантовые эффекты, в частности, квантованность энергетического спектра гармонического осциллятора. Согласно квантовой теории энергия гармонического осциллятора может иметь значения

Если средняя энергия kT классического осциллятора может принимать любые значения, то средняя энергия квантового осциллятора имеет квантованные значения

энергию, которую имеет осциллятор при T 0, называется

249

нулевой энергией. Второе слагаемое в (5) связано с термическим возбуждением. Часто нулевой энергией можно пренебречь. При переходе осциллятора из одного в другое энергетическое состояние действует правило отбора n 1 и вслед-

ствие этого энергия осциллятора может изменяться на . Кристалл представляет собой колебательную систему с большим числом степеней свободы. В кристалле, состоящем из N элементарных ячеек по атомов в каждой, существует

3 N 6 типов простейших колебаний, называемых нормальными колебаниями или модами. Их число равно числу степеней свободы 3 N 6. Поскольку N – очень большое число, числом 6 можно пренебречь и, следовательно, число нормальных мод в кристалле можно определить величиной s 3 N . Элементарной ячейке простой кубической решетки принадлежит один атом и поэтому s 3N .

Каждое нормальное колебание можно представить в виде двух упругих плоских бегущих волн, распространяющихся в противоположных направлениях. В результате каждому нормальному колебанию будет соответствовать стоячая волна, устанавливающаяся в объеме кристалла тела.

Плоская бегущая волна, помимо частоты и волнового вектора k характеризуется направлением поляризации, т.е. направлением смещения отдельных атомов. В общем случае имеет место эллиптическая поляризация. Вектор смещения атома можно разложить на три взаимно перпендикулярные составляющие и тем самым колеблющемуся атому сопоставить три поляризованные волны – одну продольную (по вектору k ) и две поперечные.

Так как взаимодействие между атомами конечно по величине, то в кристалле существует некоторая максимальная

250