Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2683

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

2.05 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 3422 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 > Следующая >>>

u( ,T)	3	kT		2	kT .	(2)

	2c3		2c3

б) При kT единицей в знаменателе выражения (1) можно пренебречь и получить:

u( ,T)	3	e /kT .	(3)
	2c3

2.241. Представим формулу Планка (см. равенство (1) задачи 6.240) через линейную частоту и длину волны излучения.

1) Переход от к .
Воспользуемся соотношением: 2 ,																		u d u d
u	u		d		2 u						2				(2 )3						1
			d												(2 )3						1
																				e (2 )/kT 1
			d				2									2c3				e (2 )/kT 1
					u		16 2									3			.				(1)

									c3
									c3			e (2 )/kT 1
2) Переход от к . Воспользуемся соотношениями:
	=2 c/ , u d u d u u																			d	,	d		2 c	.
	=2 c/ , u d u d u u																			d	,				.
																				d		d		2
Отбрасывая минус, будем иметь:
	2 c					2 c				(2 c/ )3											2
u		u		2 c/
u	2	u		2 c/			2					2			3
													c				exp(2 c / kT) 1
											16	2				5
					u						16			c					.				(2)
					u			exp(2 c / kT) 1											.				(2)

6.242. Мощность излучения единичной поверхностью абсолютно черного тела в интервале длин волн от до равна

211

	c		4	2	2	5
P		u			c		.	(1)
			exp(2 c / kT)
4

(см. формулу (2) задачи 6.241).

При m b/T , где b – постоянная смещения Вина,

получим:

P b5 exp(2 c /kb) 1 .		(2)
	4 2c2 T5

Для Т=3000 К и =1,0 нм

P=0,31 Вт/см2.

6.243. В состоянии равновесия распределение осциллято-

ров по значениям энергии n (n 1) подчиняется закону

Больцмана. Согласно этому закону вероятность Pn того, что энергия колебания частоты имеет значение n , определяется выражением


P	Nn	exp( n /kT)					.	(1)
P							.	(1)
n	N	exp( n /kT)
Воспользовавшись тем, что n (n					1	) , получим:
Воспользовавшись тем, что n (n						) , получим:
				2
			1
exp( n /kT) exp n				/kT
exp( n /kT) exp n			2	/kT
			2
=exp( n /kT) exp( /2kT) .								(2)

Далее можно заметить, есть бесконечная убывающая вый член которой b1 e /2kT

му сумма

что знаменатель выражения (1) геометрическая прогрессия, пер- , знаменатель q e /kT , поэто-

212

e /2kT

exp( n /kT)

(3)

1 q

/kT

n 0

1 e

Поставляя (2) и (3) в (1), получим

P (1 e /kT )exp( n /kT) .

(4)

6.244. Приведем формулу Планка

u( ,T)

(1)

2c3

e /kT

определяющую объемную спектральную плотность энергии равновесного теплового излучения.

При делении плотности энергии u( ,T) излучения на ве-

личину энергии фотона			получим число		фотонов в
единицe объема с энергией :
n	2		1	.	(2)
	2c3	e /kT 1

В интервале частот от до d число фотонов в единице объема равно

n d						2		d		.			(3)
n d					2c3		e /kT			.			(3)
					2c3		e /kT		1
Спектральная плотность энергии теплового излучения,
выраженная через длину волны, имеет вид
						16	2	5
u( ,T)						16		c			.		(4)
u( ,T)											.		(4)
		exp(2 c / kT) 1
Энергия фотона
			2 c/ .										(5)
Поделив (4) на (5), получим плотность фотонов излуче-
ния с энергией 2 c/ .
n	8							1				.	(6)
n	4											.	(6)
	4					exp(2 c/kT ) 1
				213

Для интервала длин d

dn n d , где n есть (6).

