Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2683

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

2.05 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2324 / 3424 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 > Следующая >>>

В этом случае плотность нормальных колебаний в интервале d с учетом существования одной продольной и двух поперечных поляризаций равно

	3 2
dNm		d .	(12)
	2 3
	2

Полное число нормальных колебаний на единицу объема

	3		0	2
Nm	3		2d	m		.	(13)
Nm	2	3	2d	2	3	.	(13)
	2	0		2

Каждый атом в трехмерной кристаллической решетке имеет три колебательные степени свободы (r 3). Для единицы объема можем записать

			3n					2		.			(14)
								m
							2 2 3
				0			2 2 3
Отсюда получаем:

	m	3	6	2n		и						3 6 2n .	(15)
		3	6	2n		и						3 6 2n .	(15)
				0					kБ		0
									kБ
6.258. Скорости распространения продольных и попе-
речных колебаний			в		железе						соответственно		равны

|| 5,85км/с и 5,85км/с. Найдем температуру Дебая для

этого вещества.

Число нормальных колебаний на единицу объема в интервале частот от до d равно

	2d	1	2
dN				.	(1)
dN	2 2	3	3	.	(1)
	2 2	3	3
		\|\|

Полная плотность нормальных колебаний атомов в кри-

сталле Fe

231

	3	1	2
N					(2)
N	6 2	3	3	.	(2)
		\|\|

Число колебательных степеней у атома r 3. равенства

	3		1		2	3		3	3

3n		2		3	3	6	2 \|\|		2	,
	6			\|\|		6

где n – число атомов в единице объема, получаем:


m	3	18 2n			,			m	.
m	3		2	3		k	Б	m
	\|\|						Б

Тогда из

(3)

(4)

Здесь n NA . Для железа плотность массы 7,8г/см3 , мо-

лярная масса М 56г/моль, и следовательно,

n 7,8 6,02 1023 (1/см3) 8,4 1022(1/см3) 8,4 1028(1/ м3). (5) 56

Подставляя в (4) значения входящих величин, найдем

470К.

6.259. Положим скорость распространения акустических волн в алюминии одинаковой, независимо от направления и вида поляризации. В этом случае для плотности нормальных колебаний в интервале частот от до d равно

	3 2
dNm		d .	(1)
	2 3
	2

Полное число нормальных колебаний на единицу объема

	3		0	2
Nm	3		2d	m		.	(2)
Nm	2	3	2d	2	3	.	(2)
	2	0		2
		232

Из равенства rn N , где r 3,

концентрация

атомов, получаем:

3 6 2n ,

k 3

6 2n

kБ

(3)

3 6 2n

Для алюминия

2,7г/см3 , молярная

масса

М 57г/моль, концентрация атомов

n 2,7 6,02 1023 (1/см3) 6,0 1022(1/см3) 6,0 1028(1/ м3). 27

Подставляя в (3) значения данных величин, найдем

3600м/c.

6.260. Из пункта а) задачи 6.257 выпишем формулы (3), (5), (6):

d ,

n ,

kБ

Здесь а – длина линейной цепочки атомов, - скорость упру-

гих волн (одинаковая для всех частот), n0 - число атомов на единицу длины цепочки, m - максимальная частота нормаль-

ных колебаний, - температура Дебая.

Число атомов в цепочке возьмем равным числу Авогадро, поскольку нам требуется определить молярную теплоемкость условного кристалла.

Понятно, что молярная теплоемкость C UM , где UM -

колебательная энергия моля такого кристалла. Поэтому сначала найдем UM .

