Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2683

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

2.05 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 3430 31 32 33 34 > Следующая >>>

переходе от одного элемента к другому элементу линии z(x)

изменяются и положе-ние центра С и радиус кривизны r . На бесконечно малом участке 1-2 можно считать дугой окружности. Поэтому углы между прямыми A1, A2 и C1, C2 можно принять одинаковыми и, положим равными d (см. рис.1).

С обеих сторон полоски поверхности жидкости действу-

ют силы натяжения F1 и F2 . Проекция результирующей этих сил на вертикаль (ось z) равна

dF cos cos( d ) 2 sin(					d	)sin(		d	)
dF cos cos( d ) 2 sin(						)sin(			)
z	2						2
	2						2
sin d .									(1)
Здесь – коэффициент поверхностного натяжения.
Сила dFz уравновешивается силой тяжести							столбика
жидкости
dFg gdm gz1(x2		x1) gzdx sin d .							(2)
Равенства (1) и (2) дают:
sin d gzsin d ,
т.е.
gzd /d gzr .
Отсюда имеем:
z			.						(3)
z			.						(3)
	gr
При r z ; при r R z h, где R- радиус кри-
визны поверхности y границы A , и
h				.					(4)
h				.					(4)
		gR

291

z	R	Rsin

h		R
h
		x

Теперь допустим, что имеет место полное смачивание. В этом случае радиус кривизны поверхности жидкости у стенки практически одинаков и положим, равным R. Тогда максимальная высота подъема жидкости H = R. При неполном смачивании

высота

h h/(1 sin ) R(1 sin )

(см. рис.2)

Отсюда имеем

	R h/(1 sin ).					(5)
Подставляя (5) в (4) , получаем:
h2			(1 sin )		.
h2					.
				g
Затем

h				(1 sin ) .		(6)
h				(1 sin ) .		(6)
		g

6.318. Свободная капля жидкости имеет форму шарика. Если каплю жидкости положить на несмачиваемую горизонтальную поверхность, то следует ожидать, что капля под действием сил тяжести, нормальной реакции и поверхностного натяжения получим примерно дискоообразную форму. При этом не следует ожидать симметрии веррхней и нижней поверхностей „диска“ относительно наибольшого горизонтального сечения.

292

Положим радиус наибольшего сечения равным R, а высоту диска – равной h. По условию задачи R h, поэтому в этом случае верхнюю поверхность лужицы можно считать практически плоской и, следовательно, дополнительное давление внутри жидкости определить кривизной краев. При этом средняя кривизна поверхности края будет равна

K 1 cos 1 cos ,

R	h	R	h	R h, то
где /2 – краевой угол смачивания. Так как

K cos sin2 cos2 . h 2 2

Из условия динамического равновесия gh K , где

– коэффициент поверхностного натяжения. Получаем:

gh (sin2 cos2 ) h 2 2

h2 (sin2 cos2 )g 2 2

При абсолютном несмачивании h / g . При

, где – малая величина, cos 0 и

		2
			sin	.
h
	g
		2

6.319. Будем исходить из закона Пуазейля

Q	(p p ) r4	.	(1)
	0
	8
	8
	293

Здесь Q – объем жидкости (газа), протекающего за секунду через поперечное сечение тонкой цилиндрической трубки (ка-

пилляра) радиуса r и длины . Разность давлений p p0

поддерживается поверхностным натяжением мыльной пленки и равна:

p p	4	,	(2)

0	a

где а – радиус мыльного пузыря. За малый промежуток време-

ни dt величина p p0 практически не изменяется. На основа-

нии (1) и (2) можно написать: dV Qdt , т.е.

4 r4

dt 4 a

a 8

8 a3da

2 a4

const .

dr4

При t 0

a R

const

2 R4

, тогда

t 2 R4 (1 a4 / R4).

Для a<<R

t 2 R4 .

