Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2683

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

2.05 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 3411 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

где EF - уровень отсчета энергии. Поскольку частица может находиться только в одном из двух состояний, f1 f2 1. От-

сюда	следует,	что	EF (E1 E2 )/ 2.	Тогда
f1 1/ exp E / 2kT 1 и			f2 1/ exp E / 2kT 1 , где

E E2 E1 .

Если система состоит из N частиц, то при температуре

T число частиц, находящихся в состояниях с энергией E1 , бу-

дет равно

N1 Nf1

N / exp E / 2kT 1 ,

(1)

а в состояниях с энергией E2

N2 N / exp E / 2kT 1 .

(2)

Среднее значение энергии каждой из частиц определим

по формуле

E E1N1 E2N2 /N E1 f1 E2 f2 E1 f1 E2 (1 f1)

E f1.

(3)

Отсюда получаем:

N/2

E E

e E/2kT

(4)

1 2

e E/2kT

101

Примерные графики зависимостей N1(T), N2 (T) и E

от T приведены на рис. 1 и 2.

6.131. Общую теплоемкость системы из N частиц при

V const определим выражением

E1 E2e

E /2kT

N E

E/ 2kT

см. формулу (4) задачи 6.130. Дифференцируя по T получаем:

N E 2 e E/2kT

(1)

2kT2 1 e E/2kT 2

где E E2 E1 . Рассмотрим частности:

1) kT E: пренебрегая единицей в знаменателе выражения (1), получим

N E 2

E /2kT

(2)

2kT2e E /2kT

2kT2

2) kT E: полагая величину E/2kT 0. Найдем

N E 2

4kT2

6.132. Рассматривается излучения атомарного лития при

температуре T 1500K на длине волны ,

соответствующей

переходу 2P 2S. Концентрация атомов n, мощность излучения на единицу объема P .

По этим данным найти среднее время жизни атомов лития в состоянии резонансного поглощения.

Красности вырождения состояний 2Sи 2P равны:

а) S - состояние: g	0	2	( 0;	m 0; m	S		1	);
а) S - состояние: g		2	( 0;	m 0; m				);
						2
						2
			102

б) P - состояние: g	0	6	( 1;	m 0, 1;	m	S		1	).

							2

При переходе 2P 2S			атом	излучает	квант энергии

2 c / . За одну секунду в единице объема высвечивает-


ся число атомов, равное n P/ P /2 c .
Число атомов в возбужденном состоянии 2P						по закону
Больцмана равно n2 n	g	e /kT .		Вероятность		перехода

	g0
2P 2S атома лития в единицу времени
n /n			Pg0		e / kT .
			n g
2

Среднее время жизни атомов лития в возбужденном состоянии 2P равно

1/ n g e /kT ,

Pg0

через соответствующую длину волны

ng 2 c exp 2 c / kT . Pg0

6.133. Колебательная энергия молекулы водорода (H2 )

	1
Ev v		, где v	- колебательное квантовое число при-

нимающее значения 0, 1, 2, … . Энергию первого колебательного уровня относительно нулевого уровня определим значе-

нием Ev Ev (v 1) Ev (v 0) .

Вращательная энергия молекулы может быть определена выражением Er 2J(J 1)/2I, где I - момент инерции мо-

лекулы относительно оси вращения, J - вращательное кванто-

103

вое число, принимающее значения 0, 1, 2, … . Вращательный

уровень энергии EJ является вырожденным, кратность его вырождения равна g 2J 1. Энергию вращательного уровня

Er (J 1) относительно уровня Er (J 0) определим значени-

ем Er Er (J 1) Er (J 0) 2 / I 2 B, где B /2I.

Пусть число молекул водорода N. Согласно закону Больцмана, число молекул на первом колебательном уровне

равно Nкол		Ev		а число молекул на первом вра-
	Ne kT		Ne kT ,
щательном	уровне		равно		Ev		2 B

				Nвр g(J 1)e kT		3e kT (здесь

кратность вырождения вращательного уровня с J 1 равна 3). Отношение числа молекул водорода на первых возбужденных

	N	1		( 2B)
колебательном и вращательном уровнях равно	кол		e	kT .