233

Средняя энергия квантового осциллятора частоты равна

(1)

ekT 1

Следовательно,

UM dN

(

2N 2

A m

ekT

d . (2)

ekT

Введем новую переменную x

, при этом:

kTx,

dx, m

. (3)

С учетом соотношений (3) представим (2) в виде

kT xm

dx=

ex 1

RT2

T 2 T

R (

dx .

e x

ex 1

(4)

Для теплоемкости получаем:

T2 T

T 2 0 ex 1

234

2T T

2 0

ex 1

x 0 ex

2T T

0 ex 1

2T T

0 ex 1

ex 1

x /T

kT2

(5)

0 ex 1

e /T 1

Для случая Т>>

( kT)

ex 1 x , e /T

1 /T ,

/ 2

R(2 1),т.е.

C R.

C R

6.261. По условию частота колебаний для цепочки одинаковых атомов определена выражением

m sin , (1)

где k 2 / , а – расстояние между соседними атомами. Возьмем дифференциалы от обеих частей равенства (1):

			ka				a						a				2	ka
d	m	cos						dk		d						m	1 sin			dk
d		cos		2			2	dk		d		2					1 sin		2	dk
				2			2					2							2

			a						2		a
			a			1			2	dk	a			2	2 dk .					(2)
		2				1			m2	dk					2 dk .					(2)
		2			m				m2	2			m
										235

Далее учтем:

dN . (3)

СТ

Здесь СТ

и - длины стоячей и бегущей волн,

- дли-

на цепочки атомов. Подставляя (3) в (2), получаем:

dN .

m2 2

Отсюда следует

Полное число возможных продольных колебаний цепочки равно

arcsin

a 2 2

т.е. числу атомов цепочки.

6.262. Нулевая энергия осциллятора E

. Пусть dn

есть число нормальных колебаний в

интервале

от

до

d для единицы объема кристалла меди,

тогда нулевая

колебательная энергия для кристалла объемом V в том же ин-

тервале частот d равна

dU E

(Vdn )

dn .

Здесь m – масса образца,

- плотность.

Теперь воспользуемся формулами (1) и (3) задачи 6.259, а

именно

3 2

d , 3

k3Б 2

2 2 3

6 2 3 NA

236

Нулевая колебательная энергия кристалла в целом равна

0 dU

4 2 3

3m 4

3m k /T 4

6 2 3 N

k NA

R .

3 3

Для меди M 2,7г/ моль. При m 1г и

330К

9 1 8,31 330

48,6Дж/г .

8 64

6.263. В 1918 г. французские ученые Дюлонг и Пти экспериментально установили закон, согласно которому теплоемкость твердых тел при достаточно высоких температурах есть величина постоянная, не зависящая от температуры и составляющая около 25 Дж/моль·К. Это значит, что при нагревании любого твердого тела на один кельвин каждый атом поглощает одно и тоже количество энергии. Объяснение этому факту можно найти и в рамках классической физики.

Атомы твердого тела совершают малые колебания около положений равновесия в узлах кристаллической решетки. Каждый атом независимо от соседей колеблется в трех взаимно перпендикулярных направлениях, т.е. имеем три независимые колебательные степени свободы. При этом каждый атом можно уподобить совокупности трех линейных осцилляторов. Согласно классическим представлениям, средняя энергия линейного осциллятора равна kT и, следовательно, колебательная энергия одного атома равна 3kT. Если кристалл состоит из NA атомов, то полная средняя тепловая энергия такой системы

E 3kTNA 3RT .

(1)

Отсюда молярная теплоемкость

237

	E	3R .	(2)
C

	T V

Результат (2) носит название закона Дюлонга-Пти, а таим образом определенная теплоемкость твердого тела получила названием классической теплоемкости. Этот закон находится в хорошем согласии с наблюдаемыми экспериментально данными для многих твердых тел, в том числе и для металлов. Оказалось, что свободные электроны практически не вносят вкла-

да в теплоемкость металла.
Хорошее		совпадение		CV
экспериментальных и			теоре-
экспериментальных и			теоре-
тических данных имеет место				3R
лишь при достаточно высоких
температурах.		Однако при
низких	температурах		наблю-
дается	отклонение от		закона
дается	отклонение от		закона	0	T
				0	T

Дюлонга и Пти. Примерный вид температурной зависимо-

сти теплоемкости твердых тел в широком интервале, включая низкие температуры, показан на рисунке.

