2683
.pdf
По известным i показатель
=1ln2,25 1 =0,10 1 .
8 мс мс
В заключение найдем среднее время жизни электронов проводимости и дырок:
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
t |
|
||
|
|
td( n) |
|
|
|
|
t ndt |
|
|
|
|
|
|
t n0e |
|
dt te |
|
|
dt |
||||||||||||||
n |
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
||||
|
tde |
t |
|
|
t |
|
|
e |
t |
|
|
|
e |
t |
|
|
|
t |
|
. (9) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
te |
|
|
|
0 |
|
dt |
|
dt |
|
e |
|
|
0 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
10мс 0,01с. |
|
|
|
|
(10) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ln |
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 0 2) 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
6.292. Холловская разность потенциалов определяется выражением
(1)
где b – ширина пластинки (в обозначениях задачи h, b=h), j – плотность тока, В – магнитная индукция, R=1/ne – постоянная Холла, n –концентрация носителей.
Далее воспользуемся рядом известных соотношений:
U E , E j |
U j j |
U |
, |
|
|
||||
|
|
|
где Е – напряженность электрического поля вдоль пластинки полупроводника. При подстановке выражения для j в формулу (1), получим
271
U |
H |
|
bB |
|
U |
n |
bB |
|
U |
. |
(2) |
|
|
ne |
|
|
|
e |
UH |
|
|||
По данным величинам найдем подвижность носителей u0 /E , где - скорость направленного движения носите-
лей вдоль образца.
Поскольку |
j enu и |
j |
U |
|
, то |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
u |
0 |
|
u |
|
j |
|
|
|
U |
|
|
|
1 |
|
e UH |
|
UH |
. (3) |
||
U / |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
en U |
|
en |
U |
|
e bBU bBU |
||||||||||||
Подставляя в (2) и (3) значения известных величин, най-
дем:
n |
10 |
10 3 5,0 103 10 4 10 |
|
|
21 |
м |
3 |
|
|
15 |
cм |
3 |
, |
||
|
|
|
5 10 |
|
|
|
5 10 |
|
|||||||
1,6 10 19 |
2,5 10 3 50 10 3 50 10 3 |
|
|
|
|||||||||||
|
u |
0 |
|
50 10 3 50 10 3 |
|
0,05 |
м2 |
|
. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
10 10 3 5,0 103 10 4 10 |
|
B c |
|
|
|
|
||||||
6.293. У беспримесного полупроводника при T 0K существует две частично заполненные зоны (валентная и зона проводимости). Как показывает теория, проводимость и постоянная Холла собственного полупроводника в слабом магнитном поле определяются выражениями
1 2 , |
(1) |
1 |
|
2 |
/n |
2 |
/n |
|
|
||
R |
|
|
1 |
1 |
2 |
|
2 |
, |
(2) |
e |
1 |
2 2 |
|
||||||
где 1 и 2 - парциальные проводимости электронов ( 1 ) и дырок ( 2 ).
272
Для собственного |
|
полупроводника можно |
принять |
|||||||||
n1 n2 n, тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
R |
1 |
|
|
1 |
2 |
|
1 |
|
1 |
2 |
. |
(3) |
ne |
1 |
2 |
ne |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Холловская разность потенциалов
UH RbBj , (4)
где b – ширина пластинки, j – плотность протекающего тока. Учитывая, что UH EHb и j E, из (4) получим:
E |
H |
b= |
1 |
|
1 |
2 |
bB E E |
H |
= |
1 |
2 |
BE . (5) |
|
|
ne |
|
|
|
ne |
||||||
E
По заданному условию E и соотношению (5) по-
H
лучим
1 |
|
1 |
2 |
B , |
(6) |
|
|
|
ne
где разность 1 - 2 может быть как положительной, так и от-
рицательной.
В (6) перейдем к подвижностям носителей:
1
1 ne 1 и 2 ne 2 , = 1 2 B.
В результате получим:
|
|
|
|
|
1 |
. |
(7) |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
||||
|
1 |
2 |
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
||||
6.294. При отсутствии эффекта Холла в некотором полупроводнике постоянная R=0. Согласно формуле (2) предыдущей задачи 6.293
12 /n1 22 /n2 0
или
273
|
|
|
|
|
|
2n |
2 |
2n . |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так |
как |
|
1 |
ne |
|
и |
|
|
2 |
ne |
2 |
, то |
2n 2n , т.е. |
||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
2 |
2 |
|||
n /n 2 |
/ 2 |
. При / |
2 |
2 |
n /n 4. |
|
|
|
|
||||||||||
2 |
1 |
1 |
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
274
8. КАПИЛЛЯРНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
6.295. Капиллярные давления: а) в капельке ртути
p ( |
1 |
|
1 |
) |
4 |
, |
d /2 |
|
|
||||
|
|
d /2 d |
||||
где d = 1,5 мкм – диаметр капельки, = 470 мНм. Отсюда
p 4 470 10 3 Па 1,25МПа. 1,5 10 6
б) внутри мыльного пузырька.
