2683

1

1

m

3

m 2

2

2

f ( )4

d 4

e 2kT d

0

2 kT

0

m

3

2kT

1

m

1

1

m

1

1

2

t2

2

t2

2

te

dt

te

dt

.

m 0

2

2 kT

2 kT

0

2 2 kT

Величина, обратная средней скорости, равна

1

.

m/8kT

Отношение

m

3

m 2

2

2

dn nf ( )d n4

e 2kT d .

2 kT

d sin d d , то dn

1

sin d d dn . Условимся отсчи-

4

, ,

тывать полярный угол

относительно оси z , направленной

2

1

dn ,

dn , , d

sin d d dn .

2

0

Из числа dn ,

число молекул, попадающих на единич-

числу молекул в косом цилиндре высотой z

cos (см. ри-

сунок), т.е.

dn

cos dn

1

sin cos d dn .

2

0

,

Интегрируя

послед-

нее выражение по v от 0

до , получим число мо-

лекул, ударяющих еди-

ничную площадку в еди-

ницу времени под углами

в окрестности по отно-

шению к её нормалям:

m

3

m 2

1

3

2

d

sin cos d 4 n

e

d

2kT

2

0

2 kT

m

3

m

2

2

3

2 nsin cos d

e

2kT

d .

2 kT

0

Интеграл

m 2

2

m 2

2

3

d

m

2kT

m

kT

2kT

2kT

e

e

2kT

m

d

2kT

0

0

m

82

kT

2

2

t

kT

2

te

dt 2

.

m

0

m

Итак,

3

kT 2

m

2kT

2

sin cos d .

d 4 n

sin cos d n

2 kT

m

m

6.108. Число молекул газа в единице объема, движущи-

мися со скоростями от до d под углами

и d к

нормали стенки, равно

m

3

m 2

1

2

2

dn

sin cos d dn = n 2n

e 2kT

sin d d

2

,

2 kT

(см. предыдущую задачу 6.107.).

Из этого числа молекул на единичную площадку в еди-

ницу

времени

попадает

число

молекул,

равное

d ,

cos dn , . Для любых направлений движения в преде-

/2

m

3

m 2

/2

3

2

dv

cos dn ,

2n

e 2kT

d sin cos d =

2 kT

0

m

3

m 2

2 3

n

e

2kT d .

2 kT

3

mv2

m

2

2

F(v) 4 v

e 2kT

(1)

2 kT

83

преобразуем в функцию распределения по значениям кинети-

ческой энергии mv2 / 2.

Будем исходить из равенства

F(v)dv f ( )d , т.е. f ( ) F(v) dv .

d

Заменяя в выражении F(v)

квадрат скорости на 2 /m, и учи-

тывая dv/d 1/

2m , получим

3

m

2

2

m 2

1

3

1

.

(2)

f ( ) 4

e 2kT

2m

2 kT 2 e

kT

m

2 kT

2m

Примерный

график

зависи-

f ( )

мости f ( ) приведен на рисунке.

f ( )

Далее найдем наиболее вероятную

энергию молекулы:

~

df

d

ekT

0.

0

kT

d

d

~ e

0

Отсюда

вер kT / 2, вер

kT /m .

Наиболее вероятная скорость н.в.

2kT /m;

кинетиче-

ская энергия молекулы, имеющей

скорость н.в.,

равна

( н.в.) m н2.в. /2

kT.

Выходит, что вер ( н.в.).

6.110. Средняя кинетическая энергия одноатомной мо-

лекулы идеального газа равна

3

3

kT 3kT 2

dn nf 2 2n 2 ( kT)

e

2

2

3

3

3

3

3

2

2

2

n 4

e 2

n

.

2

e

Отношение

dn

3

3

2

6

2

n

3

0,9%.

e3

n

e

6.111. Наиболее вероятную скорость молекул в пучке

найдем из условия

dF

d

3

m

2

2kT

0, т.е.

e

0.

d

d

m

Отсюда имеем:

3

2

0 н.в.

3kT

.Наиболее вероят-

kT

m

ная скорость молекул газа в сосуде н.в.

2kT

.

Отношение

m

т.е. наиболее вероятная скорость молекул в

vн.в. /vн.в. 3/2,

F( )d g( )d ,

g( ) F( ) d 2A

e

kT .

d

m2

Наиболее вероятную кинетическую энергию молекул в

пучке определим из условия dg / d 0:

d

( e kT ) 0 н.в.

kT.

d

85

( )

6.112.

Движущуюся молеку-

лу газа между двумя последова-

тельными

столкновениями можно

охарактеризовать длиной волны де-

Бройля 2 h/m .

В связи

с

этим, распределение

молекул

по

0

a/2

скоростям

2

m

3

F( ) 4

2

e

m 2 /2kT

пре-

2 kT

( ) F( )d /d ;

dv

2 h

.

Отбрасывая знак минус, находим

d

m 2

2 h 2

3

2

2

3

2

2

m

2

2

h

2 h

2 h2

2

4

2

h

2

2

( ) 4

e mkT

= 4

e

mkT .

2

m

2 kT

m

mkT

3

2

2

h

2

2

2

Введем обозначения

a,

2 h

C и напишем:

mkT

mkT

4

a