2683
.pdfp1V1 RT1 , p2V2 RT2
p1(V2 V1) R(T2 T1) RT1(n 1).
T V 1 |
TV 1 |
, |
pV p V |
||||||||
2 |
2 |
|
|
1 |
3 |
|
|
1 |
1 |
2 |
3 |
|
V |
2 |
1 |
|
T |
|
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
T |
n |
|
||||||
|
V |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
p1V1 p2V3 p1 V3 , p2 V1
p1V2 p2V3 p1 V3 n /( 1) . p2 V2
Из (12) и (13) имеем
V3 n /( 1) .
V1
Подставляем (10) в (8), а (11) и (14) в (9):
Q |
RT1 |
(n 1) RT (n 1) |
|
|
|
|
|
RT (n 1). |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
1 |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
1 |
|
||||||||
|
A RT (n 1) |
|
RnT1 |
1 |
1 |
|
RT1 |
ln n |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
n |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
RT (n 1 lnn) . |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
К.п.д. цикла: |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
A |
|
n 1 ln n |
1 |
ln n |
. |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
Q1 |
|
|
n 1 |
|
|
|
n 1 |
|
|
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
Из сравнения (7) и (17) видим, что к.п.д. обоих циклов одинаковы.
6.148. Предложены циклы идеального газа, приведенные на рисунке.
Порядок расчета к.п.д. данных циклов тот же, что и в за-
даче 6.147.
а) Полученная газом теплота
121
Q1 |
Q |
|
(dU pdV) 0 |
pdV RT1 ln |
V2 |
. (1) |
|
V1 |
|||||||
|
(1 2) |
(1 2) |
|
(1 2) |
|
Работа, совершенная газом за цикл:
p |
|
p |
1 |
T const |
1 |
|
2 |
T const |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|||||||||||||||||||
0 V1 |
|
|
|
|
|
|
V2 |
V |
|
|
|
|
|
V1 V3 |
|
|
|
|
|
V2 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
a) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V2 |
|
|
|
|
RT1 |
|
|
V1 |
|
1 |
|
|||||||||||||||
A |
pdV |
|
pdV RT ln |
|
|
1 |
|
|
|
. |
(2) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
V 1 |
|
V |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
(1 2) |
(1 3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Далее используем соотношение TV 1 |
TV |
1 |
, |
из кото- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
рого следует: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
V1 |
|
|
T3 |
|
1 |
|
|
|
V2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
n1/( 1) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
(3) |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
V |
|
|
|
T |
|
n |
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Подставляя (3) в (1) и (2), получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Q |
RT1 |
lnn , |
A |
RT1 |
|
nlnn 1 n |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
К.п.д. цикла «а» равен |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
A |
|
nln n 1 n |
1 |
n 1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
(4) |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Q1 |
|
|
nlnn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nln n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
б) Здесь также вычисляются величины Q1 , А и к.п.д. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
цикла. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V2 |
|
|
||
Q1 |
Q |
|
(dU pdV) 0 |
|
pdV RT1 ln |
. |
(5) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
(1 2) |
(1 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V1 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
122 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V RT |
|
V |
1 |
|
(V V ). (6) |
|||||
A |
A |
A |
A RT ln |
2 |
|
1 |
|
1 |
1 |
|
p |
||||||
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
1 |
V 1 |
|
V |
|
|
2 |
2 3 |
|||||||
|
(1 2) |
(1 3) |
|
(3 2) |
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
Из следующих соотношений находим замены:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
1 |
|
|
T 1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
T1V1 |
|
|
|
T3V3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
n . |
(7) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
p2V2 RT1 , |
p2V3 RT3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
p |
(V V ) R(T T ) R(T |
1 |
|
) |
n 1 |
RT. (8) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
1 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pV p V |
|
|
|
|
|
p1 |
|
|
V2 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(9) |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
p |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p1V1 |
|
p2V3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(10) |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
V |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Из (9) и (10) имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
V2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1/( 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
/( 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
(11) |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n |
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Вводим (7), (8) и (11) в (5) и (6): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
Q |
RT1 |
lnn, |
|
|
A |
RT1 |
|
lnn |
RT1 |
(1 |
1 |
) |
n 1 |
RT |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
n |
1 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
RT1 |
|
( lnn |
n 1 |
( 1) |
n 1 |
) |
RT1 |
(lnn |
n 1 |
) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
RT1 |
(nlnn (n 1)). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
К.п.д. цикла |
|
|
|
n( 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
A |
|
nln n (n 1) |
1 |
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
nln n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Q1 |
|
nln n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(12) |
|
|
|
|
p |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Выражения (4) и (12), оп- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T const |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ределяющие к.п.д. |
рассмотрен- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
ных циклов, одинаковы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q 0 |
3 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
123 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
V1 |
|
|
|
|
|
|
|
V2 V3 |
V |
6.149. Рассматривается цикл идеального газа, приведенный на рисунке, причем T1 /T3 n. Требуется найти к.п.д. цик-
ла.
