2683

и переносят его напрямую на неподвижный диск.

Полный момент импульса, получаемый последним за единицу времени, равен:

Формула (1) вычисляет объем несжимаемой жидкости, протекающей через произвольное сечение круглой трубы за единицу времени. Здесь а - радиус трубы, p1-p2 - динамический напор на длине трубы.

В случае потока газа в трубе необходимо учесть изменение (уменьшение) плотности газа вдоль потока, обусловленное уменьшением давления вдоль трубы. Если вместо изменяющейся плотности газа на выделенном отрезке потока ввести среднюю плотность газа

a4 p12 p22 .

8 RT

6.218. Пусть длины частей составного стержня 1 и 2 , а их температуры соответственно T1 и T2 . Примем, что T1 >T2 . Введем ось z вдоль стержня в сторону конца с меньшей температурой.

Плотность потока тепла через поперечное сечение первой части определим выражением

jq1 1 T1 T / 1 ez ,

а для второй части стержня

jq2 2 T T2 / 2 ez .

Здесь T – температура вблизи стыка частей стержня

Согласно уравнению непрерывности стационарного потока вектора jq

6.219. Будем полагать, что площади поперечных сечений частей составного и однородного стержней равны. Тогда плотности потока тепла по стержням в заданных стационарных условиях одинаковы, а это позволяет написать уравнения:

где Т - температура в области стыка стержней. Из (1) следует, что коэффициент теплопроводности эквивалентного стержня

192

Температура на стыке двух стержней, найденная в задаче

6.218, равна

6.220. Из условия стационарности потока тепла вдоль стержня плотность потока есть величина постоянная по всей длине стержня. Введем ось z вдоль стержня с началом на торце с температурой T1. Согласно сказанному плотность потока

193

6.221. Общие теплоемкости кусков металла (тел) конечны и равны C1 и С2. Пусть температуры этих тел в произвольный момент времени есть Т1 и Т2, Т1>Т2. Первое тело, непрерывно остывая, за промежуток времени dt выделяет некоторое количество теплоты, положим, равное Q1 C1dT1 (dT1 0). Второе тело за тот же промежуток времени через теплопроводник

Теплота Q2 , получаемая телом 2, определяется тепловой энергией, протекающей по проводнику за время dt и, следовательно, равна

или

194

При этом разность температур равна

В начальный момент времени

T1 T2 t 0 T 0 , тогда const C1 T 0

6.222. Напишем выражение для плотности потока тепла:

При неизменности внешних условий плотность потока тепла не зависит от z и является постоянной величиной, jq const. При этом равенство (3) рассматриваем как уравне-

ние

решение которого имеет вид

T3/2 3jqz const . (5)

2

195

Из граничных условий T z 0 T1 , T z T2 и формулы (5)

получим:

Для гелия M=4 г/моль, d=0,20 нм. . При заданных значениях Т1=290 К, Т2=330 К и 50мм плотность потока тепла

jq 40Вт/ м2 .

6.223. Для атома гелия эффективный диаметр d=0,20 нм Прикинем среднюю длину пробега атомов при наименьшей температуре Т1=290 К заданного интервала:

женный газ.

Далее воспользуемся готовой формулой для плотности потока тепла, переносимого ультраразреженным газом между двумя стенками с температурами Т1 и Т2:

Если учесть, что

196

6.225. В данном случае рассматривается вопрос переноса тепловой энергии от стенок концентрических сферических оболочек, тогда как в предыдущей задаче 6.224 система состояла из коаксиальных цилиндрических оболочек. Поэтому решение данной задачи представим по сценарию задачи 6.224 и без слов.

6.226. Ввиду того, что электрический ток по сечению проводника распределен равномерно, можно считать объемную тепловую мощность тока во всех точках проводника одинаковой. При этом мощность, выделяемая внутренним цилиндром радиуса r(r R) и единичной длины Q(r) w r2 . Эта энергия движется к периферийной части проводника и, следовательно, ее можно рассматривать как поток тепла через цилиндрическую поверхность радиуса r и длины 1м, и представить в виде

q dT 2 r . dr

Получаем равенство Q q т.е.

198

w r2 dT 2 r , dr

или dT w rdr . Отсюда получаем

2

T wr2 +const . 4

Из граничного условия T r R T0 имеем

На оси проводника температура равна

6.227. Решение данной задачи весьма похоже на решение предыдущей задачи 6.226 и поэтому без слов напишем:

w 4 r3 dT 4 r2 dT wr dr , w const

6. ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ

6.228. Опираясь на законы термодинамики и электродинамики, Вин в 1893 г. установил, что плотность энергии равновесного теплового излучения пропорциональна кубу частоты

и является функцией отношения /T :

199

Явный вид функции F( /T ) Вину определить не удалось. Несмотря на это, из закона Вине (1) вытекает ряд важных следствий, одним из которых является так называемое правило

смещения: m Т=b=const, где m – длинна волны, соответст-

вующая максимуму спектральной плотности энергии равновесного излучения абсолютно черного тела при температуре -

Т.

Нам же требуется показать, что наиболее вероятная частота излучения вер Т, а максимальная спектральная плотность

энергии um ~T3 .

Введем переменную x= /T и представим закон Вина (1) в виде

где - постоянная интегрирования. В результате получаем:

m

т.е. um ~T3 .

200