Оболочка мыльного пузыря имеет две сферические поверхности, поэтому
p 2 2 =2 2 8 /d . R d/2
Для d=3,0 мм и =45 мН/м избыточное давление
p 8 45 10 3 /(3,0 10 3)Па 120Па.
6.296. Под действием гидростатического давления ртуть продавливается через отверстие в дне сосуда и у отверстия снизу образуется капля жидкости. При этом, сперва плоская свободная поверхность жидкости искривляется и получает форму, близкую к сферической. Вследствие искривления поверхности возникает дополнительное давление внутри просочившейся жидкости, противоположное гидростатическому. Минимальный радиус полусферы на отверстии не может быть меньше радиуса R=d/2 отверстия. Поэтому предельное добавочное давление, обусловленное силами поверхностного на-
тяжения, p=2 /R =4 /d. Если гидростатическое давление слоя жидкости в сосуде gh (h – толщина слоя) меньше p, то
275
динамика прекращается и жидкость не будет вытекать через отверстие. Символически это запишется так: gh <4 /d, т.е. h<4 / g d.
Для ртути = 13,6г/см3, = 470 мН/м. При d = 70 мкм
4 470 10 3
hпред 13,6 103 10 70 10 6 (м) 20см.
6.297. В состоянии равновесия давление окружающего воздуха уравновешивается суммарным давлением воздуха внутри мыльного пузырька за счет теплового движения молекул и добавочным, связанным с поверхностным натяжением.
Пусть радиусы мыльного пузырька до и после уменьшения давления окружающего воздуха в n раз соответственно равны R1 и R2. Этим размерам пузырька будут соответствовать добавочные давления p1 =4 /R1 и p2 =4 /R2.
Обозначим через p1 и p2 значения внешнего давления, а
через |
|
и |
|
- газокинетические давления внутри пузырька. |
p1 |
p2 |
Соотношения между последними при Т = const будут следующими:
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
p1 |
V1 |
p2 |
V2 |
p1 |
R1 |
p2 |
R2 |
p2 (R1 /R2)3 p1 p1 / 3 ,
где R2 / R1 (по условию).
Выражаем условия равновесия:
p1 p0 p1 p1 , p2 p2 p2 .
Задано так, что p0 / p2 n.
Тогда |
|
p0 |
n |
|
p0 |
n. |
|
|
3 |
||||
|
p2 |
|
(p0 p)/ 4 / R1 |
|
||
|
p2 |
|
|
|||
Отсюда получаем:
276
|
|
|
|
|
3 p |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
p |
|
R ( |
3 n) |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
p |
|
|
|
|
( 2 1) |
|
|
0 1 |
|
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
n |
0 |
|
R |
|
|
|
|
|
|
4n( 2 |
1) |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Поскольку |
|
R1 d /2, коэффициент поверхностного на- |
||||||||||||||||||||||
|
тяжения мыльной воды |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
d( 3 |
/n 1) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8( 2 |
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
6.298. Сила поверхностного натяжения направлена по |
||||||||||||||||||||||||
|
касательной к |
поверхности жидкости и перпендикулярно к |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
участку контура. На рисунке пока- |
||||||||||
|
FH |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
заны силы, действующие на кру- |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
говой элемент контура нити: F |
||||||||||||||
|
FH x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– сила поверхностного натяжения, |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
FH , |
FH |
- упругие силы натяжения |
||||||||||||
|
|
|
|
|
Fa |
|
x |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нити. Из рисунка видно, что про- |
|||||||||||||||
|
FHx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
екция |
результирующей упругих |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Δφ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сил FH , |
FH - на ось Ох равна |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2F |
|
F . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H |
2 |
|
H |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Сила поверхностного натяжения, действующая на выде-
ленный элемент нити, F ( F )x 2 R . По условию
равновесия R FH 0, т.е. FH 2 R . Заметим, что удвоение силы поверхностного натяжения связано с наличием двух поверхностей у мыльной пленки.
