2683

частота колебаний m (обычно m ~1013c 1). Частоты нор-

мальных колебаний могут не сплошь заполнять интервал от

0 до m , в нем могут быть пустые участки (запрещенные зоны). Колебания, частоты которых соответствуют запрещен-

ным зонам, и. колебания с частотами m не могут распро-

страняться в кристалле.

Число нормальных колебаний (стоячих волн) в интервале частот d , приходящегося на единицу объема кристалла при условии равенства фазовых скоростей продольно и поперечно поляризованных волн определяется выражением

где n - число атомов в единице объема тела.

Энергия кристалла может быть представлена как сумма энергий нормальных колебаний решетки:

Оказалось, что имеется глубокая аналогия между светом и упругими волнами в кристаллах. Порции (кванты) энергии упругих колебаний были названы фононами. Звуковые волны в кристаллах рассматриваются как распространение квазичастиц фононов, а колебания кристаллической решетки можно представить как фононный газ, заключенный в пределах образца кристалла, подобно тому, как электромагнитное излучение можно представить как фотонный газ, заполняющий полость.

Многие процессы в кристалле (например, рассеяние рентгеновских лучей или нейтронов) протекают так, как если бы фонон обладал импульсом

251

где k - волновой вектор соответствующего нормального колебания.

Заметим, что между фононами (квантами звука) и фотонами (квантами электромагнитного излучения) имеется существенное отличие: в то время как фотоны являются истинными частицами, фононы – квазичастицами; фонон не может возникнуть в вакууме – для его возникновения и существования необходима среда. Фонону можно сопоставить условную массу покоя

внутри кристалла, обусловленного собственными колебаниями атомов.

Согласно молекулярно-кинетической теории, давление,

полагая, что скорость фононов независимо от направления движения и поляризации одинакова и равна . Тогда парциальное давление на стенку (поверхность изотропного кристалла) фононов частот в интервале от до d будет равно

252

сталла, n – число атомов также в единице объема. Получаем

Сделаем приближенную оценку интеграла путем линеа-

ризации подынтегральной функции f (x) x3 на отрезке ex 1

0;1 :

253

Если результат (15) сравнить со значением несобствен-

Заметим, что p 0,03E , где Е – нормальный модуль уп-

ругости меди.

6.274. Число энергетических состояний для свободных электронов в единице объема металла, приходящегося на интервал энергии dE, равно

имеет смысл плотности состояний.

Вследствие принципа Паули при абсолютном нуле электроны будут располагаться по одному в каждом состоянии на самых низких энергетических уровнях. Поэтому все состояния с энергией Е, меньшей некоторого максимального значения

Emax EF (0) будут заполнены электронами (вероятность f(E) 1). При этом число свободных электронов в единице объема металла равно

254

Разделив эту энергию на полное число электронов, рав-

ное g(E)dE , получим среднюю кинетическую энергию одно-

го электрона:

Emax

6.275. Плотность энергетических состояний в зоне проводимости металла

f (E)=1, число электронов, находящихся в состояниях с энер-

гией от E до E+dE, равно

Для 0,01

N 1,5%.

N

6.276. В данном случае решение аналогично решению предыдущей задачи 6.275. Здесь разность E надо положить равной EF EF /2 EF /2. Тогда

6.277. Предварительно скажем, что валентные электроны основной части атомов металлического натрия находятся в свободном состоянии и только у некоторой части атомов валентные электроны являются связанными.

256

При T 0К следует ожидать, что отношение числа свободных электронов к числу атомов в образце будет чуть меньше единицы. Попытаемся найти эту величину.

Объемная плотность атомов натрия равна

Число свободных электронов в единице объема образца

где m - масса электрона. Вычисляя, получим:

N (2 0,91 10 30 3,07 1,6 10 19)3/ 2 0,79 1028,5 2,50 1028 м 3 .

3 2(1,05 10 34)3

Отношение N /Na 2,50/2,54 0,98.

Средняя энергия электрона классического электронного газа при температуре T равна

257

6.279. Число состояний для свободных электронов в металле в интервале энергий E вблизи уровня Ферми определим выражением

Отсюда получаем интервал между соседними уровнями свободных электронов:

где m – масса электрона, n – концентрация свободных электронов. Подставив (3) в (2), будем иметь:

1,6 10 41 Дж 1,0 10 22 эВ.

6.280. Воспользуемся распределением свободных электронов в металле по значениям энергии

258

Теперь найдем отношение скоростей. Максимальная ско-

рость m свободных электронов при T 0К следует из равен-

того, что электрон имеет скорость в интервале от до d . Получаем:

Итак,

259

3 .

m 4

6.281. Минимальная длина волны свободных электронов

2

min m m ,

где m – масса электрона, m - максимальная скорость свобод-

ных электронов. Величина m была найдена в задаче 6.280 (формула (4)). Поэтому

Поскольку одному атому металла соответствует один свободный электрон, концентрация электронов n 1/a3 , где а

– период простой кубической решетки.

a3 1/3

Следовательно, min 2 2a .

3

6.282. Пусть концентрация атомов металла с простой кубической решеткой есть n, а параметр решетки равен «а», то-

гда a 1/3n n 1/3 .

Длина волны де-Бройля для свободных электронов

D 2 . p

Положим, что D a, т.е. 2 n 1/3 . Отсюда имеем: p

Равенство (1) возведем в квадрат и поделим на 2m (m – масса электрона), получим:

260