	Nвр	3
По данным табл. 19 сборника, для молекулы H2	межъядерное

расстояние d 0,74 108см, частота колебаний 8,28 1014с 1.

Вычислив момент инерции молекул по формуле I md2 /2,

где m mp , и показатель экспоненты в целом, получим

Nкол / Nвр 3,1 10 4.

6.134. Пусть общее число молекул O2 равно N2 . Число молекул, населяющих вращательный уровень J , определим по закону Больцмана:

		2	J(J 1)	,	(1)
NJ N	0(2J 1)exp		J(J 1)
NJ N	0(2J 1)exp		2IkT
			2IkT
	104

где I d2

- момент инерции молекулы,

matd2 /2 -

при-

веденная масса, d - межъядерное расстояние.

NJ /N0

Наиболее

заселенный

вращательный уровень найдем

из условия dNJ

/dJ 0:

(2J 1)2 0

2IkT

IkT

Jm 10

(2)

Для молекулы O2

d 1,21 10 8см,

16 1,66 10 27 (1,21)2 10 20 /2

кг м3 .

(3)

Подставляя (3) в (2), получим Jm , а затем по формуле (1)

найдем NJ / N0 . Примерный график зависимости NJ / N0 от J

приведен на рисунке.

6.135. Исходя из формулы для энергии квантового гармонического осциллятора

	1
En n		, где n 0,1,2,..,	(1)

получим выражение для среднего значения энергии E осциллятора.

Допустим, что система состоит из N осцилляторов с различными значениями энергии. В состоянии равновесия распределение колебаний по значениям энергии подчиняется закону Больцмана. Согласно этому закону, вероятность Pn то-

105

го, что осциллятор имеет энергию En , определяется выраже-

нием

Pn Nn	/ N		exp( En /kT)		,
			exp( En / kT)

или
P		exp( n / kT)		.	(2)

n		exp( n / kT)

(здесь произведено сокращение на множитель exp( n /kT)).

Зная вероятность различных энергий осциллятора, можно найти среднее значение этой энергии:

E PnEn	(n 1/ 2) exp( n /kT)
		exp( n /kT)
n
1		nexp( n /kT)	(3)
		.

2		exp( n /kT)

Из (3) видим температурную зависимость E . Введем новую переменную x /kT в выражение (3) и перепишем его в виде

	1		ne		nx		1	d
E									ln e nx . (4)
				nx
2		e				2		dx n 0

Для x 1 сумма e nx представляет собой сумму чле-

n 0

нов бесконечной убывающей последовательности (геометрической прогрессии).

Тогда

	1
e nx
	1 e	x
n 0

106

			E	1	ln			1
			E		ln			1 e x
			2					1 e x
	1	d	ln(1 e x )			1			e x			1		.
		dx	ln(1 e x )											.
2		dx	2					1 e x			2		ex 1
Итак, получим:
			E							.			(5)
			E							.			(5)
							2 e /kT		1

Двухатомную молекулу газа рассматриваем как одномерный гармонический осциллятор. Молярную колебательную теплоемкость двухатомного газа определим выражением

NA E

CVкол

/kT

e / kT

e /kT 1 2

Для молекулы Cl2

1,06 1014c 1. При T 300K

CVкол 0,56R.

6.136. При прохождении света через вещество (газ, жидкость, прозрачное тело) возникает так называемое комбинационное рассеяние света. В результате этого явления в спектре помимо несмещенной линии содержатся новые лини, частоты которых представляют собой комбинацию частоты падающего света 0 и частот i колебательных или враща-

тельных переходов рассеивающих молекул 0 i . Со-

гласно квантовой теории, процесс рассеяния света можно рассматривать как неупругое соударение фотонов с молекулами. При соударении фотон может отдать молекуле или получить от неё такие количества энергии, которые равны разностям

107

двух её энергетических уровней. При переходе молекулы из состояния с энергией E в состояние с энергией E , энергия рассеянного фотона станет равной

0 E E 0 E 0 E,

асоответствующая частота

0 E / 0 i ,

где i	E	/ .
Линии с			частотами 0 i называются красными
спектральными			спутниками, 0 i - фиолетовыми. В

данном случае рассматриваются первые ближайшие спутникикр 0 i и фиол 0 i колебательном спектре двух-

атомных молекул газа Cl2 .

