2683

вершенная газом, равна

ART 1 ( 1)/ .

1

Для кислорода 1,4. При T0 290К и 10,0 темпе-

ратура конечного состояния газа T=290 100,4/1,4 560К , работа

A 1 8,31 290 1 100,4/1,4 5,6кДж . 1,4 1

6.38. Работа газа при адиабатическом и изотермическом процессах определяется выражениями:

Aад / Aиз 1 /( 1)lnn 1 1 /( 1)ln n .

Для азота 1,4; при 5,0 отношение работ

31

Aиз 0,4

6.39. Цилиндрический сосуд теплоизолирован и, следовательно, содержащийся в нем газ в целом при перемещении поршня не обменивается теплом с окружающей средой (см. рисунок). Однако между частями газа происходит теплообмен, поскольку поршень теплопроводящий. Согласно рисунку часть 1 газа расширяется, часть 2- сжимается. При таком перемещении поршня возникает поток теплоты справа-налево. Благодаря медленному перемещению поршня, можно считать градиент температуры между поверхностями поршня бесконечно малым, а температуру частей 1 и 2 одинаковой, предположим

равной T. При этом сила, под действием которой осуществляется перемещение поршня, практически равна F (p2 p1 )S ,

где S – площадь поршня.

В условиях задачи массы и объемы частей газа одинаковы, т.е. 1 2 и V01 V02 V0 . Согласно вышеизложенному и первому началу термодинамики можем написать:

Q Q1 Q2 ( U1 A1) ( U2 A2' )

x

CV T CV T A2' A1 2 CV (T T0) Fdx

0

Из уравнений состояния частей газа

Интеграл вычислить не удается, поскольку T T(x). Поэтому возьмем дифференциалы от обеих частей равенства (3):

При разделении уравнения (4) по переменным, будем иметь:

Число степеней свободы молекулы и показатель адиабаты газа находятся в соотношении i 2/( 1). Тогда формулу

(8) можно переписать в виде:

6.40. Левую часть свободного объема цилиндра назовем первой, правую – второй. Длины частей цилиндра при равновесном положении поршня обозначим . При смещении вправо на относительно равновесного положения возникает возвращающая сила F (p2 p1)S , где p1 и p2 - давление газа в левой и правой частях цилиндра. При быстрых колебаниях поршня по обеим сторонам от него периодические процессы сжатия и расширения газа практически являются адиабатическими.

Исходя из этого, напишем выражения давления газа у поверхностей поршня: p1 p0 /( x) , p2 p0 /( x) . При этом возвращающая сила

34

2 p0S2 mV0 .

6.41.Левую половину полуцилиндра будем считать первой, правую – второй (см.рисунок 6.1 сборника).

Повернем перегородку вправо на некоторый угол . При

вой части уменьшится на ту же величину. Если равновесное

F(p2 p1)dS p0[(1 2 / ) (1 2 / )]hdr

(4 p0h / )dr .

35

Момент силы dF относительно оси поворота

dM rdF (4 p0h / )rdr. Полный возвращающий момент

I1 mR2 . Дифференциальное уравнение вращательных коле- 3

баний перегородки получает вид

Отсюда имеем квадрат частоты 02 6 p0h , а затем показатель

m

адиабаты m 02 /6p0h.

6.42. Согласно первому началу термодинамики напишем:

Q dU A. (1)

Учитывая условия задачи, равенство (1) представим в

виде:

Отсюда

Q(2 )R T .

1

36

6.43. По условию задачи A dU , где - некоторая

p cV( 1)/ , где c – постоянная интегрирования. Получен-

ный результат перепишем в виде pV( 1 )/ c, введем обо-

значение n ( 1 )/ , и получим соответствующий закон процесса pVn const.

6.44. Политропическим называется процесс, при котором теплоемкость остается постоянной (c = const). Уравнение по-

литропы имеет вид pVn const, где показатель степени n но-

сит название показателя политропы.

Установим связь между c и n. Напишем первое начало

Поделим (1) на dT и учтем, что Qм /dT C - теплоем-

кость газа. Тогда вместо (1) будем иметь C CV p dV , или dT

Из уравнения состояния pV RT получим

dT 1 (pdV Vdp). (3) R

37

Подставим (3) и (2):

где (Cp C)/(C CV ).

Если положить n , то C 0. На основании (8) можно сделать вывод, что для 1 n теплоемкость c 0.

6.45. Обобщенную молярную теплоемкость газа в произ-

Удовлетворив имеющимся условиям, на основании (1)

получим T2 T1(V1 /V2 )n 1(2). Работа, совершенная газом в хо-

де политропического процесса, равна

6.47. В законе расширения газа p V заменим давле-

ние p на vRT/V и получим

pV RT V 2 RT 2 VdV RdT VdV RdT /2.

Тогда

40