Напишем выражение для полученной извне теплоты Q1 и совершенной работы газом A за цикл:
Q1 |
Q |
|
(dU pdV) 0 pdV RT1 ln |
V2 |
. |
(1) |
||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||
|
(1 2) |
(1 2) |
|
|
|
|
|
|
(1 2) |
|
|
|
|
V1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
A Aиз Апол Аад |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
23 |
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V2 |
|
|
RT1 |
|
|
r 1 |
|
RT1 |
|
|
1 |
|
||||||
= RT ln |
|
1 |
|
V2 |
|
|
|
1 |
V1 |
|
. |
(2) |
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
1 |
V r 1 |
V |
|
|
|
1 |
V |
|
|
|
|||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
Здесь и r – показатели адиабаты и политропы (соответственно).
Введем замены в выражениях (1)и (2) при помощи следующих соотношений:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
1 |
|
|
|
|
T 1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
T1V1 |
|
T3V3 |
|
|
|
|
|
T |
n ; |
|
|
|
(3) |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
V |
2 |
|
r 1 |
|
|
|
|
|
T |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
r 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
T1V2 |
|
T3V3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
(4) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
T |
|
n |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Далее путем исключения V3 |
|
|
|
из равенств (3) и (4) найдем |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
отношение |
V2 |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
V1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
1 |
|
V |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|||||||||
|
1 |
|
|
|
, |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
expn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
(5) |
|||||||||||||
V3 |
n |
1/( 1) |
|
|
|
n |
1/(r 1) |
V1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
V3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(r 1)( 1) |
|
||||||||||||||||||||
Подставляя (3) (5) в (1) и (2), получаем: |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
RT1(r )lnn |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(r 1)( |
|
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
(r )lnn |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
1 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
A RT1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r 1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(r 1)( 1) |
|
|
|
|
|
1 |
n |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
124 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(r )lnn |
|
n 1 |
|
n 1 |
|
|
||
RT1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(r 1)( 1) |
n(r 1) |
n( 1) |
||||||
|
|
|
|
|
RT1 |
(r )(nlnn n 1) |
. |
(6) |
|
|
|
|
||
|
|
n(r 1)( 1)
К.п.д. цикла
|
A |
|
nln n n 1 |
1 |
n 1 |
. |
(7) |
Q1 |
|
|
|||||
|
|
nlnn |
nln n |
|
6.150. На рисунке изображены два цикла идеального газа. Требуется найти к.п.д. каждого из них. Процедура вычисления к.п.д. цикла та же, что и в предыдущих задачах.