6.245. Частота испущенного и поглощенного кванта энергии при переходе атома водорода из 2р – состояния в 1s – со-

стояние или при 1s 2р равна

R(1	1		3	R	3	16	16	1/c.
		)				2,07 10	1,55 10
	22		4		4

Состояние 1s будем считать первым, 2р – вторым. Вероятности спонтанного и индуцированного излучением пе-

реходов 2 1 равны

Pсп А ,			Pинд		В u ,		(1)
21		21	21			21
где A21 и B21 - коэффициенты Эйнштейна, u							- спектральная
плотность равновесного теплового излучения.
Между коэффициентами A21			и B21		имеется соотношение
B		2c3		A		,	(2)

			3
	21				21

следовательно, отношение вероятностей индуцированного и спонтанного излучений атомов водорода равно

Pинд	В u	2c3		u	2c3			3			1
21	21
Pcn		3				3		2c3	exp( /kT) 1
Pcn	A	3				3		2c3	exp( /kT) 1
21	21
			Pинд				1			.		(3)
			21
			Pcn
			Pcn		exp( /kT) 1
		21

Для 1,55 10161/c и T 3 103 K отношение

P21инд 7 10 18 .

P21cn

При Pинд Рсп

214

exp( /kT) 2 /kT ln2 T		1,6 105 К.
	k ln2

6.246. Пусть - интенсивность проходящего света. Приращение этой величины при прохождении слоя вещества толщиной dx равно

dI Idx, т.е. dI Idx, (1)

где – коэффициент пропорциональности, получивший название коэффициента поглощения.

Величина зависит от частоты . В нашем случае частота – фиксированная величина. Положим, что N1 и N2 есть концентрация атомов на нижнем и верхнем энергетических

уровнях. Тогда коэффициент поглощения									можно опреде-
лить через вероятности переходов P						поглN	1	и Pинд N				2	, т.е.
					12				21
PпоглN	1	-Pинд N	2	=N B u		=(N B			N	2	B )u ,			(2)
12		21		1 12			1 12					21

где B12 и B21 – коэффициенты Эйнштейна, между которыми имеется соотношение g1B12 =g2B21 . При отсутствии вырождения g1 g2 1 и B12 =B21 . Далее учтем, что u I /c, где с –

скорость

света,

перепишем

(2)

виде

N B (1

)I /c.

Согласно распределению Больцмана

/ N exp

/exp

exp

/exp

/ N e /kT .

Введем обозначение 0 N1B12 /c, тогда

(1 e /kT ) .

(3)

215

Вернемся к уравнению dI Idx, где есть выражение

(3). Решение этого уравнения имеет вид

I I0e x I0 exp x0 (1 e /kT )z .

Таким образом, коэффициент поглощения атомарного газа на резонансной частоте может быть определен выражением

0 (1 e /kT ).
При kT
			.	(4)
	0
		kT

216

7. ТВЕРДОЕ ТЕЛО

		6.247. Молибден имеет простран-
		ственно-центрированную кубическую
c		кристаллическую решетку. Параметры
		трансляции элементарной кристалли-

		ческой решетки a=b=c и углы между
	b
		ребрами	(см. рис.). По из-

вестной плотности молибдена най-

дем постоянную а ОЦК-решетки этого металла.

Из рисунка видим, что в вершинах элементарной ячейки содержатся атомы (ионы) металла. Каждый из этих атомов принадлежит восьми примыкающим по соответствующим граням других элементарных ячеек. Кроме этого внутри выбранной ячейки содержится один атом, принадлежащий только этой ячейке. Отсюда следует, что каждой отдельной ячейке

принадлежит два атома: 8 1 1 2. Исходя из этого, найдем

постоянную «а» кубической ячейки.

Число атомов в единице объема (концентрация) данного

вещества равно n NA , где NA - постоянная Авогадро, М –

молярная (атомная масса). Число ячеек и объем отдельной ячейки равны n/2 и V=a3. Следовательно,


a3	1	2M	, т.е. a 3		2M	.
	n/2
		NA			NA
Для молибдена M 96г/моль,				10,2г/см3 , параметр

а 0,31нм.

217

	6.248. Медь имеет гранецен-
трированную кубическую			кристал-
лическую решетку (ГЦК-решетку),				c
элементарная кристаллическая ячей-
ка	которой показана на		рисунке.	b
Здесь также как и в задаче 6.247, по				b
Здесь также как и в задаче 6.247, по				a
плотности меди найдем постоянную				a
плотности меди найдем постоянную
«а» кристаллической решетки. Каж-
дый из восьми атомов, расположенных в вершинах ячейки,
принадлежит восьми ячейкам. Каждый из шести атомов, рас-
положенных в центрах граней ячейки, принадлежит двум
ячейкам.		Поэтому каждой	отдельной	ячейке принадлежит
8 1 6 1		4 атома.
8	2
	Концентрация атомов		n NA . Число ячеек в единице
			M
объема вещества и объем отдельной ячейки равны n/2 и V=a3.
Отсюда получаем


a3	1	4M	, т.е. a 3		4M	.
	n/4
		NA			NA
Для меди M 64г/моль,				8,9г/см3 , параметр

а 0,36нм .

