2683

капилляр, а радиус кривизны мениска R>2 /R. Радиус кривизны мениска найдем из соотношения ρgh=2α/R:

6.305. Пусть исходная длина стеклянного капилляра равна . Объем воздуха, содержащегося в капилляре перед погружением в воду, равен V0 d2 /4 . Удерживая, начнем капилляр открытым концом погружать в воду. Сначала, вследствие смачивающего эффекта, вода втянется на некоторую высоту над поверхностью воды вне капилляра. Погружая дальше, возрастающее давление воздуха в капилляре будет приводить к понижению уровня мениска столбика воды. Нас при этом интересует момент, когда мениск окажется на одном уровне с поверхностью воды. Зафиксировав это состояние, напишем условие равновесия

где р0 - атмосферное давление, p- давление воздуха в капилляре.

Для =110мм и d=20мкм погруженная в воду длина капилляра равна

281

равновесия gh cos /r, т.е. h 2 cos .

gx

6.309. Введем обозначения: для верхнего сечения струи d1 d , S1 , 1 - диаметр и площадь сечения, скорость струи;

для нижнего сечения аналогичные величины d2 , S2 , 2 .

Нам известно, что d2 =d1 /n d /n, где n>1. Из условия непрерывности струи 1 S1 = 2 S2 имеем еще одно соотношение 2 =n2 1 .

Выделим тонкий слой струи массы m и рассмотрим его движение от верхнего к нижнему сечению потока. Этому эле-

Приращение боковой поверхности выделенного элемента струи при его перемещении от первого сечения до второго равно:

283

Видно, что S 0.

Далее воспользуемся законом сохранения энергии в процессе перемещения элемента m. Работа силы тяжести затрачивается на приращение кинетической энергии и свободной энергии, связанной с силами поверхностного натяжения , и на этом основании можно написать равенство

где - расстояние между горизонтальными уровнями 1 и 2. Отсюда получаем:

Объем воды, вытекающей из отверстия за одну секунду , равен

d4

V1 S1 1 n4 1 2g 4 (n 1)/ d .

6.310. На рисунке показана ситуация с каплей жидкости, положенной на горизонтальную несмачиваемую поверхность

284

стола. Принимается: плотность жидкости , коэфицент по-

p0

A

2b

верхностного натяжении жидкости , краевой угол 0;

радиус круга соприкосновения а<<b, где b – радиус наибольшего сечении капли (см. рис.).

Символы Fij означают силы поверхностного натяже-

ния, возникающие при действии сред на элемент контура круга соприкосновения, в рассматриваемом случае

F13 F12, F23 .

Под действием силы тяжести, реакции со стороны опор-

ной площадки и атмосферного давления p0 капля уплощается,

принимая сложную форму, симметрично относительно вертикальной оси. Кривизна поверхности капли на разных уровнях различна. Нас будет интересовать радиус кривизны поверхности в верхней точке А. Сразу же отметим, что влиянием атмосферного давления на форму капли можно пренебречь, поскольку а<<b .

Полное давление, производимое каплей на площадку круга соприкосновения равно mg/ a2 , где m – масса капли.

285

Оно слагается из гидростатического давления gh и дополни-

тельного давления связанного с искривленной поверхностью капли. Последнее давление охарактеризуем радиусом кривизны в точке А. Сказанное позволяет написать:

mg/ a2 = gh + 2 .

6.311. На падающую в воздухе каплю воды действуют две силы – тяжести и сопротивления, третью архимедову силу можно не замечать. Указанные силы действуют в противоположных направлениях и при равномерном падении капли их величины равны. Эти силы разной природы, сила тяжести является объемно распределенной, силы трения - поверхностными и возникают при относительном перемещении тел. Плотность сил сопротивления на поверхности нижней части капли больше, чем на верхней. Поэтому нижняя часть капли будет подвергаться большему сжатию, чем верхняя, причем, сжатием верхней части падающей капли практически можно пренебречь. Итак, можно сказать, что под действием сил тяжести, давления встречного потока воздуха и поверхностного натяжения капля будет сплюснута с одной стороны.

Введем обозначения: σ– коэффициент поверхностного натяжения жидкости, R1 и R2 радиусы кривизны поверхности капли в верхней и нижней точках соответственно. Кривизна поверхности тела создает дополнительное давление. Равновесная форма капли при её равномерном падении отвечает условию

286

2 2 gh,

R1 R2

где h – высота капли. Отсюда получаем

gh

R2 - R1 2 R1R2 .

Допустим, что радиус капли при её свободном падении равен R. Тогда в рассматриваемом случае можно положить

R1 R2 R2 , R gh3 /8 .

Для h = 2,3 мм, R2 - R1 0,20мм.

6.312. Смазанный парафином алюминиевый диск плавает на поверхности воды. На этот диск действуют силы тяжести, Архимеда и поверхностного натяжения. При этом диск оказывается как бы подвешенным на односторонней поверхностной пленке жидкости. Результирующая этих сил 2 R. Сила тяжести пластинки и архимедова сила соответственно равны T R2hg и ж R2hg . Из условия равновесия имеем:

T R2hg = 2 R- ж R2hg .

Отсюда получаем

hR( T ж)g/2.

Для A T 2,7г/см3 , воды ж 1,0г/см3 . При h= 1мм, R = 5,6мм постоянная для воды равна 70мН/м.

6.313. Капля ртути между горизонтальными стеклянными пластинами имеем, как было сказано, форму лепешки. При этом по кромке расплющенной капли образуется полоска выпуклой поверхности, радиус кривизны которой r h/2, где h

– толщина слоя ртути (кривизной по контуру слоя пренебрегаем). Давление, обусловленное этой кривизной равно

287

2 cos /h, где α – коэффициент поверхностного натяжения, θ

– краевой угол.

Пусть масса верхней пластинки есть m0 , радиус кругово-

го слоя ртути R, тогда давление, оказываемое весом пластинки

n 1. Эти соотношения позволяют равенство (5) переписать в виде

mg = 2 R2 (1 n 2)cos , h

m= 2 R2 (1 n 2)cos . gh

6.314. Имеем систему двух горизонтальных стеклянных пластин. Верхнюю пластину удерживаем на расстоянии h от нижней. При введении капли воды между пластинами, со-

288

храняя расстояние h , образуется пятно радиуса R m/ h ,

который следует из равенства m R2h. Радиус кривизны

свободной поверхности на кромке пятна h/2. При пол-

ном смачивании дополнительное давление, обусловленное натяжением поверхности, равно p / 2 /h.

Второй кривизной пренебрегаем, поскольку h R. Уменьшение давления внутри жидкости потребует увеличение внешней силы, удерживающей верхнюю пластину, с тем, чтобы величина h осталась прежней. Приращение внешней силы определяет силу притяжения пластин после того, как между ними ввели каплю воды.

Итак, для силы притяжения пластин имеем:

Численно:

F 2 73 10 3 70 10 3 1H . 1,0 103(0,10 10 3)2

6.315. Давление, обусловленное искривленной свободной поверхностью прослойки воды на краях дисков, равно

p /(h/2) 2 /h.

Сила F p R2 2 R2 /h определяет притяжение дисков. Следовательно, сила отрыва дисков друг от друга равна

Fотр 2 R2 /h,

Fотр 2 73 10 3 (5,0 10 2)2.1,9 10 6 600Н 0,6кН.

289