p |
p |
|
1 |
1 |
2 |
Q 0 V2 |
n |
|
V1 |
Q 0 |
|
3 |
2 |
3 |
|
0 V1 |
|
|
|
|
|
V2 V |
|
|
0 V1 |
|
V2 V |
|
||||||
|
|
a) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
|||||
а) Полученная теплота в ходе цикла |
R |
|
|
|||||||||||||||
Q1 Q dU CV (T1 T3) |
(T1 T3). |
(1) |
||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||
(31) |
(31) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||
Совершенная газом работа |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
RT1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||
A |
1 |
|
V1 |
|
|
p |
(V V ) |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
1 |
|
V |
|
|
|
2 |
2 |
1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
RT |
|
1 1 |
p |
(V V ). |
|
||||||||||||
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
(2) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
1 |
n |
|
|
2 |
|
2 |
1 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
125 |
|
|
|
|
|
|
Введем замены в выражения (1) и (2):
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
1 |
|
|
|
|
T |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
TV |
|
|
|
|
|
TV |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
T1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
p V RT , |
|
p V RT |
T3 |
|
|
V1 |
|
1 |
,T |
T2 |
|
|
T1 |
|
|
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
2 3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T V n |
|
3 |
|
|
n n |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
1 1 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
p |
|
(V |
|
|
V ) R(T T ) |
R(T |
|
|
2 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
T |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
n 1 |
2 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
1 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
RT1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
T2 |
|
|
|
|
T1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Подставляя (3) (5) в (1) и (2), получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
RT |
|
|
|
|
1 |
) , А |
|
RT |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 |
|
|
n 1 |
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
(1 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
RT |
1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
К.п.д. цикла а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
A |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
(n 1)( 1) |
|
(n 1 |
1)n |
|
|
(n 1)( 1) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n 1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Q1 |
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
n (1 |
1 |
) |
|
|
|
|
|
(n |
1)n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n(n |
1) (n 1)( 1) |
|
|
|
|
|
n |
|
n ( 1) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
n ( 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n 1) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
(6) |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
б) На языке символов: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
Q1 |
|
Q |
|
|
|
|
(dU pdV) |
(T2 |
|
T1) p1(V2 |
V1). (7) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(1 2) |
|
|
|
|
|
|
(1 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
126
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
RT1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||||
A p (V V ) |
|
1 |
V1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 2 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
= p |
(V |
V ) |
RT |
1 |
1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
. |
|
|
(8) |
||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
pV RT , |
p V |
|
RT |
V2 |
n |
T2 |
,T nT |
; |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
1 1 |
|
1 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
T |
2 |
1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
p1(V2 V1) R(T2 |
T1) (n 1) RT1 . |
|
|
(9) |
|||||||||||||||||||||||||||||||
Q |
(n 1) RT1 |
|
(n 1) RT = |
(n 1) RT1 |
. |
(10) |
|||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
A (n |
1) RT - |
(n 1 1) RT |
= |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
( 1)n 1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
= |
|
( 1)(n 1)n 1 (n 1 1) RT1 |
. |
|
|
(11) |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 1)n 1 |
(n 1 1) |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
A |
|
( 1)(n 1)n 1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q |
|
|
|
|
|
|
(n 1)n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n 1)n 1 (n 1 1) |
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
. |
|
(12) |
||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
(n 1)n 1 |
|
|
|
|
(n 1)n 1 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.151. Второе начало термодинамики для обратимых (квазистатических) процессов математически записывается уравнением
|
Q |
dS или Q TdS . |
(1) |
|
|
||
|
T |
|
|
Здесь Q - элемент количества теплоты, dS |
- полный |
дифференциал энтропии системы, Т - абсолютная температура. Интегральным уравнением второго начала для обрати-
мых круговых процессов является равенство Клаузиса
dS |
Q |
0. |
(2) |
|
|||
|
T |
|
|
127 |
|
|
На конечном участке 1 2 пути обратимого процесса изменение энтропии определяется интегралом
S |
2 |
S |
(2) |
Q |
. |
(3) |
|
||||||
|
1 |
(1) T |
|
|||
|
|
|
|
Теперь выясним, что скажет второе начало относительно необратимых (неквазистатических) процессов. Для этого рас-
смотрим два близких состояния равновесия 1 и |
2 некоторой |
|||||||||||||||
системы (см. рис.) Переход систе- |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
мы из состояния 1 в состояние 2 |
p |
|
|
|||||||||||||
осуществим двумя путями: по ква- |
|
|
|
|
Qнеобр 2 |
|||||||||||
зистатическому (обратимому) |
L1 |
- |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
L2 |
|
|
|||||||||||
пути и неквазистатическому |
(не- |
|
|
|
|
|
Qобр Q |
|||||||||
обратимому) L2 |
- пути. |
Можно |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
1 |
|
L |
|||||||||||
показать, что |
Q Qнеобр . |
По- |
|
|
1 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
0 |
|
V |
||||||||||||||
скольку Q TdS , то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
TdS Qнеобр |
или |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dS |
Qнеобр |
. |
(4) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
На конечном отрезке процесса |
1 2 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(2) Q |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
S |
2 |
S |
(1) |
необр |
. |
|
(5) |
||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
1 |
T |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Для кругового необратимого процесса |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
0. |
|
|
|
|
|
(6) |
|||
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Итак, второе начало термодинамики для произвольного |
||||||||||||||||
кругового процесса записывается в виде |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
Q |
0. |
|
|
|
|
|
(7) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для обратимого кругового процесса равно нулю, необратимого – меньше нуля. Неравенство (7) называют неравенством Клаузиуса.