6.249. Кристаллическую решетку каменной соли NaCl проще всего изобразить как простую кубическую решетку, в узлах которой чередуются ионы натрия и хлора, так что каждый ион Cl окружен шестью ионами Na, и наоборот. Решет-

ку NaCl можно рассматривать как совокупность двух гранецентрированных структур, каждая из которых содержит ионы лишь одного знака.

218

На рисунке показана трансляционная единица кристаллической решетки NaCl. Пусть параметр этой сложной ячейки равен «а».

В задаче 6.248. была установлена связь между параметром «а» ГЦК–решетки и плотностью ρ простого вещества

					a3 4M .
					NA
					(1)
			В рассматриваемом случае
		a	вещество состоит из молекул
Na			NaCl c	ионной связью между

			атомами	Cl	и Na. Распреде-

C	a		лениям ионов		Na и Cl в кри-
a			сталле	NaCl	можно сопоста-

			вить отдельные ГЦК-решетки
со сдвигом относительно друг друга на a/2. Поскольку число
атомов Na и Cl одинаково, а плотность					вещества – вели-
чина аддитивная, то на основании (1) можно написать:

	4M1		,		4M2		,			4(M1 M2)	.	(2)
	4M1		,				,			4(M1 M2)	.	(2)
1	a3Na			2	a3Na		1		2	a3Na
Молярная		масса			для		натрия	M1 23г/ моль ,				хлора
M2 23г/ моль.			По известному значению							а 0,563нм		нахо-
дим:
					4	(23 36)		2,18г/см3 .
				(5,63		10 8) 6 1023		2,18г/см3 .
				(5,63		10 8) 6 1023

6.250. Для каждого кристалла можно ввести кристаллографическую систему координат XYZ, построенную на базис-

ных векторах a, b , c , совпадающих с ребрами элементарной

219

ячейки. В гексагональной системе пользуются не тремя, а четырьмя осями. В отличии от аналитической геометрии масштаб измерения вдоль каждой из координатной осей, как правило, различен и при этом берут не абсолютные значения осевых отрезков а, b, c , а их отношение а:b: c.

В кристаллической решетке осевым единицам а, b, c отвечают наименьшие расстояния между узлами решетки вдоль узловых рядов, совпадающих с направлением координатных осей, а величины а, b, c являются параметрами решетки, определяющими размеры элементарной ячейки кристалла.

Любая грань в кристалле может быть охарактеризована ее параметрами, т.е. отрезками, отсекаемыми на координатных осях, определенными в осевых единицах m,n, p . В кристалло-

графии более удобным оказывается использование для задания

ориентации грани величин, обратных параметрам 1 : 1 : 1 , m n p

так называемых кристаллографических индексов (индексов Миллера).

	z	C
1		C
c
		b
	0

		a

B y

2 x

Пусть на рисунке ABC, есть грань, отсекающая на координатных осях x, y,z отрезки m,n, p , соответ-

ственно равные 2, 3 и 1 осевым единицам а, b, c. Кристаллографическими индексами грани ABC будут

h:k :l 1 : 1 : 1 1 : 1 :1 3:2:6. m n p 2 3

Записываются кристаллографические индексы (символы) граней тремя числами, взятыми в круглые скобки: (hkl), (326).

220

<<< < Предыдущая 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 3422 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.20222.03 Mб02674.pdf
#
15.11.20222.03 Mб02675.pdf
#
15.11.20222.03 Mб122676.pdf
#
15.11.20222.04 Mб12681.pdf
#
15.11.20222.05 Mб02682.pdf
#
15.11.20222.05 Mб72683.pdf
#
15.11.20222.05 Mб02684.pdf
#
15.11.20222.06 Mб02685.pdf
#
15.11.20222.08 Mб02692.pdf
#
15.11.20222.08 Mб22695.pdf
#
15.11.20222.08 Mб32696.pdf