2683

а) V const. dS

dU

CV dT

.

T

T

T2 dT

T

S S2 S1 CV

CV ln

2

CV lnn.

T

T

T

1

1

Для 1 углекислого газа (CV

3R) и n=2

SM 3Rln2 17,4Дж/моль∙К.

б) p const.

Здесь p RT /V

и dS

CV dT

RdV

.

T

V

T1

V1

Для одного моля газа SM R (3ln

T2

ln

T2

)=4Rln

T2

;

T1

T1

T1

SM 4 8,3 ln2 23,2 Дж/моль∙К.

6.154. Изменение энтропии идеального

газа в количестве

молей при T const равно S. Найти V2/ V1 .

V2

В этом случае dS

pdV

R

dV

и S R ln

. Отсю-

T

V

V1

да

V

/ V =exp

S

.

2

1

R

S=23

Для

4

и

Дж/К

отношение

23

0,7

V2/ V1 =exp

e

2.

4 8,3

Поскольку отрезки

1 2 и

p

2 3

пути

процесса

являются

1

обратимыми,

то

весь

процесс

1 2 3 эквивалентен

изотер-

(T1 const)

мическому процессу 1 3. В изо-

2

3

термическом

процессе

dS

Q

pdV

и, следовательно,

0

V1

V3 V

T

T

S=

V3 dV

(3) pdV

V

p

S3 S1

R

3

1

Rln

Rln

,

T

V

V

p

(1)

V

1

2

1

так как

p1V1 p2V3 .

S= Rlnn. Для 2 и

По условию

p1/

p2 =n, тогда

процесс, показанный на рисунке. При

p

1

расширении газа его объем увеличил-

ся в n раз. Найти изменение энтропии

Q 0

газа в этом процессе.

Из рисунка видно, что заданный

2

процесс 1 2 3

эквивалентен

по

3

результату

изохорному

процессу

0 V1

V2 V

1 3. Тогда

dS

Q

dU

CV dT

R

dT

T

T

T

1

T

и

R T3 dT

R T

S=S3 S1

3

ln

.

1

T

1

T

T

1

1

щение энтропии S -11

Дж/К.

Примечание. Выражение (3) можно представить в виде:

S

R

(ln ln ln ln ) R( ln ln )/( 1).

1

6.158. В двух сосудах объемами V1 и V2 находится гелий

в

газообразном

состоянии

в равных

количествах,

1

2 1,2моль . Температура газа в первом сосуде T1 , во

втором - T2 . Известно, что V2/ V1 =α=2,0, T1 /T2

1,5. Най-

ти разность энтропии газа в этих сосудах (S2 S1 ).

Исходя из формулы для энтропии идеального газа

S RlnV CV lnT S0 ,

для энтропий газа в сосудах напишем:

S1 RlnV1 CV lnT1 S0 , S2 RlnV2 CV lnT2 S0 .

Для разности S2 S1

получим:

S

S =Rln

V2

C ln

T2

Rln C ln =

T

2

1

V

V

V

1

1

R(ln

ln )

1

dSM

QM

dUM

pdVM

CV dT

RdV

,

(1)

T

T

T

T

V

TVn 1

T Vn 1 .

(2)

1

1

2

2

Интегрируя (1) вдоль пути процесса, получим:

S

S

=C ln

T2

Rln

V2

.

(3)

T

2

1

V

V

1

1

V2

1/(n 1)

Из равенства (2) имеем

T1

1/(n 1)

, при том,

V

T

1

2

S

2

S

1

=

R

ln

1

ln

R(n )ln

.

(4)

1

n 1

( 1)(n 1)

S

S =

R

ln

T2

Rln

V2

.

(1)

1

T

2

1

V

1

1

Из уравнений процесса

p V ( -

коэффициент про-

2

2

2

T2

2

V

RT

V1

RT1 ,

V2

RT2

V2

T

V

1

1

T2

2 ,

(2)

T1

S

S =

R

(2ln ( 1)ln )=

1

Rln .

(3)

2

1

1

1

S

S =

R

ln

T2

Rln

V2

.

(1)

2

1

1 T

V

1

1

n 1

n 1

T2

n 1

n 1

V1

T1V1

T2V2

,

(2)

T

V

где n – показатель политропы.

1

2

2 U получим:

Далее из условия A

RT1

n 1

2 R

1

V1

T T

T1

1 n 1

2

T T

n 1

V

1

2

1

n 1

1

2

1

2

1

n 1

2

1

n 1

2

n 1

T2

1

1

n 1

1

T

n 1

1

1

136

n 1 1 /2.

(3)

Соотношение (3) дает возможность определить

T2

( 1)/2 .

(4)

T1

V2

1

Подставляя (4) в (1) и учитывая, что

, получаем

V1

S

S = R(

1

ln ln )

3

Rln .

(5)

2

1

2

2

6.162. Идеальный

газ

совершает

процесс по

закону

p p0 V , где

p0, 0. Найти объем газа,

при котором эн-

тропия максимальна.

Из первого начала для обратимого процесса имеем

dS=

R

dT

Rln

dV

.

(1)

1

T

V

Поделим (1) на dV и приравняем левую часть нулю (ус-

ловие экстремума), получим:

dT

( 1)

T

0.

(2)

dV

V

T

p

p0 V

(5)

R

R

V

dT

p0 2 V

.

(6)

dV

R

p0 2 V

( 1)

p0 V

0

R

R

p0 2 V ( 1)(p0 V) 0.

(7)

Из уравнения (7) находим

V

p0

.

(8)

( 1)

Найденное значение объема (8) соответствует минимуму

энтропии газа в заданном процессе.

6.163. Моль идеального газа совершает процесс так, что

энтропия S T CV lnT ,

где 0. При этом, когда V V0 ,

моля идеального газа

S RlnV CV lnT S0 , где

S0

- посто-

янная. При этом получим

T RlnV S0 .

(1)

По условию T0

RlnV0 S0 , отсюда

S0 T0 RlnV0 .

(2)

Подставляя (2) в (1)

получаем:

R

V

T RlnV T

RlnV

или T =T

ln

.

(3)

0

0

0

V

0