6.299. Давления воздуха в исходных мыльных пузырях были равны p1 p 4 /R1, p2 p 4 /R2, где р - внешнее атмосферное давление. Соответствующие массы воздуха в этих пузырях
277
m |
M |
pV |
M |
(p |
4 |
) |
4 |
R3 |
, |
|
RT |
|
|
||||||
1 |
RT 1 1 |
|
R 3 1 |
|
|||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
m |
M |
p V |
M |
(p |
4 |
) |
4 |
R3 . |
|
RT |
|
|
|||||
2 |
RT 2 2 |
|
R 3 2 |
|||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
После слияния первоначальных пузырей образовался один пузырь, положим радиуса R. Давление воздуха в нем равно p 4 /R – с одной стороны, а с другой – оно равно
|
|
m |
|
|
RT |
|
m1 m2 |
RT |
3 |
. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
M |
|
V |
|
M |
|
|
|
4 R3 |
|
|
|
|
||||
Приравнивая, получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
p 4 /R= |
3RT 4 M |
4 |
3 |
|
4 |
3 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
(p |
|
)R1 (p |
|
)R2 ) |
|||||||||
4 MR3 |
|
3RT |
|
R |
R |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
p(R3 R3 R3 ) 4 (R2 |
R2 |
R2 ) |
|||||||||||
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
||
|
|
p(R3 R3 |
R3) |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
. |
|
|||
|
4(R2 R2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
R2) |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
6.300. В состоянии |
|
равновесия |
давления воздуха в |
||||||||||
мыльных пузырях должны удовлетворять условиям: |
|||||||||||||
p1 p0 |
4 /a, |
|
|
(1) |
|||||||||
p2 p0 4 /b, |
|
|
(2) |
||||||||||
где р0 - внешнее атмосферное давление. (1) |
|
||||||||||||
p2 p1 |
4 /R, |
|
|
(3) |
|||||||||
Из (1)÷(3) следует: |
1 |
|
1 |
|
1 |
, |
т.е |
|
|||||
|
a |
R |
|
||||||||||
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
R |
|
ab |
, |
|
|
|
(4) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
a b
где R- радиус кривизны разделяющей пленки.
278
На элемент длины контура разделяющей пленки дей-
ствуют силы натяжения Fa Fb и FR каждая из которых равна (см. рис.). В состоянии равновесия
Fa Fb FR 0. Поскольку модули этих сил равны, то угол между векторами сил θ=120˚.
Fa |
|
|
Fb |
|
P0 |
A |
|
|
|
P1 |
|
P0 |
||
FR |
b |
|||
|
||||
|
P2 |
|||
|
|
|
||
a |
|
R |
|
|
|
|
|
6.301. Давление воздуха в пузырьке складывается из атмосферного р0, гидростатического ρgh и добавочного, обусловленного кривизной поверхности пузырька, равного
2α/R=4α/d, т.е.
р= р0+ ρgh +4α/d,
р= 105 +103 10 5+ 4 73 10 3 2,2 105 Па 2,2атм. 4 10 6
6.302. Давление газа в пузырьке на дне водоема
р1 = р0+ ρgh +4α/d1,
у поверхности
р2 = р0 +4α/d2,
где -плотность воды , h-глубина водоема , di - диаметр пу-
зырька.
По условию d2 nd1 nd , d1 d , n>1.
279
При изотермическом процессе p2V2 |
p1V1 , т.е |
||||||||||||||
(р0 |
+4α/d2) |
1 |
d23 |
= (р0+ ρgh +4α/d) |
1 |
d3 |
|||||||||
|
|
||||||||||||||
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
||
(р0 +4α/d2) n3d3 = (р0+ |
ρgh +4α/d) d3 |
||||||||||||||
|
|
4 |
(n2 1) gh p(n3 1) |
||||||||||||
|
|
d |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
2 |
|
|
||
|
h |
|
|
p0 |
(n |
|
1) |
|
(n |
|
1) . |
||||
|
g |
|
d |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Для d=4,0 мкм и n=1,1 глубина пруда h=5м.
6.303. По известной формуле h 2cos и данных зада-
|
|
|
|
|
gr |
||
чи находим: |
|
|
|
|
|
|
|
h |
4cos |
, |
h |
|
4cos |
. |
|
1 |
gd |
2 |
|
gd |
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
Разность опустившихся уровней ртути в сообщающихся капиллярах равна
|
h h |
h |
4 cos |
|
d1 d2 |
, |
||
|
|
|
||||||
|
2 |
1 |
|
g |
|
d1d2 |
||
|
|
|
|
|
||||
h |
4 470 10 3 cos138 |
( 103) 10,5мм. |
||||||
13,6 103 10 |
||||||||
|
|
|
|
|
||||
6.304. По условию задачи вода смачивает поверхность капилляра. Избыточное давление, обусловленное вогнутой поверхностью мениска, при полном смачивании стенок, равно
p 2α/r=-4α/d. При равновесии ρgh*=4α/d1.
Для d=0,50мм h*=58,4 10-3 м=58,4 мм. Однако заданная высота выступающей части капилляра меньше, чем h*, и равна h=25мм. Это будет означать, что вода полностью заполнила
280