108


	4. ВТОРОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ.
						ЭНТРОПИЯ
p							6.137. На рисунке схемати-
	1		Q1			чески показан цикл Карно в ко-
						чески показан цикл Карно в ко-
						ординатах p-V. Тепловая маши-
	T1		2			ординатах p-V. Тепловая маши-
	T1		2			на, работающая по циклу Карно,
						на, работающая по циклу Карно,
	4					называется идеальной.			Участки
	4			3	1-2		и 3-4 цикла соответствуют
	Q		T	3		изотермическим процессам, уча-
	2	2				стки 2-3 и 4-1 - адиабатическим.
						стки 2-3 и 4-1 - адиабатическим.
0					V		Рабочее вещество,		получая
						в	изотермическом		процессе
						1 2 тепло Q1 ,		при расширении
1 2 3 совершает положительную работу								A1 ( A1 >0). На

изотермическом участке сжатия 3 4 у рабочего тела отнимается тепло Q2 и над ним при сжатии 3 4 1 в целом затрачивается работа A2 . Слова «отнимается» и «затрачивается» предполагают положительный знак величин Q2 и A2 . Если же говорить в общем как о получении тепла и совершении работы

на участках 3 4

и 4 1, то можно ввести нештрихованные

величины Q2

и A2 . Тогда Q2 ,

A2 <0 и Q2 =-Q2 ,

A2 =- A2 .

К.п.д. идеальной тепловой машины определяется форму-

лами:

A1 A2

Q1 Q2

A1 A2

T1 T2

. (1)

При заданном соотношении T1 nT2 и известной работе

А за цикл из системы равенств (1) получаем:

n 1

(2)

Q1 A/ nA/(n 1),

(3)

Q2 (1 )Q1 Q1 /n A/(n 1).

(4)

109


Работа A2 слагается из двух работ A34 и				A41 , т.е. пред-
ставляет собой сумму
			=-( A34 + A41 ) = A14 + A43 .
A2	= A34	+ A41	=-( A34 + A41 ) = A14 + A43 .
Согласно заданию нам необходимо найти						=
Согласно заданию нам необходимо найти				A	= A34 =- A34	=
= A43 . Эта величина легко вычисляется:
A = A43 = A = ( Q dU) = Q -0 = Q =Q2 .
(4 3)		(4 3)	(4 3)	(4 3)
Учитывая (4), получаем
			A/(n 1).		(5)
		A	A/(n 1).		(5)
Для заданных А=12,0 кДж и n=1,60 имеем					=20 кДж.
Для заданных А=12,0 кДж и n=1,60 имеем				A	=20 кДж.

6.138. Над молем идеального газа из двухатомных жестких молекул совершается цикл Карно (см. рис. задачи 6.137). У молекул данного газа число степеней свободы i=5, молярная теплоемкость при V const CV (i/2)R 5R/2.


Выразим работу A на участке 4 1 цикла Карно:
A =- A41 = A14 = Aaд = dU = dU =
(14)	(14)	(14)
=- СV dT	=CV (T1 T2).

(14)1

Отсюда имеем T2 T1 A /CV . К.п.д. цикла

1	T2	A	2A	.
	T1	CVT1
			iRT1

При заданных значениях T1 400K и A =2,0 кДж

к.п.д. 0,24.

6.139. Приведем выражение для к.п.д. цикла Карно

1 T2 , а затем произведем следующие действия:

110

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 3411 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.20222.03 Mб02674.pdf
#
15.11.20222.03 Mб02675.pdf
#
15.11.20222.03 Mб122676.pdf
#
15.11.20222.04 Mб12681.pdf
#
15.11.20222.05 Mб02682.pdf
#
15.11.20222.05 Mб72683.pdf
#
15.11.20222.05 Mб02684.pdf
#
15.11.20222.06 Mб02685.pdf
#
15.11.20222.08 Mб02692.pdf
#
15.11.20222.08 Mб22695.pdf
#
15.11.20222.08 Mб32696.pdf