128
Коэффициент полезного действия тепловой машины во всех случаях определятся в виде
|
A |
|
Q1 Q2 |
1 |
Q2 |
, |
(8) |
Q |
Q1 |
|
|||||
|
|
|
Q1 |
|
а обратимой тепловой машины с теми же холодильником и нагревателем в виде
1 |
T2 |
. |
(9) |
|
|||
|
T1 |
|
Смысл величин, содержащихся в формулах (8) и (9) всем известен.
Для машины, работающей по обратимому циклу Карно,
|
Q Q1 |
|
Q2 |
|
Q2 |
|
T2 |
|
||
|
|
|
|
|
0 и, следовательно, |
|
|
|
, |
|
T |
T |
T |
Q |
T |
||||||
обр |
|
|
1 |
|
2 |
|
1 |
|
1 |
|
1 Q2 1 T2 .
Q1 T1
Для необратимой тепловой машины при тех же темпера-
турах T1 и T2 : |
Q Q1 |
|
Q2 |
|
Q2 |
|
T2 |
|
||
|
|
|
|
|
0, |
|
|
|
. Поэтому |
|
T |
T |
T |
Q |
T |
||||||
необр |
|
|
1 |
|
2 |
|
1 |
|
1 |
|
1 Q2 1 T2 , т.е. необр обр .
Q1 T1
Вывод: к.п.д. необратимой тепловой машины всегда меньше, чем обратимой, работающей в тех же условиях.
6.152. Имеется тепловая машина в качестве нагревателя которой служит с ограниченной теплоемкостью кусок железа определенной массы, а холодильником является среда практически с бесконечной теплоемкостью и температурой
T2 const .
При работе такой машины вследствие отбора тепловой энергии с каждым циклом температура T1 ( T ) нагревателя будет уменьшаться и стремиться к температуре T2 холодильника.
129
При этом к.п.д. и производимая работа с каждым последующим циклом будут уменьшаться и в пределе оба стремиться к нулю.
Будем полагать, что теплоемкость нагревателя не так мала, чтобы можно было бы считать отдельный цикл обратимым.
Пусть при осуществлении некоторого цикла тепловой двигатель произвел работу, равную
A dQ (1 |
T2 |
)( mcdT). |
(1) |
|
|||
1 |
T1 |
|
|
|
|
Тогда работа, произведенная машиной к началу этого цикла, т.е. когда T1 T , будет равна
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
A mc |
|
2 |
1 dT mc(T lnT T) const . |
(2) |
||||||||
|
|||||||||||||
|
|
T |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В самом начале T T10 и |
A 0, тогда |
|
|||||||||||
|
|
|
const mc(T |
T ln |
T10 |
) . |
(3) |
||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
10 |
2 |
|
T |
|
||
При подстановке (3) в (2) получим |
|
T10 |
|
|
|||||||||
|
|
|
A mc(T |
T T ln |
). |
(4) |
|||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
10 |
|
2 |
|
T |
|
При T T2 получим полную произведенную машиной работу:
A |
mc(T |
T |
T ln |
T10 |
). |
(5) |
|
||||||
max |
10 |
2 |
2 |
T |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
Для заданных |
значений |
m 100кг, |
с 0,46Дж/г К , |
T10 1500К и T2 =285 К работа Amax =34 МДж.
6.153. Найдем изменение энтропии идеального газа при увеличении его температуры в n раз в случаях изохорного и изобарного нагрева.
Напишем уравнение первого начала:
TdS dU pdV или dS dU pdV . T T
130