2683

При F>0 система будет подниматься вверх. В состоянии равновесия F=0, а соответствующее давление газа p*=p0+mg/∆S. При создании давления газа p>p*, путём нагревания, система придёт в движение. Ограничимся случаем очень медленного перемещения системы, когда результирующая сила F мала, а давление газа приближенно равно p*, p≈p*.

При перемещении системы связанных нитью поршней благодаря особенности предложенной модели объём газа будет увеличиваться. Если при этом перемещение системы равно, то объём газа увеличится на ∆V= ∙∆S. Приращение объёма ∆V обусловлено увеличением температуры на ∆Т. Поскольку мы условились считать процесс приближенно изобарным (р≈р*=const), величины ∆Т и ∆V будут связаны между собой соотношением p* V R T (количество газа н=1моль),

т.е. (p0+mg/∆S) ∙∆S=R∙∆T. Отсюда получаем

T (mg p0 S) /R

Для заданных значений m, p0, ∆S, и

∆T=0,9 K.

6.12. Для идеального газа в количестве одного моля (н=1) рассматриваются два процесса: а) p p0 V 2 , б) p p0e V .

Величины p0, б и в – положительные и постоянные.

а) С помощью уравнения состояния идеального газа pV=RT получаем выражение для температуры газа: T (p0 aV 2 )V / R. Из условия dT/dV=0 находим максималь-

ную температуру газа:

Подставляя выражения для V2 и V в уравнение для Т, получим

11

самой высоте уменьшается. На основании этих соображений можем напи-

ность газа на высоте h. По условию с не зависит от h, т.е. с=const. Отсюда

следует, что p/T=const и Tdр-pdT=0,

т.е. T gdh RT dT 0. Произведя

M

сокращения, получим

dT Mg . dh R

Для азота М=28∙10-3 кг/моль и, следовательно:

dT/dh=28∙10-3∙10/8,31=3,47∙10-2 К/м≈0,35 мК/м.

6.15. Приращение давления на высоте h, создаваемое слоем dh условной атмосферы равно

dp=-сgdh, (1)

где с – плотность воздуха на высоте h. Поделим (1) на dT:

Теперь обратимся к условию p/сn=const, сделаем в нём замену P=сRT/M и продифференцируем по Т, в результате получим

Подставим (5) в (4):

6.16. Обозначим высоту над поверхностью земли через h, глубину воображаемой шахты через Н. По условию h и H имеют большие значения. Поэтому нам предстоит учесть зависимость ускорения свободного падения от этих величин.

Пусть r0 есть средний радиус Земли, r – расстояние от её центра. Ускорение свободного падения имеет разную зависимость для r > r0 и r ≤ r0. Представим эти зависимости:

1) для 0 ≤ r ≤ r0

Найдём давление pH воздуха на дне шахты. Приращение давления в слое воздуха толщиной dr на расстоянии r от центра Земли равно

где pM - плотность воздуха в данном месте. Разделяя по

RT

переменным, получим уравнение

14

dp r dr, где Mg0 .

По условию T const и, следовательно, const. При интегрировании этого уравнения получим

p Ce r2 /r0 .

янная интегрирования C p0e r0 /2 , тогда

2

p p0e r0 / 2 e ar / 2r0

Для r=r0 - H

p=p0eбH.

Вычисление б даёт:

б=1,28∙10-4 1/м.

При Н=5∙103м

p p0e0.641,9 атм.

Если р0=1 атм, то pН=1,9 атм.

Аналогичным образом найдём давление ph на высоте h над поверхностью земли (r ≥ r0):

6.17. Чуть выше мы получили зависимость атмосферного давления от высоты h, считая температуру воздуха постоянной:

p=p0e-αh,

15

Т=273К α=1,28∙10-4 1/м. плотность воздуха на высоте h равна

MP M p0e h . RT RT

Пусть на высоте h1 плотность 1 , на высоте h2 – 2 .При h2>h11 / 2 e e (h2 h1 ) . Отсюда

∆h = h2 – h1 = 1/ = (1/1,28∙10-4)м8км.

ку =0,01 – малая величина,

h2 – h1 = /α = 0,01/1,28∙10-4м = 80м.

6.18. Давление газа p в замкнутом сосуде, представляющем собой высокий цилиндр, определяется суммой газокинетического давления pk = mRT/MV и статического давления pс, обусловленного действием силы тяжести, p = pк + pс. Составляющая pс – переменная, зависящая от уровня х над нижним основанием сосуда. Если p0 – общее давление на нижнее основание цилиндрического сосуда, то распределение давления газа по высоте х можно определить выражением

p = p0e-αх, где α = Mg/RT.

Плотность газа на уровне х

16

Масса элементарного слоя газа в окрестности сечения х равна dm = Sdx = (αp0S/g)e-αxdx. Масса газа во всем объеме сосуда

где, повторно замечая, α = pM/RT.

6.19. Абсцисса хс центра масс системы частиц определяется выражением

Для вещества формула (1) заменяется на формулу

(V )

При одной и той же площади сечения S образца вдоль оси х, которую можно положить равной единице, площади, формулу (2) перепишем в виде

a a

где а – линейный размер тела вдоль оси х.

Давление и плотность газа определяются выражениями:

17

Вычислим интегралы, содержащиеся в формуле (3).

Подставляя (4) и (5) в (3), получаем:

6.20. В бесконечно малых величинах напишем:

Получим решения уравнения (1) для заданных зависимо-

стей f(h).

а) f(h)=1-ah.

6.21. За счет центробежных сил инерции давление воздуха в цилиндре растет в направлении от оси вращения к периферии.

Напишем для выделенного элемента воздушного столбика единичного сечения условие равновесия во вращающейся системе координат:

p+ 2 rdm – (p + dp)=0, т.е. dp = 2 r dr,

RT

p|r=0 = p0 имеет вид

p p0e r2 / 2 p0 exp(M 2r2 ). 2RT

19

6.22. В идеальной модели газа давление p RT . При

M T=300K и =500г/л для газа CO2 давление в этом случае

6.23. Из уравнения состояния идеального газа для давле-

ния газа имеем pид RT ; из уравнения Ван-дер-Ваальса дав-

Vm

(1)

20