6.320. Силы поверхностного натяжения на границе жидкость-стенка капилляра в процессе установления равнове-

сия совершают работу, равную A 2 r h, где r – радиус капилляра, h - высота мениска. В ходе этого процесса работа сил натяжения трансформируется в потенциальную энергию столбика жидкости и выделяющуюся теплоту. На основании этого можно написать:

294

2 r h g( r2h)				h	Q ,					(1)
2 r h g( r2h)					Q ,					(1)
			2
где h – высота столбика воды.
В состоянии равновесии 2 /r gh или
	rh 2 / g .									(2)
Из (1) и (2) следует:
Q 2 (rh)			g			(rh)2
Q 2 (rh)			2			(rh)2
			2
	2	g	2		2		2 2
2									.	(3)
2									.	(3)
	g		g					g
	g	2	g					g

6.321. Коэффициент поверхностного натяжения α выражает собой дополнительную свободную энергию, которой обладает единица площади поверхности жидкости. При изотермическом увеличении площади поверхности на dS свобод-

ная энергия жидкости возрастает на dF dS. Для сферической свободной поверхности, ограничивающей жидкость сво-

бодная энергия F S const d2 const . В случае мыльного пузыря имеем две сферические поверхности (внешняя и внутренняя) и поэтому F 2 d2 const , где d – диаметр сферы.

а) Для капли ртути диаметром d 1,4мм

F 470 10 3 (1,4 10 3)2 const 3мкДж, const 0.

б) Для мыльного пузыря с 45мН/м и d 6,0мм

F 2 45 10 3 (6,0 10 3)2 const 10мкДж, const 0.

6.322. а) Свободная энергия поверхностного слоя од-

ной капли ртути F d2 , двух раздельных одинаковых ка-

пель F 2F 2 d2 . При слиянии двух капель образуется

295

одна капля диаметром d1 32d . При этом свободная энергия образовавшейся капли F2 d2 22/3 . Приращение свободной энергии будет равно

F F2 F1 d2(22/3 2) 2 d2(1 312)

F 2 470 10 3 (1,5 10 3)2(1 1/32) 1,5мкДж.

б) Работа, совершаемая при выдувании пузыря радиуса R, затрачивается на приращение свободной энергии жидкой пленки пузыря и на преодоление атмосферного давления, что можно записать в виде

A F p V 2 4 R2	p			4	R3

0		0	3

или

A 4 R2 (2 1 p0R) . 3

6.323. Из первого начала термодинамики для моля газа имеем:

Q dUM pdVM

dUM

dVM

C C p

dVM

(1)

Далее воспользуемся уравнением состояния идеального

газа:

pVM RT pdVM VM dp RdT

dVM

R V

(2)

M dT

Подставляя (2) в (1) получим

296

C C

)

16 r

. (3)

M dT

3 dT

Производную dr выразим из того же уравнения состоя- dT

ния:

				4			4						3							4								3				2
p	0								r					RT								(p					r		4 r				)		RT
p				r			3		r					RT						3		(p					r		4 r				)		RT
				r			3													3						0
										4		(3p r2					8 r)							dr			R
												(3p r2					8 r)										R
									3					0										dT
									3															dT
												dr								3R									.							(4)
																													.							(4)
												dT 4 (3p0r 8 )r
Уравнения (3) и (4) совместно дают:
C Cp		16 r													3R													4 R
C Cp											4 (3p0r 8 )r														3p0r 8
			3								4 (3p0r 8 )r														3p0r 8
														4 R															R / 2					.
						8 (1										3 p		0	r		)					1				3 p	0		r	.
						8 (1										8					)					1				8
																8														8
6.324.			На рисунке для некото-																									T		1						2
6.324.			На рисунке для некото-																									T
рого тела, в частности для пленки
рого тела, в частности для пленки
жидкости, показан цикл Карно.
Совершенная								телом работа															за														3
Совершенная								телом работа															за								4						3
полный цикл равна
полный цикл равна																													0	S1						S2 S
																													0	S1						S2 S
	A				T1dS										T2dS (T1								T2 )(S2							S1),						(1)
				(1 2)										(3 4)

где S- энтропия.