Как видно, теплоемкость при низких температурах не является постоянной величиной, а увеличивается с ростом температуры от нуля до значения 3R. Для объяснения такой зави-

симости CV (T) классических представлений оказывается не-

достаточно, необходимо привлекать представления квантовой статистики. Если в классической статистике энергия гармонического осциллятора может принимать непрерывный ряд значений, то согласно квантовой теории энергия гармонического осциллятора может иметь дискретные значения

238

		1
n	n		,	n 0,1,2,...	(3)
n	n	2	,	n 0,1,2,...	(3)
		2

При этом среднее значение энергии осциллятора определяется выражением

1
			.	(4)
2
	ekT	1

Теория теплоемкости кристаллических тел, учитывающая квантование колебательной энергии, была создана Эйнштейном и впоследствии усовершенствована Дебаем. Теория Дебая дает следующее выражение для теплоемкости единицы объема кристалла:

9n m

d ,

(5)

e / kt 12kT2

где nc – число атомов в единице объема.

Если ввести переменную x /kT, то выражение (5)

примет вид

T 3 xm

x4ex

c 9n k

dx,

(6)

ex 12

где

- температура Дебая,

m - максимальная частота

колебаний, достижимая в кристалле, xm

Выражение для молярной теплоемкости кристаллическо-

го тела следует из (6) путем замены			n	NA		, где

			c	M
ность массы, M – молярная масса вещества:
C	9 R T 3 xm x4ex				dx.

			ex 12
V	M	0

- плот-

(7)

239

Для сравнения выражений (9) и (2) возьмем отношение

C	3 T 3 xm x4ex		dx.	(8)

Cкл		0 ex 12
	M

Интегралы, содержащиеся в выражениях (6)-(8) явно вычислить нельзя, поэтому аналитическое выражение для теплоемкости можно получить в предельных случаях низких и высоких температур.

Теперь направим мысли на предложенную задачу.

а) Найдем дебаевскую температуру для серебра, если при

T 65K	если молярная теплоемкость равна 15Дж/ моль К .
Так как С =15Дж/ моль К				и CV 3R 24,9Дж/моль К , то
отношение C/Cкл 0,6. По ординате точки на графике, приве-
денном	на	рис.6.6	сборника		абсцисса		T / 0,28. Отсюда
232К .
б)	Определим молярную теплоемкость алюминия при
T 80K , если при T 250K она равна						22,4Дж/ моль К .
Отношение			C/Cкл		при		T 250K	равно
22,4/(3 8,31) 0,90.			По графику C/Cкл				f (T / )	отношение
T / 0,72.		Отсюда дебаевская				температура		металла
250/0,72 347К .
В	состоянии		кристалла		при		T 80K	отношение
T / 0,23. По значению абсциссы 0,23 точки на графике 6.6
находим		ординату,		т.е.	C /Cкл 0,47.			Отсюда
C 0,47 3 8,31 11,8Дж/ моль К .

в) Вычислим максимальную частоту колебаний для меди, у которой при T 125K теплоемкость отличается от классического значения на 25%.

240

<<< < Предыдущая 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2324 / 3424 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.20222.03 Mб02674.pdf
#
15.11.20222.03 Mб02675.pdf
#
15.11.20222.03 Mб122676.pdf
#
15.11.20222.04 Mб12681.pdf
#
15.11.20222.05 Mб02682.pdf
#
15.11.20222.05 Mб72683.pdf
#
15.11.20222.05 Mб02684.pdf
#
15.11.20222.06 Mб02685.pdf
#
15.11.20222.08 Mб02692.pdf
#
15.11.20222.08 Mб22695.pdf
#
15.11.20222.08 Mб32696.pdf