297

За элементарный цикл совершается работа

A T (T1 dT) (S dS) S dTdS .

(2)

Учитывая, что dS Q , на основании (2) будем иметь:

A dT Q Q T A T dF


T					dT				dT
Q T	d( )			T			d	.	(3)
		dT
							dT
Из (3) следует:
q		Q	T		d	.			(4)

					dT

6.325. а) Свободная энергия тела (в том числе и мыльной пленки)

	F U TS ,							(1)
где U – внутренняя энергия, S – энтропия системы. В элемен-
тарных значениях
dF dU d(TS) (TdS pdV) TdS SdT ,
т.е.
dF SdT pdV .								(2)
Так как свободная энергия F есть функция состояния, то
её полный дифференциал равен
F				F
dF		dT				dV .		(3)

T V				T T
Из сравнения (1) и (2) видно, что
	F				F
S			,	p			.	(4)

	T V				T T

В рассматриваемом случае свободная энергия связана с поверхностью жидкой пленки, поэтому F F(T, ) и, следо-

вательно,

298

							F
				S									.									(5)
				S					T				.									(5)
									T
Поскольку F 2 , где α – коэффициент поверхностно-
го натяжения, то				2
	S			2														.				(6)
												2
					T							2				T
					T											T
Для первого и второго состояний поверхности имеем
	S		2				,		S				2							,		(7)
		1			1 T						2					2 T
полагая, что / T const
Из выражений (7) получаем
S S		S 2						(							) 2						.	(8)
S S		S 2						(							) 2						.	(8)
	2		1			T					2	1								T
б) Соотношение (1)				перепишем в виде U F TS . Из
которого при T const следует, что
U F T S ( 2 ) T
																	2
																	2		T
																			T
			2( T											) .								(9)
			2( T											) .								(9)
										T

299

9. ФАЗОВЫЕ ПРЕВРАЩЕНИЯ

6.326. Пусть масса насыщенного водяного пара в сосуде равна mH . При частичной конденсации пара его масса станет равной mH m. При T const давление пара pH const . Работа, совершённая над газом


A p		V p		m		.	(1)
A p		V p				.	(1)
	H		H		H
					H

Из уравнения состояния имеем

p	H	H	RT .	(2)

		M

Подставляя (2) в (1), получаем

A m RT 0.708,31 373 120Дж.

M 18

6.327. Из свойства аддитивности объёма и массы системы имеем:

V VЖ VП , m mЖ mП

Здесь VЖ ,mЖ – объём и масса жидкости в сосуде, VЖ и mП – объём и масса насыщенного пара; V и m – общие величины. Замечаем, что mЖ VЖ VЖ' , mП VП VП' , где VЖ' и VП' – удельные объёмы жидкости и пара (воды и водяного пара). Величины VЖ' и VП' известны, тогда

VmЖVЖ' mПVП' (m mП )VЖ' mПVП'

mVЖ' (VП' VЖ' )mП .

Отсюда

m		V mV '	6 5 1	кг 2 10	2 кг 20г.
	П	Ж
		VП' Vж'	50 1

Объём пара

300

<<< < Предыдущая 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 3430 31 32 33 34 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.20222.03 Mб02674.pdf
#
15.11.20222.03 Mб02675.pdf
#
15.11.20222.03 Mб142676.pdf
#
15.11.20222.04 Mб12681.pdf
#
15.11.20222.05 Mб02682.pdf
#
15.11.20222.05 Mб232683.pdf
#
15.11.20222.05 Mб02684.pdf
#
15.11.20222.06 Mб02685.pdf
#
15.11.20222.08 Mб02692.pdf
#
15.11.20222.08 Mб22695.pdf
#
15.11.20222.08 Mб42696.pdf